البادئ المرتبط

في الجبر المجرد ، يُعد العدد الأولي المرتبط بوحدة نمطية M على حلقة R نوعًا من المثاليات الأولية في R التي تنشأ كعامل إفناء لوحدة نمطية فرعية (أولية) من M. ويُرمز عادةً لمجموعة الأعداد الأولية المرتبطة بـ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M),}$ويُطلق عليه أحيانًا اسم قاتل أو مُغتال M ( تلاعب بالألفاظ بين الرمز وحقيقة أن العدد الأولي المرتبط به هو مُبيد ). ^{[ 1 ]}

في الجبر التبادلي ، ترتبط الأعداد الأولية المصاحبة بتحليل لاسكر-نوثر الأولي للمثاليّات في حلقات نوثرية تبادلية . تحديدًا، إذا تم تحليل مثالي J كتقاطع منتهٍ للمثاليّات الأولية ، فإن جذور هذه المثاليّات الأولية هي مثاليّات أولية ، وتتطابق هذه المجموعة من المثاليّات الأولية مع${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/J).}$^{[ 2 ]} يرتبط أيضًا بمفهوم "الأعداد الأولية المرتبطة" بالمثال مفاهيمالأعداد الأولية المعزولةوالأعدادالأولية المضمنة.

يُطلق على الوحدة النمطية غير الصفرية N في R اسم الوحدة النمطية الأولية إذا كان عامل الإفناء${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)=\mathrm {Ann} _{R}(N')\,}$لأي وحدة فرعية غير صفرية N' من N. بالنسبة لوحدة أولية N ،${\displaystyle \mathrm {آن} _{R}(N)\,}$هو مثالي أولي ^في R. [ ^{3 ]}

العدد الأولي المرتبط بوحدة R -module M هو مثال من الشكل${\displaystyle \mathrm {آن} _{R}(N)\,}$حيث N هو وحدة فرعية أولية من M. في الجبر التبديلي، يختلف التعريف المعتاد، ولكنه مكافئ: ^{[ 4 ]} إذا كانت R تبديلية، فإن العنصر الأولي P المرتبط بـ M هو مثالي أولي من الشكل${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(م)\,}$لعنصر غير صفري m من M أو ما يعادله${\displaystyle R/P}$متماثل مع وحدة فرعية من M.

في حلقة تبديلية R ، العناصر الدنيا في${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$(فيما يتعلق بالتضمين النظري للمجموعات) تسمى الأعداد الأولية المعزولة بينما تسمى بقية الأعداد الأولية المرتبطة (أي تلك التي تحتوي بشكل صحيح على الأعداد الأولية المرتبطة) بالأعداد الأولية المضمنة .

يُسمى الموديول مُشاركًا أوليًا إذا كان ^xm =  0 لبعض  m ∈ M غير الصفري يستلزم  xnM = 0 لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة n . يكون الموديول M غير الصفري المولد نهائيًا على حلقة نوثرية تبديلية مُشاركًا أوليًا إذا وفقط إذا كان له عدد أولي واحد مرتبط به. يُسمى الموديول الفرعي N من M مُشاركًا أوليًا من النوع P إذا   ${\displaystyle M/N}$يكون مثالياً أولياً مشتركاً مع P. يكون المثالي I مثالياً أولياً من النوع P إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{P\}}$وبالتالي، فإن المفهوم هو تعميم لمثال أولي.

معظم هذه الخصائص والتأكيدات مذكورة في ( لام 1999 ) بدءًا من الصفحة 86.

• إذا كان M' ⊆ M ، فإن${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(M')\subseteq \mathrm {Ass} _{R}(M).}$إذا كان M' بالإضافة إلى ذلك وحدة فرعية أساسية من M ، فإن الأعداد الأولية المرتبطة بها تتطابق.
• من الممكن، حتى بالنسبة لحلقة محلية تبديلية ، أن تكون مجموعة الأعداد الأولية المرتبطة بوحدة مولدة نهائيًا فارغة. مع ذلك، في أي حلقة تحقق شرط السلسلة التصاعدية على المُثُل (على سبيل المثال، أي حلقة نوثرية يمينية أو يسارية)، فإن لكل وحدة غير صفرية عددًا أوليًا واحدًا على الأقل مرتبطًا بها.
• أي وحدة منتظمة لها إما صفر أو واحد من الأعداد الأولية المرتبطة بها، مما يجعل الوحدات المنتظمة مثالاً على الوحدات الأولية المشتركة.
• بالنسبة لحلقة نوثرية أحادية الجانب، يوجد تطبيق شامل من مجموعة فئات التشاكل للوحدات النمطية الحقنية غير القابلة للتحليل على الطيف${\displaystyle \mathrm {Spec} (R).}$إذا كانت R حلقة أرتينية ، فإن هذا التطبيق يصبح تقابلًا.
• نظرية ماتليس : بالنسبة لحلقة نوثرية تبديلية R ، فإن التطبيق من فئات التشاكل للوحدات الحقنية غير القابلة للتحليل إلى الطيف هو تقابل. علاوة على ذلك، تُعطى مجموعة كاملة من الممثلين لتلك الفئات بواسطة${\displaystyle E(R/{\mathfrak {p}})\,}$أين${\displaystyle E(-)\,}$يشير إلى الهيكل القابل للحقن و${\displaystyle {\mathfrak {p}}\,}$تتراوح على المُثُل الأولية لـ R.
• بالنسبة لوحدة نوثرية M على أي حلقة، يوجد عدد محدود فقط من الأعداد الأولية المرتبطة بـ M.

بالنسبة لحالة الحلقات النويثرية التبادلية، انظر أيضًا التفكيك الأولي#التفكيك الأولي من الأعداد الأولية المرتبطة .

• لو${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$المثل العليا المرتبطة بها${\displaystyle I=((x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})\cdot (z^{3}-w^{3}-3x^{3}))}$هي المُثُل${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})}$و${\displaystyle (z^{3}-w^{3}-3x^{3}).}$
• إذا كانت R هي حلقة الأعداد الصحيحة، فإن المجموعات الأبيلية الحرة غير التافهة والمجموعات الأبيلية غير التافهة ذات رتبة القوة الأولية هي مجموعات أولية مشتركة.
• إذا كانت R هي حلقة الأعداد الصحيحة و M هي مجموعة أبيلية منتهية، فإن الأعداد الأولية المرتبطة بـ M هي بالضبط الأعداد الأولية التي تقسم رتبة M.
• المجموعة من الرتبة 2 هي خارج قسمة الأعداد الصحيحة Z (التي تعتبر وحدة حرة على نفسها)، لكن مثاليها الأولي المرتبط بها (2) ليس عددًا أوليًا مرتبطًا بـ Z.

• نيكولا بورباكي ، الجبر التبادلي
• أيزنبود، ديفيد (1995)، الجبر التبادلي ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  150، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-94268-1MR 1322960​ 
• لام، تسيت يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات رقم 189، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 
• ماتسومورا، هيديوكي (1970)، الجبر التبادلي