التكبير

بالنسبة للصور الحقيقية ، مثل الصور المعروضة على الشاشة، فإن الحجم يعني بُعدًا خطيًا (يتم قياسه، على سبيل المثال، بالملليمترات أو البوصات ).

بالنسبة لجهاز بصري مزود بعدسة عينية ، على سبيل المثال، لا يمكن تحديد البعد الخطي للصورة المرئية من خلال العدسة إذا كانت صورة وهمية على مسافة لانهائية. لذا، قد يُقصد بالحجم في هذه الحالة الزاوية المحصورة بين حافة (أو كلتا الحافتين، حسب التعريف) الصورة والمحور البصري للجهاز ( الحجم الزاوي ). من الناحية النظرية، ينبغي حساب ظل هذه الزاوية (عمليًا، لا يُحدث هذا فرقًا إلا إذا كانت الزاوية أكبر من بضع درجات). وبالتالي، يُعطى التكبير الزاوي بالمعادلتين ^{[ 1 ] و[ 2 ].}

$${\displaystyle M_{A}={\frac {\tan \varepsilon }{\tan \varepsilon _{0}}}\approx {\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}}$$

أين${\textstyle \varepsilon _{0}}$هي الزاوية التي يشكلها الجسم (بالنسبة للمحور البصري) و${\textstyle \varepsilon }$هي الزاوية التي تشكلها صورتها (أيضًا بالنسبة للمحور البصري) التي يصنعها جهاز بصري.

فعلى سبيل المثال، يبلغ متوسط ​​الحجم الزاوي لقرص القمر كما يُرى من سطح الأرض حوالي 0.52 درجة. وبالتالي، من خلال منظار ذي تكبير 10 أضعاف، يبدو القمر وكأنه يُغطي زاوية تبلغ حوالي 5.2 درجة.

بحسب الاصطلاح، بالنسبة للعدسات المكبرة والمجاهر الضوئية ، حيث يكون حجم الجسم بُعدًا خطيًا ويكون حجمه الظاهري (حجم الصورة) زاوية، فإن التكبير هو النسبة بين الحجم الظاهري (الزاوي) كما يُرى عبر الجهاز والحجم الزاوي للجسم عندما يوضع الجسم على أقرب مسافة تقليدية للرؤية الواضحة للعين البشرية غير المساعدة:25  سم من العين (تسمى النقطة القريبة ).

التكبير الخطي للعدسة الرقيقة هو

$${\displaystyle M={f \over f-d_{\mathrm {o} }}=-{\frac {f}{x_{o}}}}$$

أين${\textstyle f}$البعد البؤري ،${\textstyle d_{\mathrm {o} }}$هي المسافة من العدسة إلى الجسم، و${\textstyle x_{0}=d_{0}-f}$باعتبارها المسافة بين الجسم ونقطة التركيز الأمامية. ويتم استخدام اصطلاح إشارة بحيث${\textstyle d_{0}}$و${\displaystyle d_{i}}$(مسافة الصورة من العدسة) تكون موجبة للكائن الحقيقي والصورة، على التوالي، وسالبة للكائن الافتراضي والصور، على التوالي.${\textstyle f}$تكون قيمة معامل التقارب للعدسة المجمعة موجبة، بينما تكون سالبة للعدسة المفرقة.

للحصول على صور حقيقية ،${\textstyle M}$تكون الصورة سالبة ومقلوبة. أما بالنسبة للصور الوهمية ،${\textstyle M}$موجب والصورة معتدلة.

مع${\textstyle d_{\mathrm {i} }}$وهي المسافة من العدسة إلى الصورة،${\textstyle h_{\mathrm {i} }}$ارتفاع الصورة و${\textstyle h_{\mathrm {o} }}$ارتفاع الجسم، ويمكن كتابة التكبير أيضًا على النحو التالي ^{[ 1 ] : 646-647}

$${\displaystyle M=-{d_{\mathrm {i} } \over d_{\mathrm {o} }}={h_{\mathrm {i} } \over h_{\mathrm {o} }}}$$

لاحظ مرة أخرى أن التكبير السلبي يعني صورة مقلوبة.

تكبير الصورة على طول اتجاه المحور البصري${\displaystyle M_{L}}$ويمكن تعريف ما يُسمى بالتكبير الطولي. وتُصاغ معادلة العدسة النيوتونية على النحو التالي:${\displaystyle f^{2}=x_{0}x_{i}}$، أين${\textstyle x_{0}=d_{0}-f}$و${\textstyle x_{i}=d_{i}-f}$باعتبارها مسافات على المحور لجسم ما والصورة بالنسبة إلى نقاط التركيز الخاصة بكل منهما، على التوالي.${\displaystyle M_{L}}$يُعرَّف بأنه

$${\displaystyle M_{L}={\frac {dx_{i}}{dx_{0}}},}$$

وباستخدام معادلة العدسة النيوتونية،

$${\displaystyle M_{L}=-{\frac {f^{2}}{x_{o}^{2}}}=-M^{2}.}$$

يكون التكبير الطولي سالباً دائماً، مما يعني أن الجسم والصورة يتحركان في نفس الاتجاه على طول المحور البصري. يتغير التكبير الطولي بسرعة أكبر بكثير من التكبير العرضي، لذا فإن الصورة ثلاثية الأبعاد تكون مشوهة.

الصورة المسجلة بواسطة فيلم فوتوغرافي أو مستشعر صورة هي دائمًا صورة حقيقية ، وعادةً ما تكون مقلوبة. عند قياس ارتفاع صورة مقلوبة باستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية (حيث يمثل المحور السيني المحور البصري)، ستكون قيمة hᵢ سالبة، وبالتالي ستكون قيمة M سالبة أيضًا _. مع ذلك، فإن نظام الإحداثيات التقليدي المستخدم في التصوير الفوتوغرافي هو " الحقيقي موجب، والوهمي سالب". ^{[ 3 ]} لذلك، في التصوير الفوتوغرافي: يكون ارتفاع الجسم والمسافة إليه دائمًا حقيقيين وموجبين. عندما يكون البعد البؤري موجبًا، يكون ارتفاع الصورة ومسافتها وتكبيرها حقيقيين وموجبين. فقط عندما يكون البعد البؤري سالبًا، يكون ارتفاع الصورة ومسافتها وتكبيرها وهميين وسالبين. لذلك، تُعرض صيغ التكبير الفوتوغرافي تقليديًا على النحو التالي ^{[ 4 ].}

$${\displaystyle {\begin{aligned}M&={d_{\mathrm {i} } \over d_{\mathrm {o} }}={h_{\mathrm {i} } \over h_{\mathrm {o} }}\\&={f \over d_{\mathrm {o} }-f}={d_{\mathrm {i} }-f \over f}\end{aligned}}}$$

يُعرَّف التكبير الزاوي للعدسة المكبرة بأنه نسبة الزاوية ε التي تُقابل بها صورة الجسم (المُكوَّنة بواسطة العدسة) الموجود عند أقرب نقطة (عادةً على بُعد 25 سم من العين البشرية) على شبكية العين، إلى الزاوية _ε₀ التي يُقابل بها الجسم (في نفس الموقع) على شبكية العين بدون العدسة. ^{[ 2 ]} يتساوى التكبير الزاوي مع حجم الصورة المُكبَّرة على الشبكية، وذلك للأسباب التالية: (1) يُعتبر جزء من العين البشرية الذي يكسر الضوء باتجاه الشبكية بمثابة عدسة رقيقة ^{[ ملاحظة 1 ]} ، و(2) الشكل الدائري للشبكية؛ حيث تُترجم الزاوية المُضاعفة بين المحور البصري للعين وحافة الصورة على الشبكية (ذات الشكل الدائري) إلى ضعف حجم الصورة المُدرَكة.

للحصول على صورة مكبرة ومعتدلة لجسم ما، يجب أن يقع الجسم ضمن البعد البؤري للعدسة المحدبة (انظر جدول صور الأجسام الحقيقية المتكونة بواسطة العدسات الرقيقة ). يعتمد التكبير الزاوي للعدسة المحدبة، عند استخدامها كعدسة مكبرة، على موضع العدسة والجسم بالنسبة للعين.

يمكن التعبير عن التكبير الزاوي M _A = ε / ε _{0 ، في التقريب المحوري حيث tan(} ε ) ≈ ε ، على النحو التالي ( _h i _/ Li ) _/ ( h _o / L _N ) = ( h _i L _N )/( h _o Li ) حيث h _o هو ارتفاع الجسم (بالنسبة للمحور البصري)، و h _i هو ارتفاع الصورة (أيضًا بالنسبة للمحور)، و L _N هي مسافة النقطة القريبة من العين (على طول المحور البصري)، و Li _هي مسافة الصورة من العين (أيضًا على طول المحور).

باستخدام التكبير العرضي M = h _i / h _o = - di _/ d o _، فإن MA ₌ -( di _L N ₎ /( d _o Li ₎ . وباستخدام معادلة العدسة الرقيقة 1/ d _o + 1/ di ₌ 1/ f ( حيث f هي البعد البؤري للعدسة ) ، فإن MA = ₍ 1 - di / f )( L _N / Li ). ولأن Li = L _l - di ( حيث _{di سالبة للصورة الوهمية المتكونة بواسطة} ^عدسة محدبة كعدسة مكبرة ⁾ _{، فإن} di = L _l - Li ، وبالتالي _{تصبح MA} [ ² _]

$${\displaystyle M_{\mathrm {A} }=(L_{\mathrm {N} }/L_{\mathrm {i} })(1-(L_{\mathrm {l} }-L_{\mathrm {i} })/f).}$$

إذا تم تثبيت العدسة على مسافة من الجسم بحيث تكون بؤرتها الأمامية على الجسم المراد رؤيته، فإن العين المسترخية أو غير المتكيفة (التي تركز على اللانهاية) يمكنها رؤية الصورة (الموجودة عند L _i = -∞) بالتكبير الزاوي (في التعبير أعلاه لـ _MA ، في القوس الثاني، يبقى الحد الثالث فقط.) ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle M_{\mathrm {A} }={25\ \mathrm {cm} \over f}.}$$

هنا،${\textstyle f}$يمثل البعد البؤري للعدسة بالسنتيمتر. أما الثابت 25 سم فهو تقدير لنقطة القرب ، أي المسافة بين أقرب نقطة جسم والعين والتي تُكوّن صورة واضحة على الشبكية.${\textstyle f<25\ \mathrm {cm} }$يبدو الجسم أكبر حجماً من خلال العدسة لأن الزاوية المحصورة على الشبكية أكبر، مما يجعل حجم الصورة أكبر. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يتم الحصول على نفس التكبير الزاوي عندما توضع العدسة على مسافة f (البعد البؤري للعدسة) من العين ( L _l = f ). ^{[ 2 ]}

يحدث أكبر تكبير زاوي عندما تكون الصورة على بعد 25 سم من العين (النقطة القريبة)، وتكون العدسة قريبة جدًا من العين (مرة أخرى، L _l ~ 0 و L _i = L _N ) ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle M_{\mathrm {A} }={25\ \mathrm {cm} \over f}+1}$$

في هذه الحالة، يتساوى التكبير الزاوي مع التكبير الخطي (الزيادة في الارتفاع النسبي للجسم) لأن كلاً من الجسم والصورة موجودان في نفس الموضع (النقطة القريبة). ^{[ 1 ]}

التفسير المختلف لعمل الحالة الأخيرة هو أن العدسة المكبرة تغير الديوبتر للعين (مما يجعلها قصر نظر ) ^{[ ملاحظة 2 ]} بحيث يمكن وضع الجسم أقرب إلى العين مما يؤدي إلى تكبير زاوي أكبر.

يُعطى التكبير الزاوي للمجهر بالمعادلة ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle M_{\mathrm {A} }=M_{\mathrm {o} }\times M_{\mathrm {e} }}$$

أين${\textstyle M_{\mathrm {o} }}$هو تكبير الهدف و${\textstyle M_{\mathrm {e} }}$تكبير العدسة العينية. يعتمد تكبير العدسة الشيئية على بعدها البؤري${\textstyle f_{\mathrm {o} }}$وعلى المسافة${\textstyle d}$بين مستوى البؤرة الخلفية للعدسة الموضوعية ومستوى بؤرة العدسة العينية (يسمى طول الأنبوب) ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle M_{\mathrm {o} }=-{d \over f_{\mathrm {o} }}}$$

يعتمد تكبير العدسة العينية على بعدها البؤري${\textstyle f_{\mathrm {e} }}$ويتم حسابها بنفس المعادلة المستخدمة في حساب العدسة المكبرة ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle M_{\mathrm {e}}={25\ \mathrm {cm} \over f_{\mathrm {e} }}}$$

يُعطى التكبير الزاوي للتلسكوب البصري بواسطة ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle M_{\mathrm {A} }=-{f_{\mathrm {o} } \over f_{\mathrm {e} }}}$$

في أي${\textstyle f_{\mathrm {o} }}$يمثل البعد البؤري للعدسة الشيئية في التلسكوب الكاسر أو للمرآة الرئيسية في التلسكوب العاكس ، و${\textstyle f_{\mathrm {e} }}$هو البعد البؤري للعدسة العينية .