مبدأ أرخميدس

ينص مبدأ أرخميدس على أن قوة الطفو المؤثرة على جسم مغمور في سائل ، سواء كليًا أو جزئيًا ، تساوي وزن السائل الذي يزيحه الجسم . ^{[ 1 ]} يُعد مبدأ أرخميدس قانونًا فيزيائيًا أساسيًا في ميكانيكا الموائع ، وقد صاغه أرخميدس السرقوسي . ^{[ 2 ]}

في كتابه "عن الأجسام الطافية" ، اقترح أرخميدس (حوالي 246 قبل الميلاد):

أي جسم، مغمور كلياً أو جزئياً في سائل، يتعرض لقوة دفع تساوي وزن السائل الذي يزيحه الجسم.

يُتيح مبدأ أرخميدس حساب قوة الطفو لأي جسم طافٍ مغمور جزئيًا أو كليًا في سائل. القوة المؤثرة لأسفل على الجسم هي ببساطة وزنه. أما القوة المؤثرة لأعلى، أو قوة الطفو، فهي تلك التي ينص عليها مبدأ أرخميدس. وبالتالي، فإن محصلة القوى المؤثرة على الجسم هي الفرق بين مقدار قوة الطفو ووزنه. إذا كانت محصلة القوى موجبة، يرتفع الجسم؛ وإذا كانت سالبة، يغوص الجسم؛ وإذا كانت صفرًا، يكون الجسم متعادل الطفو، أي يبقى في مكانه دون أن يرتفع أو يغوص. بعبارة أخرى، ينص مبدأ أرخميدس على أنه عندما يُغمر جسم جزئيًا أو كليًا في سائل، فإنه يفقد وزنًا ظاهريًا يساوي وزن السائل الذي أزاحه الجزء المغمور من الجسم.

تخيل متوازي مستطيلات مغمورًا في سائل، بحيث يكون سطحه العلوي والسفلي متعامدين مع اتجاه الجاذبية (بافتراض ثباتها على امتداد المكعب). سيؤثر السائل بقوة عمودية على كل سطح، لكن القوى العمودية على السطحين العلوي والسفلي فقط هي التي تُسهم في الطفو. يتناسب فرق الضغط بين السطح السفلي والعلوي طرديًا مع الارتفاع (فرق عمق الغمر). بضرب فرق الضغط في مساحة السطح، نحصل على قوة محصلة تؤثر على متوازي المستطيلات - وهي قوة الطفو - تساوي في مقدارها وزن السائل الذي يزيحه متوازي المستطيلات. بجمع عدد كافٍ من متوازيات المستطيلات الصغيرة، يمكن تعميم هذا المنطق ليشمل الأشكال غير المنتظمة، وبالتالي، مهما كان شكل الجسم المغمور، فإن قوة الطفو تساوي وزن السائل المزاح.

${\displaystyle {\text{ وزن السائل المزاح}}={\text{ وزن الجسم في الفراغ}}-{\text{ الوزن الظاهري للجسم في السائل}}\,}$

يتناسب وزن السائل المزاح طرديًا مع حجمه (إذا كان السائل المحيط ذو كثافة منتظمة). ويقل الوزن الظاهري للجسم في السائل بسبب القوة المؤثرة عليه، والتي تُسمى قوة الطفو. بعبارة أخرى، ينص المبدأ على أن قوة الطفو (F_{_b} ) المؤثرة على جسم ما تساوي وزن السائل الذي يزيحه الجسم، أو كثافة السائل ( ρ ) مضروبة في حجم السائل المغمور (V) مضروبة في تسارع الجاذبية الأرضية (g) ^{[ 1 ] [ 3 ].}

يمكننا التعبير عن هذه العلاقة في المعادلة التالية:

${\displaystyle F_{a}=\rho gV}$

أين${\displaystyle F_{a}}$يشير إلى قوة الطفو المؤثرة على الجسم المغمور،${\displaystyle \rho }$يشير إلى كثافة السائل،${\displaystyle V}$يمثل حجم السائل المزاح و${\displaystyle g}$يمثل تسارع الجاذبية الأرضية . وبالتالي، من بين الأجسام المغمورة كليًا ذات الكتل المتساوية، تتمتع الأجسام ذات الحجم الأكبر بقوة طفو أكبر.

لنفترض أن وزن صخرة يُقاس بـ 10 نيوتن عند تعليقها بخيط في فراغ تحت تأثير الجاذبية. ولنفترض أنه عند إنزال الصخرة في الماء، فإنها تُزيح ماءً وزنه 3 نيوتن. ستكون القوة التي تُؤثر بها الصخرة على الخيط الذي تُعلق به هي 10 نيوتن ناقص 3 نيوتن (قوة الطفو): 10  -  3 = 7 نيوتن. يُقلل الطفو من الوزن الظاهري للجسم. وعمومًا، يكون رفع الجسم عبر الماء أسهل من سحبه منه.

بالنسبة لجسم مغمور بالكامل، يمكن إعادة صياغة مبدأ أرخميدس على النحو التالي:

$الوزن الظاهري المغمور = وزن الجسم - وزن السائل المزاح$

ثم أُدرجت في ناتج قسمة الأوزان، الذي تم توسيعه بواسطة الحجم المتبادل

${\displaystyle {\frac {\text{كثافة الجسم}}{\text{كثافة السائل}}}={\frac {\text{وزن الجسم}}{\text{وزن السائل المزاح}}}}$

ينتج عن ذلك الصيغة التالية. يمكن حساب كثافة الجسم المغمور بالنسبة لكثافة السائل بسهولة دون قياس أي حجم.

${\displaystyle {\frac {\text{كثافة الجسم}}{\text{كثافة السائل}}}={\frac {\text{وزن الجسم}}{{\text{وزن الجسم}}-{\text{الوزن الظاهري المغمور}}}}.\,}$

(تُستخدم هذه الصيغة على سبيل المثال في وصف مبدأ قياس الداسيمتر والوزن الهيدروستاتيكي . )

مثال: إذا أسقطت قطعة خشب في الماء، فإن الطفو سيبقيها طافية.

مثال: بالون هيليوم داخل سيارة متحركة. عند زيادة السرعة أو القيادة في منعطف، يتحرك الهواء في الاتجاه المعاكس لتسارع السيارة. ومع ذلك، وبسبب قوة الطفو، يدفع الهواء البالون جانبًا، فينجرف في نفس اتجاه تسارع السيارة.

عند غمر جسم في سائل، يُؤثر السائل بقوة صاعدة، تُعرف بقوة الطفو، وهي تتناسب طرديًا مع وزن السائل المُزاح. وبالتالي، فإن محصلة القوى المؤثرة على الجسم تساوي الفرق بين وزن الجسم، أو القوة الهابطة، ووزن السائل المُزاح، أو القوة الصاعدة. ويتحقق التوازن، أو الطفو المحايد، عندما يتساوى هذان الوزنان، وبالتالي يتساوى هذان الوزنان والقوتين.

المعادلة المستخدمة لحساب الضغط داخل سائل في حالة توازن هي:

${\displaystyle \mathbf {f} +\operatorname {div} \,\sigma =0}$

حيث f هي كثافة القوة التي يؤثر بها مجال خارجي على السائل، و σ هو موتر إجهاد كوشي . في هذه الحالة، يكون موتر الإجهاد متناسبًا مع موتر الوحدة.

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}.\,}$

هنا ، δ _ij هي دالة كرونكر دلتا . وباستخدامها، تصبح المعادلة أعلاه كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla p.\,}$

بافتراض أن مجال القوة الخارجي محافظ، أي أنه يمكن كتابته على أنه التدرج السالب لدالة ذات قيمة عددية معينة:

${\displaystyle \mathbf {f} =-\nabla \Phi .\,}$

ثم:

${\displaystyle \nabla (p+\Phi )=0\Longrightarrow p+\Phi ={\text{constant}}.\,}$

لذا، فإن شكل السطح المفتوح للسائل يساوي مستوى تساوي الجهد لحقل القوة المحافظة الخارجية المؤثرة. لنفترض أن المحور z يشير إلى الأسفل. في هذه الحالة، يكون الحقل هو الجاذبية، وبالتالي فإن Φ  =  − ρ _f gz حيث g هو تسارع الجاذبية، و ρ _f هي كثافة كتلة السائل. بافتراض أن الضغط يساوي صفرًا عند السطح، حيث z يساوي صفرًا، فإن الثابت يساوي صفرًا، وبالتالي فإن الضغط داخل السائل، عندما يخضع للجاذبية، هو

${\displaystyle p=\rho _{f}gz.\,}$

لذا، يزداد الضغط مع العمق تحت سطح السائل، حيث يرمز z إلى المسافة من سطح السائل إلى داخله. أي جسم ذي عمق رأسي غير صفري سيكون له ضغط مختلف على قمته وقاعدته، ويكون الضغط على القاع أكبر. هذا الاختلاف في الضغط هو ما يُسبب قوة الطفو إلى الأعلى.

يمكن الآن حساب قوة الطفو المؤثرة على جسم ما بسهولة، نظرًا لمعرفة الضغط الداخلي للسائل. ويمكن حساب هذه القوة بتكامل موتر الإجهاد على سطح الجسم الملامس للسائل.

${\displaystyle \mathbf {B} =\oint \sigma \,d\mathbf {A} .}$

يمكن تحويل التكامل السطحي إلى تكامل حجمي بمساعدة نظرية جاوس :

${\displaystyle \mathbf {B} =\int \operatorname {div} \sigma \,dV=-\int \mathbf {f} \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} \int \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} V}$

حيث V هو مقياس الحجم الملامس للسائل، أي حجم الجزء المغمور من الجسم، لأن السائل لا يمارس قوة على الجزء من الجسم الموجود خارجه.

يمكن فهم مقدار قوة الطفو بشكل أفضل من خلال الحجة التالية. لنفترض وجود جسم ذي شكل وحجم V محاط بسائل. القوة التي يؤثر بها السائل على الجسم داخله تساوي وزن السائل بحجم مساوٍ لحجم الجسم. وتُطبَّق هذه القوة في اتجاه معاكس لقوة الجاذبية، أي أن مقدارها:

${\displaystyle B=\rho _{f}V_{\text{disp}}\,g,\,}$

حيث ρ _f هي كثافة السائل، و V _disp هو حجم الجسم السائل المزاح، و g هو تسارع الجاذبية في الموقع المعني.

إذا استُبدل هذا الحجم من السائل بجسم صلب له نفس الشكل تمامًا، فإن القوة التي يؤثر بها السائل عليه ستكون هي نفسها تمامًا كما ذُكر أعلاه. بعبارة أخرى، فإن "قوة الطفو" المؤثرة على جسم مغمور تكون موجهة في الاتجاه المعاكس للجاذبية، وتساوي في مقدارها قوة الطفو.

${\displaystyle B=\rho _{f}Vg.\,}$

يجب أن تكون محصلة القوى المؤثرة على الجسم صفرًا لكي تكون الحالة من حالات سكون الموائع بحيث ينطبق مبدأ أرخميدس، وبالتالي فهي مجموع قوة الطفو ووزن الجسم.

${\displaystyle F_{\text{net}}=0=mg-\rho _{f}V_{\text{disp}}g\,}$

إذا تجاوزت قوة الطفو لجسم (غير مقيد وغير مزود بقوة دفع) وزنه، فإنه يميل إلى الارتفاع. أما الجسم الذي يتجاوز وزنه قوة طفوه، فإنه يميل إلى الغرق. لا يمكن حساب القوة الصاعدة المؤثرة على جسم مغمور خلال فترة تسارعه باستخدام مبدأ أرخميدس وحده؛ بل من الضروري مراعاة ديناميكيات الجسم التي تتضمن قوة الطفو. بمجرد أن يغرق الجسم بالكامل في قاع السائل أو يرتفع إلى السطح ويستقر، يمكن تطبيق مبدأ أرخميدس وحده. بالنسبة للجسم الطافي، يزيح الحجم المغمور فقط الماء. أما بالنسبة للجسم الغارق، فإن الحجم بأكمله يزيح الماء، وستكون هناك قوة رد فعل إضافية من القاع الصلب.

لكي يُستخدم مبدأ أرخميدس وحده، يجب أن يكون الجسم المعني في حالة توازن (يجب أن يكون مجموع القوى المؤثرة على الجسم صفرًا)، لذلك؛

${\displaystyle mg=\rho _{f}V_{\text{disp}}g,\,}$

وبالتالي

${\displaystyle m=\rho _{f}V_{\text{disp}}.\,}$

مما يدل على أن العمق الذي سيغوص إليه الجسم العائم، وحجم السائل الذي سيزيحه، مستقل عن مجال الجاذبية بغض النظر عن الموقع الجغرافي.

( ملاحظة: إذا كان السائل المعني هو مياه البحر ، فلن تكون له نفس الكثافة ( ρ ) في كل موقع. لهذا السبب، قد تعرض السفينة خط بليمسول .)

قد تتدخل قوى أخرى غير الطفو والجاذبية. يحدث هذا إذا كان الجسم مقيدًا أو إذا غرق في القاع الصلب. يحتاج الجسم الذي يميل إلى الطفو إلى قوة شد (T) ليظل مغمورًا بالكامل. أما الجسم الذي يميل إلى الغرق، فسيخضع في النهاية لقوة رد فعل (N) من القاع الصلب. يمكن أن تكون قوة رد الفعل هذه هي قوة الشد في ميزان زنبركي يقيس وزنه في السائل، وهي التي تُعرّف الوزن الظاهري.

إذا كان الجسم سيطفو لولا ذلك، فإن قوة الشد اللازمة لتقييده وهو مغمور بالكامل هي:

${\displaystyle T=\rho _{f}Vg-mg.\,}$

عندما يستقر جسم غارق على أرضية صلبة، فإنه يتعرض لقوة عمودية مقدارها:

${\displaystyle N=mg-\rho _{f}Vg.\,}$

هناك صيغة أخرى لحساب قوة الطفو لجسم ما، وهي إيجاد وزنه الظاهري في الهواء (بالنيوتن)، ووزنه الظاهري في الماء (بالنيوتن). ولإيجاد قوة الطفو المؤثرة على الجسم في الهواء، باستخدام هذه المعلومات، تُطبَّق الصيغة التالية:

قوة الطفو = وزن الجسم في الفراغ - وزن الجسم المغمور في السائل

سيتم قياس النتيجة النهائية بالنيوتن.

كثافة الهواء ضئيلة للغاية مقارنة بمعظم المواد الصلبة والسائلة. ولهذا السبب، فإن وزن الجسم في الهواء يُقارب وزنه الحقيقي في الفراغ. يُهمل تأثير طفو الهواء لمعظم الأجسام أثناء القياس في الهواء لأن الخطأ الناتج عنه عادةً ما يكون ضئيلاً (أقل من 0.1% في الغالب، باستثناء الأجسام ذات الكثافة المتوسطة المنخفضة جدًا، مثل البالون أو الرغوة الخفيفة).

نموذج مبسط

يمكن تقديم شرح مبسط لتكامل الضغط على منطقة التلامس على النحو التالي:

تخيل مكعبًا مغمورًا في سائل وسطحه العلوي أفقي.

الجوانب متطابقة في المساحة، ولها نفس توزيع العمق، وبالتالي فإن لها نفس توزيع الضغط، وبالتالي نفس القوة الكلية الناتجة عن الضغط الهيدروستاتيكي، والتي تُمارس بشكل عمودي على مستوى سطح كل جانب.

يوجد زوجان من الأضلاع المتقابلة، وبالتالي فإن القوى الأفقية الناتجة تتوازن في كلا الاتجاهين المتعامدين، وتكون القوة الناتجة صفرًا.

القوة المؤثرة لأعلى على المكعب هي الضغط الواقع على سطحه السفلي، مُكاملًا على مساحته. وبما أن السطح يقع على عمق ثابت، فإن الضغط ثابت أيضًا. لذا، فإن تكامل الضغط على مساحة السطح السفلي الأفقي للمكعب يساوي الضغط الهيدروستاتيكي عند ذلك العمق مضروبًا في مساحة السطح السفلي.

وبالمثل، فإن القوة المؤثرة لأسفل على المكعب هي الضغط على سطحه العلوي مُكاملًا على مساحته. وبما أن السطح يقع على عمق ثابت، فإن الضغط ثابت أيضًا. لذا، فإن تكامل الضغط على مساحة السطح العلوي الأفقي للمكعب يساوي الضغط الهيدروستاتيكي عند ذلك العمق مضروبًا في مساحة السطح العلوي.

بما أن هذا مكعب، فإن السطحين العلوي والسفلي متطابقان في الشكل والمساحة، وفرق الضغط بين الجزء العلوي والسفلي من المكعب يتناسب طرديًا مع فرق العمق، وفرق القوة الناتج يساوي تمامًا وزن السائل الذي كان سيشغل حجم المكعب في غيابه.

وهذا يعني أن القوة المحصلة لأعلى على المكعب تساوي وزن السائل الذي يمكن أن يتناسب مع حجم المكعب، والقوة المحصلة لأسفل على المكعب هي وزنه، في حالة عدم وجود قوى خارجية.

هذا التشبيه صالح للاختلافات في حجم المكعب.

إذا وُضع مكعبان متجاورين بحيث يكون وجه كل منهما متلامسًا، فإن الضغوط والقوى الناتجة على الجوانب أو الأجزاء المتلامسة منهما تكون متوازنة ويمكن إهمالها، لأن أسطح التلامس متساوية في الشكل والحجم وتوزيع الضغط، وبالتالي فإن قوة الطفو لمكعبين متلامسين تساوي مجموع قوى الطفو لكل مكعب. ويمكن تعميم هذا القياس على أي عدد من المكعبات.

يمكن تقريب أي جسم، مهما كان شكله، كمجموعة من المكعبات المتلامسة، وكلما صغر حجم المكعبات، زادت دقة التقريب. أما الحالة الحدية للمكعبات متناهية الصغر فهي التكافؤ التام.

لا تنفي الأسطح المائلة التشبيه حيث يمكن تقسيم القوة الناتجة إلى مكونات متعامدة والتعامل مع كل منها بنفس الطريقة.

لا يأخذ مبدأ أرخميدس في الاعتبار التوتر السطحي (الخاصية الشعرية) المؤثر على الجسم. ^{[ 4 ]} علاوة على ذلك، وُجد أن مبدأ أرخميدس لا ينطبق على السوائل المعقدة . ^{[ 5 ]}

هناك استثناء لمبدأ أرخميدس يُعرف بحالة القاع (أو الجانب). تحدث هذه الحالة عندما يلامس جانب الجسم قاع (أو جانب) الوعاء الذي يُغمر فيه، ولا يتسرب أي سائل من خلال ذلك الجانب. في هذه الحالة، وُجد أن محصلة القوى تختلف عن مبدأ أرخميدس، لأنه نظرًا لعدم تسرب أي سائل من ذلك الجانب، فإن تناظر الضغط يختل. ^{[ 6 ]}

يوضح مبدأ أرخميدس قوة الطفو وإزاحة السوائل. ومع ذلك، يمكن تطبيق مفهوم مبدأ أرخميدس عند دراسة سبب طفو الأجسام. تنص القضية الخامسة من رسالة أرخميدس " في الأجسام الطافية " على ما يلي:

أي جسم طافٍ يزيح ما يعادل وزنه من السائل.

بمعنى آخر، بالنسبة لجسم يطفو على سطح سائل (مثل قارب) أو يطفو مغمورًا في سائل (مثل غواصة في الماء أو منطاد في الهواء)، فإن وزن السائل المزاح يساوي وزن الجسم. وبالتالي، في حالة الطفو فقط، تتساوى قوة الطفو المؤثرة على الجسم مع وزنه. لنفترض وجود كتلة حديد صلبة وزنها طن واحد. بما أن كثافة الحديد تقارب ثمانية أضعاف كثافة الماء، فإنه يزيح ثُمن طن فقط من الماء عند غمره، وهو ما لا يكفي لإبقائه طافيًا. لنفترض أن كتلة الحديد نفسها أُعيد تشكيلها على هيئة وعاء. لا يزال وزنها طنًا واحدًا، ولكن عند وضعها في الماء، فإنها تزيح حجمًا أكبر من الماء مقارنةً بما كانت عليه عندما كانت كتلة. كلما زاد عمق غمر وعاء الحديد، زادت كمية الماء التي يزيحها، وزادت قوة الطفو المؤثرة عليه. عندما تساوي قوة الطفو طنًا واحدًا، فلن يغرق الوعاء أكثر من ذلك.

عندما يزيح أي قارب كمية من الماء تساوي وزنه، فإنه يطفو. يُعرف هذا غالبًا باسم "مبدأ الطفو": يزيح الجسم الطافي كمية من السائل تساوي وزنه. يجب تصميم كل سفينة وغواصة ومنطاد بحيث يزيح كمية من السائل تساوي على الأقل وزنه. يجب أن يكون هيكل سفينة وزنها 10000 طن عريضًا وطويلًا وعميقًا بما يكفي لإزاحة 10000 طن من الماء مع الحفاظ على جزء من الهيكل فوق سطح الماء لمنعها من الغرق. فهي تحتاج إلى هيكل إضافي لمقاومة الأمواج التي قد تملأها وتؤدي، بزيادة كتلتها، إلى غرقها. وينطبق الأمر نفسه على المركبات في الهواء: يحتاج منطاد يزن 100 طن إلى إزاحة 100 طن من الهواء. إذا أزاح كمية أكبر، فإنه يرتفع؛ وإذا أزاح كمية أقل، فإنه يهبط. أما إذا أزاح المنطاد وزنه بالضبط، فإنه يحوم على ارتفاع ثابت.

على الرغم من ارتباطهما بمبدأ الطفو، فإن مفهوم إزاحة الجسم المغمور لحجم من السائل يساوي حجمه ليسا من مبادئ أرخميدس. فمبدأ أرخميدس، كما ذُكر آنفاً، يُساوي قوة الطفو بوزن السائل المُزاح.

من بين النقاط الشائعة التي تثير اللبس فيما يتعلق بمبدأ أرخميدس، معنى حجم الماء المزاح. تتضمن التجارب الشائعة قياس ارتفاع مستوى الماء عندما يطفو جسم ما على السطح لحساب كمية الماء المزاحة. إلا أن هذه الطريقة في القياس لا تصلح مع جسم مغمور طافٍ، لأن ارتفاع مستوى الماء يرتبط ارتباطًا مباشرًا بحجم الجسم وليس بكتلته (إلا إذا كانت الكثافة الفعالة للجسم تساوي تمامًا كثافة السائل). ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

يُروى أن أرخميدس صرخ "وجدتها!" بعد أن اكتشف كيفية الكشف عما إذا كان التاج مصنوعًا من الذهب الخالص. ورغم أنه لم يستخدم مبدأ أرخميدس في الرواية الشائعة، واقتصر على استخدام الماء المزاح لقياس حجم التاج، إلا أن هناك طريقة بديلة تعتمد على هذا المبدأ: موازنة التاج والذهب الخالص على ميزان في الهواء، ثم وضع الميزان في الماء. ووفقًا لمبدأ أرخميدس، إذا اختلفت كثافة التاج عن كثافة الذهب الخالص، فإن الميزان سيختل توازنه تحت الماء. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

• قواعد التصويت الخاصة بـ Phragmen - طريقة لموازنة حمل الاقتراع تشبه فكرة مبدأ أرخميدس.
• استقرار السفينة – تُعد نظرية أرخميدس لإزاحة السوائل مبدأً أساسياً لاستقرار السفينة.
• قائمة القوانين التي تحمل أسماء أشخاص

• الوسائط المتعلقة بمبدأ أرخميدس على ويكيميديا ​​كومنز