مساحة هاوسدورف

في علم الطوبولوجيا وفروع الرياضيات ذات ^الصلة ، يُعرف فضاء هاوسدورف ( يُلفظ / ˈhaʊsdɔːrf / ، ويُسمى أيضًا فضاء T² أو الفضاء المنفصل ⁾ بأنه فضاء طوبولوجي تكون فيه النقاط المتميزة ذات جوارات منفصلة . ومن بين العديد من بديهيات الفصل التي يمكن فرضها على الفضاء الطوبولوجي، _يُعد " شرط هاوسدورف " ( T² ^{) الأكثر استخدامًا} ومناقشة ^. وهو يُشير إلى تفرد نهايات المتتاليات والشبكات والمرشحات . [ ₂ ]

سميت فضاءات هاوسدورف نسبة إلى فيليكس هاوسدورف ، أحد مؤسسي علم الطوبولوجيا. وقد تضمن تعريف هاوسدورف الأصلي للفضاء الطوبولوجي (في عام 1914) شرط هاوسدورف كمسلمة . ^{[ 3 ]}

نقاط${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يمكن فصلها حسب الأحياء إذا كان هناك حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle x}$وحي${\displaystyle V}$ل${\displaystyle y}$بحيث${\displaystyle U}$و${\displaystyle V}$منفصلة​${\displaystyle (U\cap V=\varnothing )}$.${\displaystyle X}$تكون فضاء هاوسدورف إذا كان أي نقطتين مختلفتين في${\displaystyle X}$تُفصل هذه الفضاءات بواسطة الجوار. هذا الشرط هو بديهية الفصل الثالثة (بعد T0 _و T1 ₎ ، ولهذا السبب تُسمى فضاءات هاوسدورف أيضًا فضاءات T2 . ويُستخدم أيضًا مصطلح " _الفضاء المنفصل" .

وهناك مفهوم ذو صلة، ولكنه أضعف، وهو مفهوم الفضاء ما قبل المنتظم .${\displaystyle X}$يُطلق على الفضاء شبه المنتظم اسم الفضاء الذي يمكن فصل أي نقطتين فيه _، يمكن تمييزهما طوبولوجيًا، بواسطة جوارات منفصلة. ويُسمى الفضاء شبه المنتظم أيضًا بالفضاء R1 .

العلاقة بين هذين الشرطين هي كما يلي: يكون الفضاء الطوبولوجي هاوسدورف إذا وفقط إذا كان شبه منتظم (أي أن النقاط المتميزة طوبولوجيًا مفصولة بجوارات) وكولموغوروف ( أي أن النقاط المتميزة متميزة طوبولوجيًا). ويكون الفضاء الطوبولوجي شبه منتظم إذا وفقط إذا كان خارج قسمة كولموغوروف الخاص به هاوسدورف.

للفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$، ما يلي متكافئ: ^{[ 2 ]}

• ${\displaystyle X}$هو مساحة هاوسدورف.
• حدود الشباك في${\displaystyle X}$فريدة من نوعها. ^{[ 4 ]}
• حدود الفلاتر على${\displaystyle X}$فريدة من نوعها. ^{[ 4 ]}
• أي مجموعة فردية${\displaystyle \{x\}\subset X}$يساوي تقاطع جميع الأحياء المغلقة لـ${\displaystyle x}$[ ^{5 ]} (حي مغلق ^من${\displaystyle x}$هي مجموعة مغلقة تحتوي على مجموعة مفتوحة تحتوي على${\displaystyle x}$.)
• القطر${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}}$تُعتبر مجموعة مغلقة كجزء من فضاء المنتج${\displaystyle X\times X}$.
• أي حقن من الفضاء المنفصل بنقطتين إلى${\displaystyle X}$تتمتع بخاصية الرفع الأيسر بالنسبة للخريطة من الفضاء الطوبولوجي المحدود بنقطتين مفتوحتين ونقطة مغلقة واحدة إلى نقطة واحدة.

معظم الفضاءات التي تُصادف في التحليل هي فضاءات هاوسدورف؛ والأهم من ذلك، أن الأعداد الحقيقية (وفقًا للطوبولوجيا المترية القياسية على الأعداد الحقيقية) هي فضاءات هاوسدورف. وبشكل أعم، فإن جميع الفضاءات المترية هي فضاءات هاوسدورف. في الواقع، العديد من الفضاءات المستخدمة في التحليل، مثل الزمر الطوبولوجية والمتشعبات الطوبولوجية ، تنص تعريفاتها صراحةً على شرط هاوسدورف.

مثال بسيط على الطوبولوجيا التي هي T ₁ ولكنها ليست هاوسدورف هو الطوبولوجيا المحدودة المعرفة على مجموعة غير منتهية ، وكذلك الطوبولوجيا القابلة للعد المعرفة على مجموعة غير قابلة للعد .

لا تُعدّ الفضاءات شبه المترية عادةً فضاءات هاوسدورف، ولكنها فضاءات شبه منتظمة، ويقتصر استخدامها في التحليل عادةً على بناء فضاءات قياس هاوسدورف . في الواقع، عندما يصادف المحللون فضاءً غير هاوسدورف، فإنه على الأرجح لا يزال شبه منتظم على الأقل، وعندها يستبدلونه ببساطة بفضاء كولموغوروف الخاص به، وهو فضاء هاوسدورف. ^{[ 6 ]}

في المقابل، تُصادف الفضاءات غير المنتظمة بشكل متكرر في الجبر المجرد والهندسة الجبرية ، لا سيما في طوبولوجيا زاريسكي على صنف جبري أو طيف حلقة . كما تظهر أيضًا في نظرية النماذج للمنطق الحدسي : فكل جبر هيتينغ كامل هو جبر المجموعات المفتوحة لفضاء طوبولوجي ما، ولكن هذا الفضاء ليس بالضرورة منتظمًا، فضلًا عن كونه هاوسدورف، وفي الواقع غالبًا ما يكون غير منتظم وغير منتظم. ويتضمن مفهوم مجال سكوت أيضًا فضاءات غير منتظمة.

بينما يشير وجود نهايات فريدة للشبكات والمرشحات المتقاربة إلى أن الفضاء هاوسدورف، توجد فضاءات T1 غير هاوسدورفية _يكون لكل متتالية متقاربة فيها نهاية فريدة. ^{[ 7 ]} تُسمى هذه الفضاءات فضاءات US . ^{[ 8 ]} بالنسبة للفضاءات المتسلسلة ، يُكافئ هذا المفهوم كون الفضاء هاوسدورف ضعيفًا .

الفضاءات الجزئية وحاصل ضرب الفضاءات الهاوسدورفية هي فضاءات هاوسدورفية، لكن فضاءات القسمة للفضاءات الهاوسدورفية ليست بالضرورة فضاءات هاوسدورفية. في الواقع، يمكن تمثيل أي فضاء طوبولوجي على أنه فضاء قسمة لفضاء هاوسدورفي ما. ^{[ 9 ]}

تُصنف فضاءات هاوسدورف ضمن _فئة T1 ، أي أن كل عنصر أحادي فيها هو مجموعة مغلقة. وبالمثل، تُصنف الفضاءات شبه المنتظمة ضمن فئة _R0 . كل فضاء هاوسدورف هو فضاء سوبر، مع أن العكس ليس صحيحًا في الغالب.

من خصائص فضاءات هاوسدورف أن كل مجموعة متراصة فيها هي مجموعة مغلقة. أما بالنسبة للفضاءات غير الهاوسدورفية، فقد تكون كل مجموعة متراصة فيها مجموعة مغلقة (على سبيل المثال، طوبولوجيا العد المشترك على مجموعة غير قابلة للعد) أو لا تكون كذلك (على سبيل المثال، طوبولوجيا الإنهاء المشترك على مجموعة غير منتهية وفضاء سيربينسكي ).

يُعرّف فضاء هاوسدورف بأنه يمكن فصل النقاط بواسطة جوارات. ويتضح أن هذا يستلزم شيئًا يبدو أقوى: ففي فضاء هاوسدورف، يمكن فصل أي زوج من المجموعات المدمجة المنفصلة بواسطة جوارات أيضًا، ^{[ 10 ]} أي أن هناك جوارًا لإحدى المجموعتين وجوارًا للأخرى، بحيث يكون هذان الجواران منفصلين. وهذا مثال على القاعدة العامة التي تنص على أن المجموعات المدمجة غالبًا ما تتصرف كالنقاط.

غالبًا ما تستلزم شروط التراص، إلى جانب شرط الانتظام المسبق، بديهيات فصل أقوى. على سبيل المثال، أي فضاء منتظم مسبقًا متراص محليًا يكون منتظمًا تمامًا . ^{[ 11 ] [ 12 ]} الفضاءات المنتظمة مسبقًا المتراصة هي فضاءات طبيعية ، ^{[ 13 ]} أي أنها تحقق مبرهنة أوريسون ومبرهنة تيتز للتمديد ، ولها تجزئات للوحدة تابعة لأغطية مفتوحة منتهية محليًا . أما صيغ هاوسدورف لهذه العبارات فهي: كل فضاء هاوسدورف متراص محليًا هو فضاء تيكونوف ، وكل فضاء هاوسدورف متراص هو فضاء هاوسدورف طبيعي.

النتائج التالية هي بعض الخصائص التقنية المتعلقة بالخرائط ( المستمرة وغير المستمرة) من وإلى فضاءات هاوسدورف.

يترك${\displaystyle f\colon X\to Y}$لتكن دالة متصلة ولنفترض${\displaystyle Y}$هو هاوسدورف. إذن الرسم البياني لـ${\displaystyle f}$،${\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in X\}}$، هي مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle X\times Y}$.

يترك${\displaystyle f\colon X\to Y}$لتكن دالة ولتكن${\displaystyle \ker(f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}}$ليكن نواتها بمثابة فضاء جزئي من${\displaystyle X\times X}$.

• لو${\displaystyle f}$متصل و${\displaystyle Y}$هل هذا هو هاوسدورف إذن؟${\displaystyle \ker(f)}$هي مجموعة مغلقة.
• لو${\displaystyle f}$هو تطبيق شامل مفتوح و${\displaystyle \ker(f)}$إذا كانت مجموعة مغلقة${\displaystyle Y}$هو هاوسدورف.
• لو${\displaystyle f}$إذا كانت دالة شاملة مفتوحة ومستمرة (أي دالة قسمة مفتوحة)،${\displaystyle Y}$تكون هاوسدورف إذا وفقط إذا${\displaystyle \ker(f)}$هي مجموعة مغلقة.

لو${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$هي خرائط متصلة و${\displaystyle Y}$هل هاوسدورف هو المعادل إذن؟${\displaystyle {\mbox{eq}}(f,g)=\{x\mid f(x)=g(x)\}}$هي مجموعة مغلقة في${\displaystyle X}$ويترتب على ذلك أنه إذا${\displaystyle Y}$هو هاوسدورف و${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$الاتفاق على مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle f=g}$بمعنى آخر، يتم تحديد الدوال المتصلة في فضاءات هاوسدورف من خلال قيمها على المجموعات الفرعية الكثيفة.

يترك${\displaystyle f\colon X\to Y}$ليكن تطبيقًا مغلقًا شاملاً بحيث${\displaystyle f^{-1}(y)}$صغير الحجم للجميع${\displaystyle y\in Y}$ثم إذا${\displaystyle X}$هاوسدورف كذلك${\displaystyle Y}$.

يترك${\displaystyle f\colon X\to Y}$كن خريطة قسمة مع${\displaystyle X}$فضاء هاوسدورف مضغوط. عندئذٍ، تكون العناصر التالية متكافئة:

• ${\displaystyle Y}$هو هاوسدورف.
• ${\displaystyle f}$هي خريطة مغلقة .
• ${\displaystyle \ker(f)}$هي مجموعة مغلقة.

جميع الفضاءات المنتظمة هي فضاءات شبه منتظمة، وكذلك جميع فضاءات هاوسدورف. توجد العديد من النتائج المتعلقة بالفضاءات الطوبولوجية التي تنطبق على كل من الفضاءات المنتظمة وفضاءات هاوسدورف. في أغلب الأحيان، تنطبق هذه النتائج على جميع الفضاءات شبه المنتظمة؛ وقد تم إدراجها بشكل منفصل للفضاءات المنتظمة وفضاءات هاوسدورف لأن مفهوم الفضاءات شبه المنتظمة ظهر لاحقًا. من ناحية أخرى، فإن تلك النتائج التي تتعلق بالانتظام بشكل أساسي لا تنطبق عمومًا على فضاءات هاوسدورف غير المنتظمة.

توجد حالات عديدة حيث يُشير شرطٌ آخر للفضاءات الطوبولوجية (مثل التراص الجزئي أو التراص الموضعي ) إلى الانتظام إذا تحقق شرط ما قبل الانتظام. غالبًا ما تأتي هذه الشروط بصيغتين: صيغة منتظمة وصيغة هاوسدورف. مع أن فضاءات هاوسدورف ليست منتظمة عمومًا، فإن فضاء هاوسدورف الذي يكون أيضًا (على سبيل المثال) متراصًا موضعيًا سيكون منتظمًا، لأن أي فضاء هاوسدورف هو ما قبل الانتظام. لذا، من وجهة نظر معينة، فإن ما قبل الانتظام، وليس الانتظام، هو المهم في هذه الحالات. مع ذلك، لا تزال التعريفات تُصاغ عادةً بمصطلحات الانتظام، لأن هذا الشرط معروف أكثر من ما قبل الانتظام.

راجع تاريخ بديهيات الفصل لمزيد من المعلومات حول هذه المسألة.

يمكن تطبيق مصطلحات "هاوسدورف" و"منفصل" و"شبه منتظم" على أنواع مختلفة من الفضاءات الطوبولوجية، مثل الفضاءات المنتظمة ، وفضاءات كوشي ، وفضاءات التقارب . السمة المشتركة بين هذه المفاهيم في جميع هذه الأمثلة هي أن حدود الشبكات والمرشحات (إن وجدت) تكون فريدة (بالنسبة للفضاءات المنفصلة) أو فريدة حتى عدم التمييز الطوبولوجي (بالنسبة للفضاءات شبه المنتظمة).

اتضح أن الفضاءات المنتظمة، وبشكل أعم فضاءات كوشي، تكون دائمًا شبه منتظمة، لذا فإن شرط هاوسدورف في هذه الحالات يختزل إلى شرط T _0. وهذه أيضًا هي الفضاءات التي يكون فيها الاكتمال منطقيًا، وهاوسدورفية هي خاصية طبيعية مصاحبة للاكتمال في هذه الحالات. تحديدًا، يكون الفضاء كاملًا إذا وفقط إذا كان لكل شبكة كوشي نهاية واحدة على الأقل ، بينما يكون الفضاء هاوسدورف إذا وفقط إذا كان لكل شبكة كوشي نهاية واحدة على الأكثر (لأن شبكات كوشي فقط هي التي يمكن أن يكون لها نهايات في المقام الأول).

إن جبر الدوال المتصلة (الحقيقية أو المركبة) على فضاء هاوسدورف متراص هو جبر تبديلي من نوع C* ، وبالعكس، وفقًا لنظرية باناخ-ستون، يمكن استخلاص طوبولوجيا الفضاء من الخصائص الجبرية لجبر الدوال المتصلة فيه. وهذا يقود إلى الهندسة غير التبديلية ، حيث تُعتبر الجبريات غير التبديلية من نوع C* بمثابة تمثيل لجبر الدوال على فضاء غير تبديلي.

• يتم توضيح شرط هاوسدورف من خلال التورية القائلة بأنه في فضاءات هاوسدورف يمكن "عزل" أي نقطتين عن بعضهما البعض بواسطة مجموعات مفتوحة . ^{[ 14 ]}
• في معهد الرياضيات بجامعة بون ، حيث أجرى فيليكس هاوسدورف أبحاثه وألقى محاضراته، توجد غرفة معينة تحمل اسم " هاوسدورف-راوم" . وهذا تورية ، إذ أن كلمة "راوم" تعني كلاً من الغرفة والفضاء في اللغة الألمانية.

• فضاء النقطة الثابتة - الفضاء الذي تكون فيه جميع الدوال لها نقاط ثابتة ، وهو فضاء هاوسدورف X بحيث يكون لكل دالة متصلة f : X → X نقطة ثابتة.  
• فضاء هاوسدورف محليًا - فضاء بحيث يكون لكل نقطة فيه حي هاوسدورف 
• متعدد الشعب غير الهاوسدورفي – تعميم متعددات الشعب 
• الفضاء شبه الطوبولوجي – الوظيفة في الطوبولوجيا 
• بديهية الفصل – بديهيات في علم الطوبولوجيا تحدد مفاهيم "الفصل" 
• مساحة هاوسدورف الضعيفة

• الأماكن القريبة : بونترياجين، ل.س. (1990). الطوبولوجيا العامة I. سبرينغر . رقم ISBN 3-540-18178-4.
• بورباكي (1966). عناصر الرياضيات: الطوبولوجيا العامة . أديسون-ويسلي .
• "فضاء هاوسدورف" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 . 
• ويلارد، ستيفن (2004). الطوبولوجيا العامة . منشورات دوفر . رقم ISBN 0-486-43479-6.