المسافة الزاوية

الموسوعة الحرة

المسافة الزاوية أو التباعد الزاوي هي قياس الزاوية بين اتجاه خطين مستقيمين أو شعاعين أو متجهين - عادةً في الفضاء ثلاثي الأبعاد - أو الزاوية المركزية المحصورة بين نصفي قطرين يمران بنقطتين على سطح كرة . عندما تكون الأشعة خطوط رؤية من مراقب إلى نقطتين في الفضاء، تُعرف هذه المسافة بالمسافة الظاهرية أو التباعد الظاهري .

تظهر المسافة الزاوية في الرياضيات (وخاصة الهندسة وعلم المثلثات ) وفي جميع العلوم الطبيعية (مثل علم الحركة وعلم الفلك والجيوفيزياء ). وفي الميكانيكا الكلاسيكية للأجسام الدوارة، تظهر إلى جانب السرعة الزاوية والتسارع الزاوي والزخم الزاوي وعزم القصور الذاتي وعزم الدوران .

قياس

يتم قياس الفصل الزاوي باستخدام وحدات زاوية مثل الدرجات أو الراديان ، باستخدام أدوات مثل مقاييس الزوايا أو الأدوات البصرية المصممة خصيصًا للإشارة إلى اتجاهات محددة جيدًا وتسجيل الزوايا المقابلة (مثل التلسكوبات ).

الإحداثيات السماوية

الفصل الزاويθ{\displaystyle \theta }بين النقطتين أ و ب كما يُرى من النقطة O

لاستنتاج المعادلة التي تصف الفصل الزاوي بين نقطتين تقعان على سطح كرة كما تُرى من مركز الكرة، نستخدم مثال جسمين فلكيينأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}الأجسام المرصودة من الأرض.أ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}يتم تعريفها من خلال إحداثياتها السماوية ، وتحديداً مطلعها المستقيم (RA) .(αأ،αب)∈[0،2π]{\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B})\in [0,2\pi ]}والانحرافات (dec) ،(دلتاأ،دلتاب)∈[-π/2،π/2]{\displaystyle (\delta _{A},\delta _{B})\in [-\pi /2,\pi /2]}. يتركيا{\displaystyle O}يشير إلى الراصد على الأرض، المفترض وجوده في مركز الكرة السماوية . حاصل الضرب النقطي للمتجهاتياأ{\displaystyle \mathbf {OA} }وياب{\displaystyle \mathbf {OB} }يساوي:

ياأ⋅ياب=R2كوس⁡θ{\displaystyle \mathbf {OA} \cdot \mathbf {OB} =R^{2}\cos \theta }

وهو ما يعادل:

نأ⋅نب=كوس⁡θ{\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \theta }

في(x،y،z){\displaystyle (x,y,z)}في الإطار، يتم تحليل المتجهين الوحدويين إلى: نأ=(كوس⁡دلتاأكوس⁡αأكوس⁡دلتاأالخطيئة⁡αأالخطيئة⁡دلتاأ)أندنب=(كوس⁡دلتابكوس⁡αبكوس⁡دلتابالخطيئة⁡αبالخطيئة⁡دلتاب).// {n_ {B}} = {\begin{pmatrix}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}\\\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}\\\sin \delta _{B}\end{pmatrix}}.} لذلك، نأ⋅نب=كوس⁡دلتاأكوس⁡αأكوس⁡دلتابكوس⁡αب+كوس⁡دلتاأالخطيئة⁡αأكوس⁡دلتابالخطيئة⁡αب+الخطيئة⁡دلتاأالخطيئة⁡دلتاب≡كوس⁡θ{\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}+\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}+\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}\equiv \cos \theta } ثم:

θ=كوس-1⁡[الخطيئة⁡دلتاأالخطيئة⁡دلتاب+كوس⁡دلتاأكوس⁡دلتابكوس⁡(αأ-αب)]{\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left[\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\cos(\alpha _{A}-\alpha _{B})\right]}

تقريب المسافة الزاوية الصغيرة

العبارة المذكورة أعلاه صالحة لأي موضع للنقطة A والنقطة B على الكرة. في علم الفلك، غالباً ما تكون الأجرام المدروسة قريبة جداً في السماء: النجوم في مجال رؤية التلسكوب، والنجوم الثنائية، وأقمار الكواكب العملاقة في المجموعة الشمسية ، وما إلى ذلك. في حالةθ≪1{\displaystyle \theta \ll 1}الراديان، مما يعنيαأ-αب≪1{\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}ودلتاأ-دلتاب≪1{\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}يمكننا تطوير التعبير أعلاه وتبسيطه. في تقريب الزاوية الصغيرة ، عند الرتبة الثانية، يصبح التعبير أعلاه كما يلي:

كوس⁡θ≈1-θ22≈الخطيئة⁡دلتاأالخطيئة⁡دلتاب+كوس⁡دلتاأكوس⁡دلتاب[1-(αأ-αب)22]{\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\left[1-{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\right]}

معنى

1-θ22≈كوس⁡(دلتاأ-دلتاب)-كوس⁡دلتاأكوس⁡دلتاب(αأ-αب)22{\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}

لذلك

1-θ22≈1-(دلتاأ-دلتاب)22-كوس⁡دلتاأكوس⁡دلتاب(αأ-αب)22{\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1-{\frac {(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}{2}}-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}.

بشرطدلتاأ-دلتاب≪1{\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}وαأ-αب≪1{\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}، وفي تطور من الدرجة الثانية يتضح أنكوس⁡دلتاأكوس⁡دلتاب(αأ-αب)22≈كوس2⁡دلتاأ(αأ-αب)22{\displaystyle \cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\approx \cos ^{2}\delta _{A}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}، لهذا السبب

θ≈[(αأ-αب)كوس⁡دلتاأ]2+(دلتاأ-دلتاب)2{\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\left[(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}\right]^{2}+(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}}}

مسافة زاوية صغيرة: تقريب مستوٍ

تقريب مستوٍ للمسافة الزاوية في السماء

إذا اعتبرنا كاشفًا يصور حقلًا سماويًا صغيرًا (أبعاده أقل بكثير من راديان واحد) معy{\displaystyle y}المحور - يشير إلى الأعلى، موازياً لخط الزوال المستقيمα{\displaystyle \alpha }وx{\displaystyle x}المحور - على طول خط العرض المتوازي للانحرافدلتا{\displaystyle \delta }، ويمكن كتابة الفصل الزاوي على النحو التالي:

θ≈دلتاx2+دلتاy2{\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}}

أيندلتاx=(αأ-αب)كوس⁡دلتاأ{\displaystyle \delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}}ودلتاy=دلتاأ-دلتاب{\displaystyle \delta y=\delta _{A}-\delta _{B}}.

لاحظ أنy{\displaystyle y}المحور - يساوي الميل، بينما المحور -x{\displaystyle x}المحور - هو الصعود المستقيم المعدل بواسطةكوس⁡دلتاأ{\displaystyle \cos \delta _{A}}لأن مقطع كرة نصف قطرهاR{\displaystyle R}عند الانحراف (خط العرض)دلتا{\displaystyle \delta }يكونR′=Rكوس⁡دلتاأ{\displaystyle R'=R\cos \delta _{A}}(انظر الشكل).

انظر أيضاً

مراجع