المثل الأعلى الأساسي

في الرياضيات ، وتحديداً في الجبر التبادلي ، المثالي الحقيقي${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$حلقة تبديلية${\displaystyle A}$يُقال إنه أساسي إذا كان كلما${\displaystyle xy}$هو عنصر من${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ثم${\displaystyle x}$أو${\displaystyle y^{n}}$وهو أيضاً عنصر من${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle n>0}$على سبيل المثال، في حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$،${\displaystyle (p^{n})}$يُعدّ هذا مثالاً أساسياً إذا${\displaystyle p}$هو عدد أولي .

يُعدّ مفهوم المُثُل الأولية مهمًا في نظرية الحلقات التبادلية ، لأن لكل مُثُل في حلقة نوثرية تحليلًا أوليًا ، أي يُمكن كتابته كتقاطع لعدد محدود من المُثُل الأولية. تُعرف هذه النتيجة بنظرية لاسكر-نوثر . وبناءً على ذلك، ^{[ 1 ]} يُعتبر المُثُل غير القابل للاختزال في حلقة نوثرية مُثُلًا أوليًا.

توجد طرقٌ عديدة لتعميم المُثُل الأولية على الحلقات غير التبديلية، ^{[ 2 ]} ولكن يُدرس هذا الموضوع غالبًا في سياق الحلقات التبديلية. لذا، يُفترض في هذه المقالة أن الحلقات تبديلية وتحتوي على عنصر محايد.

• يمكن إعادة صياغة التعريف بطريقة أكثر تناسقًا ظاهريًا: مثال مناسب${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$يكون أساسيًا إذا، كلما${\displaystyle xy\in {\mathfrak {q}}}$،${\displaystyle x}$أو${\displaystyle y}$هي عناصر من${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$أو كليهما${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$استرخي${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {q}}}}$، الراديكالي​${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$؛ أي،${\displaystyle xy\in {\mathfrak {q}}\implies (x\in {\mathfrak {q}})\lor (y\in {\mathfrak {q}})\lor ((x\in {\sqrt {\mathfrak {q}}})\land (y\in {\sqrt {\mathfrak {q}}})).}$
• مثال مناسب${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ل${\displaystyle R}$تكون أولية إذا وفقط إذا كان كل قاسم صفر في${\displaystyle R/{\mathfrak {q}}}$هو عديم القوة. (قارن هذا بحالة المُثُل الأولية، حيث${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يكون العدد أوليًا إذا وفقط إذا كان كل قاسم للصفر في${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$(في الواقع، هو صفر.)
• أي مثالي أولي هو مثالي أولي، وعلاوة على ذلك يكون المثالي أولي إذا وفقط إذا كان مثاليًا أوليًا وشبه أولي (يسمى أيضًا مثاليًا جذريًا في الحالة التبادلية).
• كل مثال أولي هو مثال أولي . ^{[ 3 ]}
• لو${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$إذا كان مثالاً أولياً، فإن جذر${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$هو بالضرورة مثال رئيسي${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ويُطلق على هذا المثال اسم المثال الأولي المرتبط بـ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$في هذه الحالة،${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$يقال إنه${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-أساسي .
  • من ناحية أخرى، فإن المثالي الذي يكون جذره أوليًا ليس بالضرورة مثاليًا أوليًا: على سبيل المثال، إذا${\displaystyle R=k[x,y,z]/(xy-z^{2})}$،${\displaystyle {\mathfrak {p}}=({\overline {x}},{\overline {z}})}$، و${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}^{2}}$، ثم${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$هو عدد أولي و${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {q}}}={\mathfrak {p}}}$لكن لدينا${\displaystyle {\overline {x}}{\overline {y}}={\overline {z}}^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}={\mathfrak {q}}}$،${\displaystyle {\overline {x}}\not \in {\mathfrak {q}}}$، و${\displaystyle {\overline {y}}^{n}\not \in {\mathfrak {q}}}$للجميع${\displaystyle n>0}$، لذا${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ليس أوليًا. التحلل الأولي لـ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$يكون${\displaystyle ({\overline {x}})\cap ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})}$؛ هنا${\displaystyle ({\overline {x}})}$يكون${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-الابتدائي و${\displaystyle ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})}$يكون${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}})}$-أساسي.
    • أما المثال الذي يكون جذريته قصوى ، فهو المثال الأساسي.
    • كل مثال ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$مع الجذرية${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يحتوي على أصغر${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-المثال الأعلى الأساسي: جميع العناصر${\displaystyle a}$بحيث${\displaystyle ax\in {\mathfrak {q}}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle x\notin {\mathfrak {p}}}$الأصغر${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-مثالي أولي يحتوي على${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle n}$القوة الرمزية لـ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.
• لو${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$إذا كان مثاليًا أوليًا أعظميًا، فإن أي مثالي يكون جذره${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يكون${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-الأساسي (والعكس صحيح). على وجه الخصوص، قوة${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$أو مثال يحتوي على قوة${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يكون${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-أساسي. لكن أ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$- لا يشترط أن يكون المثال الأساسي قوة من${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ولا يشترط أن تحتوي على قوة${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$على سبيل المثال، المثالي${\displaystyle (x,y^{2})}$يكون${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-أساسي للمثالي${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x,y)}$في الحلبة${\displaystyle k[x,y]}$لكنها ليست قوة من${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ومع ذلك، فإنه يحتوي${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{2}}$.
• لو${\displaystyle A}$هي حلقة نوثرية و${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ثم نواة المثال الأول${\displaystyle A\to A_{\mathfrak {p}}}$الخريطة من${\displaystyle A}$إلى تحديد موقع${\displaystyle A}$في${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$، هو تقاطع جميع${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-المبادئ الأساسية. ^{[ 4 ]}
• لو${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$هو أقصى، وهو حاصل ضرب محدود غير فارغ لـ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-المبادئ الأساسية هي${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-أولي ولكنه ناتج لانهائي من${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$قد لا تكون المُثُل الأساسية${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-أولي؛ لأنه على سبيل المثال، في حلقة محلية نوثرية ذات مثالي أقصى${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$،${\displaystyle \textstyle \bigcap _{n>0}{\mathfrak {m}}^{n}=0}$( نظرية كرول للتقاطع ) حيث كل${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}}$يكون${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-الأولي، على سبيل المثال، حاصل الضرب اللانهائي للمثالي الأقصى (وبالتالي الأولي وبالتالي الأولي)${\displaystyle m=\langle x,y\rangle }$من الحلقة المحلية${\displaystyle K[x,y]/\langle x^{2},xy\rangle }$ينتج عنه المثالي الصفري، وهو في هذه الحالة ليس أوليًا (لأن قاسم الصفر${\displaystyle y}$(ليس عديم القوة). في الواقع، في حلقة نوثرية، يكون حاصل ضرب غير فارغ من${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-المبادئ الأساسية${\displaystyle Q_{i}}$يكون${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-أساسي إذا وفقط إذا كان هناك عدد صحيح${\displaystyle n>0}$بحيث${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}\subset \textstyle \bigcap _{i}Q_{i}}$[ ^{5 ]​}

يمكن اعتبار التفكيك الأساسي للمثاليات بواسطة نظرية لاسكر-نوثر بمثابة تعميم للنظرية الأساسية في الحساب ، والتي تنطبق على الأعداد الصحيحة.${\displaystyle \mathbb {Z} }$وغيرها من مجالات التحليل الفريدة ، وصولاً إلى الحلقات النويثرية العامة. في حين أن التحليل الفريد لعناصر الحلقة إلى حاصل ضرب العناصر غير القابلة للاختزال (حتى الوحدات وإعادة الترتيب) يفشل في الحالة العامة، تنص نظرية لاسكر-نوثر على أن مُثُل الحلقة النويثرية لا تزال تمتلك نوعًا من "التحليل الفريد": يمكن كتابة أي مُثُل في حلقة نويثرية على أنه تقاطع للمُثُل الأولية للحلقة في تحليل أولي ، وبينما لا تكون هذه المُثُل الأولية المُكوِّنة فريدة بالضرورة، فإن جذور هذه المُكوِّنات، وهي الأعداد الأولية المرتبطة بالمُثُل، تكون فريدة حتى إعادة الترتيب.

• أتيياه، مايكل فرانسيس ؛ ماكدونالد، آي جي (1969)، مقدمة في الجبر التبادلي ، دار ويستفيو للنشر، ص  50، رقم ISBN 978-0-201-40751-8
• بورباكي ، الجبر التبادلي
• تشاترز، أ. و.؛ هاجارنافيس، س. ر. (1971)، "الحلقات غير التبادلية ذات التفكيك الأولي"، المجلة الفصلية للرياضيات ، السلسلة الثانية، 22 : 73-83 ، doi : 10.1093/qmath/22.1.73 ، ISSN 0033-5606 ، MR 0286822  
• جولدمان، أوسكار (1969)، "الحلقات ووحدات القسمة"، مجلة الجبر ، 13 : 10-47 ، doi : 10.1016/0021-8693(69)90004-0 ، ISSN 0021-8693 ، MR 0245608  
• غورتون، كريستين؛ هيذرلي، هنري (2006)، "الحلقات الأولية المعممة والمثاليات"، مجلة الرياضيات البانونية ، 17 (1): 17-28 ، الرقم الدولي الموحد للدوريات 0865-2090 ، MR 2215638  
• حول المُثُل البدائية ، لاديسلاس فوكس
• ليسيور، ل.؛ Croisot، R. (1963)، Algèbre noethérienne Non commutative (بالفرنسية)، Mémor. الخيال العلمي. الرياضيات، فاس. CLIV. Gauthier-Villars & Cie، Editor-Imprimeur-Libraire، باريس، ص.  119، م.ر 0155861 

• النموذج الأساسي في موسوعة الرياضيات