مقياس باير

في الرياضيات، مقياس باير هو مقياس على جبر سيجما لمجموعات باير في فضاء طوبولوجي، وتكون قيمته منتهية على كل مجموعة باير متراصة. في الفضاءات المترية المتراصة ، تتطابق مجموعات بوريل مع مجموعات باير، وبالتالي فإن مقاييس باير هي نفسها مقاييس بوريل المنتهية على المجموعات المتراصة . عمومًا، لا يشترط أن تتطابق مجموعات باير مع مجموعات بوريل. في الفضاءات التي تحتوي على مجموعات بوريل غير باير، تُستخدم مقاييس باير لأنها ترتبط بخصائص الدوال المتصلة بشكل مباشر.

توجد عدة تعريفات غير متكافئة لمجموعات باير ، وبالتالي توجد عدة مفاهيم غير متكافئة لقياس باير على الفضاء الطوبولوجي. وتتطابق هذه المفاهيم جميعها على الفضاءات المدمجة محليًا والمدمجة من نوع سيجما- هاوسدورف .

عملياً، يمكن استبدال مقاييس باير بمقاييس بوريل العادية . والعلاقة بين مقاييس باير ومقاييس بوريل العادية هي كما يلي:

• إن تقييد مقياس بوريل المحدود على مجموعات باير هو مقياس باير.
• إن قياس باير المحدود على مساحة صغيرة يكون دائمًا منتظمًا.
• إن مقياس باير المحدود على فضاء مضغوط هو تقييد لمقياس بوريل منتظم فريد.
• في الفضاءات المترية المدمجة (أو σ-المدمجة)، تكون مجموعات بوريل هي نفسها مجموعات باير، وتكون مقاييس بوريل هي نفسها مقاييس باير.

• إن مقياس العد على الفترة 1 هو مقياس على مجموعات باير غير منتظم (أو σ-finite).
• مقياس هار (الأيسر أو الأيمن) على زمرة متراصة محليًا هو مقياس باير ثابت تحت تأثير الزمرة الأيسر (الأيمن) على نفسها. على وجه الخصوص، إذا كانت الزمرة زمرة تبديلية ، فإن مقياسي هار الأيسر والأيمن يتطابقان، ونقول إن مقياس هار ثابت تحت الإزاحة . انظر أيضًا ازدواجية بونترياغين .

• ليونارد جيلمان وماير جيريسون ، حلقات الدوال المتصلة ، سبرينغر فيرلاغ #43، 1960