نظرية أبيري

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية أبيري نتيجة في نظرية الأعداد تنص على أن ثابت أبيري ζ(3) عدد غير نسبي . أي أن العدد

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.2020569\ldots }$

لا يمكن كتابتها على شكل كسر${\displaystyle p/q}$حيث p و q عددان صحيحان . سُميت النظرية نسبةً إلى روجر أبيري .

القيم الخاصة لدالة زيتا لريمان عند الأعداد الزوجية${\displaystyle 2n}$(${\displaystyle n>0}$يمكن إثبات أن ) بدلالة أعداد برنولي غير نسبية، بينما يبقى من غير المعروف ما إذا كانت قيم الدالة نسبية بشكل عام أم لا عند الأعداد الفردية .${\displaystyle 2n+1}$(${\displaystyle n>1}$) (على الرغم من أنه يُعتقد أنها غير عقلانية).

أثبت ليونارد أويلر أنه إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا فإن

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots ={\frac {p}{q}}\pi ^{2n}}$

لبعض الأعداد النسبية${\displaystyle p/q}$. تحديداً، كتابة المتسلسلة اللانهائية على اليسار على النحو التالي${\displaystyle \zeta (2n)}$، أظهر

${\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

حيث${\displaystyle B_{n}}$هي أعداد برنولي النسبية . بمجرد إثبات ذلك${\displaystyle \pi ^{n}}$إن التصرف غير عقلاني دائمًا، وهذا يدل على أن ${\displaystyle \zeta (2n)}$هو عدد غير نسبي لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n .

لا يوجد تمثيل معروف من هذا القبيل بدلالة π لما يسمى بثوابت زيتا للقيم الفردية، وهي القيم${\displaystyle \zeta (2n+1)}$بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة n . وقد تم التكهن بأن نسب هذه الكميات

${\displaystyle {\frac {\zeta (2n+1)}{\pi ^{2n+1}}},}$

تكون متسامية لكل عدد صحيح${\displaystyle n\geq 1}$[ ^{1 ]​}

لهذا السبب، لم يُعثر على أي دليل يُثبت أن ثوابت زيتا ذات الوسائط الفردية غير نسبية، على الرغم من أنها كانت (ولا تزال) تُعتبر جميعها أعدادًا متعالية. ومع ذلك، في يونيو 1978، ألقى روجر أبيري محاضرة بعنوان "حول لا نسبية ζ(3)". وخلال المحاضرة، عرض براهين تُثبت أن${\displaystyle \zeta (3)}$و${\displaystyle \zeta (2)}$كانت الأعداد غير منطقية، وقد استخدم الأخير أساليب مبسطة من تلك المستخدمة لمعالجة الأول بدلاً من الاعتماد على التعبير بدلالة π. ونظرًا للطبيعة غير المتوقعة تمامًا للبرهان، ونهج أبيري المتساهل وغير المتقن في تناول الموضوع، رفض العديد من علماء الرياضيات في الحضور البرهان باعتباره معيبًا. ومع ذلك، اشتبه هنري كوهين وهندريك لينسترا وألفريد فان دير بورتن في أن أبيري قد توصل إلى شيء مهم، وشرعوا في تأكيد برهانه. وبعد شهرين، انتهوا من التحقق من برهان أبيري، وفي 18 أغسطس، ألقى كوهين محاضرة شرح فيها تفاصيل البرهان كاملة. وبعد المحاضرة، صعد أبيري نفسه إلى المنصة لشرح مصدر بعض أفكاره. ^{[ 2 ]}

استند برهان أبيري الأصلي ^{[ 3 ] [ 4 ]} إلى معيار اللاعقلانية المعروف لبيتر غوستاف ليجون ديريشليه ، والذي ينص على أن عددًا${\displaystyle \xi }$يكون العدد غير نسبي إذا كان هناك عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة الأولية فيما بينها p و q بحيث

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {c}{q^{1+\delta }}}}$

بالنسبة لبعض القيم الثابتة لـ c ، فإن δ > 0.

كانت نقطة البداية لـ Apéry هي التمثيل التسلسلي لـ${\displaystyle \zeta (3)}$مثل

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}.}$

وبصورة تقريبية، حدد أبيري بعد ذلك تسلسلاً${\displaystyle c_{n,k}}$والتي تتقارب إلى${\displaystyle \zeta (3)}$بسرعة مماثلة للسلسلة المذكورة أعلاه، تحديداً

${\displaystyle c_{n,k}=\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{3}}}+\sum _{m=1}^{k}{\frac {(-1)^{m-1}}{2m^{3}{\binom {n}{m}}{\binom {n+m}{m}}}}.}$

ثم حدد سلسلتين إضافيتين${\displaystyle a_{n}}$و${\displaystyle b_{n}}$والتي، تقريبًا، يكون ناتج قسمتها${\displaystyle c_{n,k}}$كانت هذه التسلسلات

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{n,k}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}^{2}}$

و

${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}^{2}.}$

التسلسل${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$يتقارب إلى${\displaystyle \zeta (3)}$سريع بما يكفي لتطبيق المعيار، ولكن للأسف${\displaystyle a_{n}}$ليس عددًا صحيحًا بعد${\displaystyle n=2}$ومع ذلك، أظهر أبيري أنه حتى بعد الضرب${\displaystyle a_{n}}$و${\displaystyle b_{n}}$باستخدام عدد صحيح مناسب لحل هذه المشكلة، كان التقارب لا يزال سريعًا بما يكفي لضمان اللاعقلانية.

في غضون عام من نتيجة أبيري، تم التوصل إلى برهان بديل بواسطة فريتس بيوكيرز ، ^{[ 5 ]} الذي استبدل متسلسلة أبيري بتكاملات تتضمن كثيرات حدود ليجندر المزاحة${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$باستخدام تمثيل سيتم تعميمه لاحقًا على صيغة هادجيكوستاس ، أظهر بيوكيرز أن

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {-\log(xy)}{1-xy}}{\tilde {P_{n}}}(x){\tilde {P_{n}}}(y)\,dx\,dy={\frac {A_{n}+B_{n}\zeta (3)}{\operatorname {lcm} \left[1,\ldots ,n\right]^{3}}}}$

لبعض الأعداد الصحيحة A _{_n} و B _{_n} (المتتاليتان OEIS : A171484  و OEIS : A171485  ). باستخدام التكامل الجزئي والافتراض أن${\displaystyle \zeta (3)}$كان عقلانيًا ومتساويًا مع${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$، استنتج بيوكيرز في النهاية المتباينة

${\displaystyle 0<{\frac {1}{b}}\leq \left|A_{n}+B_{n}\zeta (3)\right|\leq 4\left({\frac {4}{5}}\right)^{n}}$

وهذا تناقض لأن التعبير الموجود في أقصى اليمين يميل إلى الصفر عندما${\displaystyle n\to \infty }$وبالتالي لا بد أن ينخفض ​​في النهاية إلى ما دون ذلك${\displaystyle {\frac {1}{b}}}$.

يُعدّ برهانٌ أحدثُ قدمه واديم زوديلين أقربَ شبهاً ببرهان أبيري الأصلي، ^{[ 6 ]} كما أنه يحمل أوجهَ تشابه مع برهان رابع ليوري نيستيرينكو . ^{[ 7 ]} وتستمدّ هذه البراهين اللاحقة تناقضاً من الافتراض القائل بأن${\displaystyle \zeta (3)}$تُعتبر الدوال منطقية من خلال بناء متتابعات تؤول إلى الصفر ولكنها محدودة من الأسفل بثابت موجب. وهي أقل وضوحًا من البراهين السابقة، لأنها تعتمد على المتسلسلات فوق الهندسية .

انظر أيضًا: القيم الخاصة لدالة زيتا لريمان §  الأعداد الصحيحة الموجبة الفردية

بإمكان أبيري وبيوكرز تبسيط براهينهما للعمل على${\displaystyle \zeta (2)}$وذلك بفضل تمثيل المسلسل أيضاً

${\displaystyle \zeta (2)=3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$

ونظرًا لنجاح طريقة أبيري، تم إجراء بحث عن عدد من${\displaystyle \xi _{5}}$مع العقار الذي

${\displaystyle \zeta (5)=\xi _{5}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{5}{\binom {2n}{n}}}}.}$

إذا كان هذا${\displaystyle \xi _{5}}$إذا تم التوصل إلى ذلك، فمن المتوقع أن تنجح الطرق المستخدمة لإثبات نظرية أبيري في إثبات أن${\displaystyle \zeta (5)}$غير منطقي. لسوء الحظ، فشلت عمليات البحث الحاسوبية المكثفة ^{[ 8 ] في العثور على مثل هذا الثابت، وفي الواقع، من المعروف الآن أنه إذا}${\displaystyle \xi _{5}}$يوجد، وإذا كان عددًا جبريًا من الدرجة 25 على الأكثر، فإن معاملات متعددة الحدود الدنيا الخاصة به يجب أن تكون هائلة، على الأقل${\displaystyle 10^{383}}$لذا فإن توسيع برهان أبيري ليعمل على ثوابت زيتا الفردية الأعلى لا يبدو أنه من المرجح أن ينجح.

أظهرت دراسة أجراها واديم زوديلين وتانغي ريفوال أن عدداً لا نهائياً من الأرقام${\displaystyle \zeta (2n+1)}$يجب أن يكون غير منطقي، ^{[ 9 ]} وحتى أن أحد الأرقام على الأقل${\displaystyle \zeta (5)}$،${\displaystyle \zeta (7)}$،${\displaystyle \zeta (9)}$، و${\displaystyle \zeta (11)}$يجب أن يكون غير نسبي. ^{[ 10 ]} يستخدم عملهم الصيغ الخطية في قيم دالة زيتا والتقديرات عليها لتقييد بُعد فضاء متجهي يمتد بقيم دالة زيتا عند الأعداد الصحيحة الفردية. لم تتحقق الآمال في أن يتمكن زوديلين من تقليص قائمته إلى رقم واحد فقط، لكن العمل على هذه المشكلة لا يزال مجالًا نشطًا للبحث. لثوابت زيتا الأعلى تطبيقات في الفيزياء: فهي تصف دوال الارتباط في سلاسل الدوران الكمومي . ^{[ 11 ]}

• هويلبروك، ديرك (2001). "أوجه التشابه في براهين اللاعقلانية لـ π، ln2، ζ(2)، و ζ(3)" (ملف PDF) . المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية . 108 (3): 222-231 . doi : 10.2307/2695383 . JSTOR 2695383 .