آرس كونجيكتاندي

كتاب " آرس كونجيكتاندي " (باللاتينيةوتعني "فن التخمين") هو كتاب فيالتوافقيةوالاحتمالاتالرياضية، ألفهجاكوب برنولينيكولاس الأول برنوليعام 1713، بعد ثماني سنوات من وفاته. وقد رسّخ هذا العمل الرائد، إلى جانب العديد من المواضيع التوافقية، العديد من الأفكار المركزية فينظرية الاحتمالات، مثل النسخة الأولى منقانون الأعداد الكبيرة؛ بل يُعتبر على نطاق واسع العمل التأسيسي لهذا العلم. كما تناول مسائل تُصنّف اليوم ضمنالاثني عشرمسألة، وأُضيفت إلى هذه المواضيع؛ ونتيجة لذلك، وصفه العديد من مؤرخي الرياضيات بأنه معلم تاريخي هام ليس فقط في الاحتمالات، بل في التوافقية برمتها. وقد كان لهذا العمل المبكر تأثير كبير على علماء الرياضيات المعاصرين واللاحقين، مثلأبراهام دي موافر.

كتب برنولي النص بين عامي 1684 و1689، متضمنًا أعمال علماء رياضيات بارزين مثل كريستيان هويغنز ، وجيرولامو كاردانو ، وبيير دي فيرما ، وبليز باسكال . وقد ضمّن فيه مواضيع أساسية في علم التوافيق، مثل نظريته في التباديل والتوافيق (المسائل المذكورة سابقًا من طريقة الاثني عشر)، بالإضافة إلى مواضيع أخرى ذات صلة أقل ارتباطًا بهذا العلم الناشئ، كاشتقاق وخصائص أعداد برنولي ، على سبيل المثال. كما شكّلت مواضيع أساسية من علم الاحتمالات، كالقيمة المتوقعة ، جزءًا هامًا من هذا العمل المهم.

في أوروبا، طُوِّر موضوع الاحتمالات رسميًا لأول مرة في القرن السادس عشر على يد جيرولامو كاردانو ، الذي يعود اهتمامه بهذا الفرع من الرياضيات إلى حد كبير إلى ولعه بالمقامرة. ^{[ 1 ]} وقد صاغ ما يُعرف الآن بالتعريف الكلاسيكي للاحتمال: إذا كان لحدث ما a نتيجة محتملة، واخترنا أي b من تلك النتائج بحيث يكون b  ≤ a ، فإن احتمال وقوع أي من النتائج b هو ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {b}{a}}\end{smallmatrix}}}$ومع ذلك، لم يكن تأثيره الفعلي على الساحة الرياضية كبيرًا؛ فقد كتب مجلدًا واحدًا خفيفًا فقط في هذا الموضوع بعنوان Liber de ludo aleae (كتاب عن ألعاب الحظ)، والذي نُشر بعد وفاته عام 1663. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

يُشير المؤرخون إلى عام 1654 كبداية لتطور نظرية الاحتمالات الحديثة، حين بدأ اثنان من أشهر علماء الرياضيات في ذلك الوقت، بليز باسكال وبيير دي فيرما، مراسلاتٍ حول هذا الموضوع. وقد بادر الاثنان إلى هذه المراسلة بعد أن أرسل مقامرٌ من باريس يُدعى أنطوان غومبو ، في وقتٍ سابق من ذلك العام، إلى باسكال وعلماء رياضيات آخرين عدة أسئلة حول التطبيقات العملية لبعض هذه النظريات؛ وعلى وجه الخصوص، طرح مسألة النقاط ، المتعلقة بلعبةٍ نظرية ثنائية اللاعبين حيث يجب تقسيم الجائزة بين اللاعبين بسبب ظروفٍ خارجية تُوقف اللعبة. وقد أثارت ثمار مراسلات باسكال وفيرما اهتمام علماء رياضيات آخرين، من بينهم كريستيان هويغنز ، الذي نُشر كتابه "De ratiociniis in aleae ludo" (الحسابات في ألعاب الحظ) عام 1657 كفصلٍ أخير من كتاب فان شوتين " Exercitationes Matematicae" . ^{[ ٢ ]} في عام ١٦٦٥، نشر باسكال بعد وفاته نتائجه حول مثلث باسكال ، وهو مفهوم توافقي مهم. وقد أشار إلى المثلث في كتابه " Traité du triangle arithmétique " (صفات المثلث الحسابي) باسم "المثلث الحسابي". ^{[ ٤ ]}

في عام ١٦٦٢، نُشر كتاب "المنطق أو فن التفكير" (La Logique ou l'Art de Penser) دون ذكر اسم المؤلف في باريس. ^{[ ٥ ]} يُفترض أن مؤلفيه هما أنطوان أرنولد وبيير نيكول ، وهما من أبرز علماء الجانسينية ، واللذان عملا مع بليز باسكال. يحمل الكتاب عنوانًا لاتينيًا هو " فن التفكير" (Ars cogitandi )، وقد حقق نجاحًا كبيرًا في مجال المنطق في ذلك الوقت. يتألف " فن التفكير" من أربعة أجزاء، يتناول الجزء الرابع منها اتخاذ القرارات في ظل عدم اليقين، وذلك من خلال تشبيهه بالمقامرة، ويُقدم مفهوم الاحتمال الكمي بشكل صريح. ^{[ ٦ ] [ ٧ ]}

في مجال الإحصاء والاحتمالات التطبيقية، نشر جون جرانت كتابه "ملاحظات طبيعية وسياسية حول سجلات الوفيات" عام 1662، مؤسسًا بذلك علم السكان . وقدّم هذا العمل، من بين أمور أخرى، تقديرًا إحصائيًا لسكان لندن، وأنتج أول جدول حياة ، وحدد احتمالات بقاء الفئات العمرية المختلفة، ودرس أسباب الوفاة المختلفة، مشيرًا إلى ثبات المعدل السنوي للانتحار والحوادث، وعلق على مستوى واستقرار نسبة الجنس . ^{[ 8 ]} ونوقشت فائدة جداول جرانت وتفسيرها في سلسلة من المراسلات بين الأخوين لودفيج وكريستيان هيغنز عام 1667، حيث أدركا الفرق بين تقديرات المتوسط ​​والوسيط، بل إن كريستيان قام بتعديل جدول حياة جرانت بمنحنى سلس، مُنشئًا بذلك أول توزيع احتمالي متصل؛ إلا أن مراسلاتهما لم تُنشر. لاحقًا، نشر يوهان دي ويت ، رئيس وزراء الجمهورية الهولندية آنذاك، مادةً مماثلة في كتابه " رسالة في معاشات الحياة" ( Waerdye van Lyf-Renten ) عام 1671، والذي استخدم فيه مفاهيم إحصائية لتحديد متوسط ​​العمر المتوقع لأغراض سياسية عملية؛ ما يُظهر أن هذا الفرع من الرياضيات، القائم على أخذ العينات، له تطبيقات عملية هامة. ^{[ 9 ]} لم ينتشر عمل دي ويت على نطاق واسع خارج الجمهورية الهولندية، ربما بسبب سقوطه من السلطة وإعدامه على يد الغوغاء عام 1672. وبغض النظر عن المساهمات العملية لهذين العملين، فقد كشفا أيضًا عن فكرة أساسية مفادها أنه يمكن إسناد احتمالية إلى أحداث لا تمتلك تناظرًا فيزيائيًا متأصلًا، مثل احتمالات الوفاة في سن معينة، على عكس رمي النرد أو قلب العملة المعدنية، وذلك ببساطة عن طريق حساب تكرار الحدوث. وبالتالي، يمكن أن تكون الاحتمالية أكثر من مجرد توافيق. ^{[ 7 ]}

في أعقاب هؤلاء الرواد، أنتج برنولي العديد من النتائج الواردة في كتابه "فن التخمين" (Ars Conjectandi) بين عامي 1684 و1689، والتي دوّنها في مذكراته "تأملات" (Meditationes) . ^{[ 1 ] [ 10 ]} عندما بدأ برنولي العمل عام 1684 في سن الثلاثين، وبينما كان مفتونًا بالمسائل التوافقية والاحتمالية، لم يكن قد قرأ بعدُ عمل باسكال حول "المثلث الحسابي" ولا عمل دي ويت حول تطبيقات نظرية الاحتمالات: كان قد طلب سابقًا نسخة من الأخير من معارفه غوتفريد لايبنتز ، لكن لايبنتز لم يُزوّده بها. مع ذلك، تمكّن لايبنتز من توفير عمل باسكال وهيغنز، وبالتالي بُني كتاب "فن التخمين " (Ars Conjectandi) إلى حد كبير على هذه الأسس . ^{[ 11 ]} بصرف النظر عن هذه الأعمال، من المؤكد أن برنولي كان يمتلك أو على الأقل كان على دراية بمحتويات كتاب La Logique ou l'Art de Penser من مصادر ثانوية وكذلك كتاب Graunt's Bills of Mortality ، حيث أنه يشير صراحة إلى هذين العملين.

يمكن تتبع تطور برنولي عبر الزمن من خلال كتابه " التأملات ". ويمكن تمييز ثلاث فترات عمل فيما يتعلق بـ"اكتشافه" من حيث الأهداف والأوقات. الفترة الأولى، الممتدة من عام 1684 إلى 1685، كُرِّست لدراسة المشكلات المتعلقة بألعاب الحظ التي طرحها كريستيان هويغنز؛ وخلال الفترة الثانية (1685-1686) امتدت الأبحاث لتشمل العمليات التي لا تُعرف احتمالاتها مسبقًا، بل يجب تحديدها لاحقًا. وأخيرًا، في الفترة الأخيرة (1687-1689)، تم حل مشكلة قياس الاحتمالات. ^{[ 6 ]}

قبل نشر كتابه Ars Conjectandi ، كان برنولي قد أنتج عددًا من الرسائل المتعلقة بالاحتمالات: ^{[ 12 ]}

• Parallelismus Ratiocinii logici et algebraici ، بازل، 1685.
• في مجلة des Sçavans 1685 (26.VIII)، ص.  314 تظهر مسألتان تتعلقان باحتمال فوز كل من اللاعبين في لعبة النرد. تم نشر الحلول في Acta Eruditorum 1690 (May)، الصفحات من  219 إلى 223 في المقالة Quaestiones Nonnullae de usuris, cumsolutioneProblematis de Sorte Alearum . بالإضافة إلى ذلك، نشر لايبنتز بنفسه حلاً في نفس المجلة في الصفحات 387-390.
• Theses logicae de conversione et discounte enunciationum ، وهي محاضرة عامة ألقيت في بازل، 12 فبراير 1686. وتتعلق الأطروحات من الحادية والثلاثين إلى الأربعين بنظرية الاحتمالات.
• دي آرتي كومبيناتوريا أوراتيو إنوغوراليس ، 1692.
• The Letter à un amy sur les parties du jeu de paume , yes, a letter to a friend on sets in the game of Tennis, published with the Ars Conjectandi in 1713.

بين عامي 1703 و1705، تبادل لايبنتز الرسائل مع ياكوب بعد أن علم باكتشافاته في الاحتمالات من أخيه يوهان . ^{[ 13 ]} تمكن لايبنتز من تقديم انتقادات معمقة لقانون برنولي للأعداد الكبيرة، لكنه لم يزود برنولي بعمل دي ويت حول المعاشات السنوية الذي كان يتوق إليه. ^{[ 13 ]} منذ البداية، تمنى برنولي أن يُظهر عمله أن التوافقية ونظرية الاحتمالات سيكون لهما تطبيقات عملية عديدة في جميع جوانب المجتمع - على غرار عمل جرانت ودي ويت - وأن يُستخدما كمنهج دقيق للاستدلال المنطقي في ظل نقص الأدلة، كما هو الحال في المحاكم وفي الأحكام الأخلاقية. كما كان يُؤمل أن تُوفر نظرية الاحتمالات منهجًا شاملًا ومتسقًا للاستدلال، حيث قد يعجز الاستدلال العادي أمام تعقيد الموقف. ^{[ 13 ]} وهكذا تم اختيار عنوان Ars Conjectandi : وهو رابط بمفهوم ars inveniendi من الفلسفة المدرسية ، والذي وفر الرابط الرمزي بالبراغماتية التي كان يرغب بها، وأيضًا كامتداد لـ Ars Cogitandi السابق . ^{[ 6 ]}

بحسب كلمات برنولي نفسه، فإن "فن التخمين" يُعرَّف في الفصل الثاني من الجزء الرابع من كتابه " فن التخمين " على النحو التالي:

فن قياس احتمالات الأشياء بأكبر قدر ممكن من الدقة، بهدف أن نكون قادرين دائمًا على اختيار أو اتباع المسار الذي تم تحديده على أنه الأفضل أو الأكثر إرضاءً أو الأكثر أمانًا أو الأكثر فائدة في أحكامنا وأفعالنا.

توقف تطوير الكتاب بوفاة برنولي عام ١٧٠٥؛ لذا يُعتبر الكتاب غير مكتملٍ جوهريًا مقارنةً برؤية برنولي الأصلية. وقد حال الخلاف مع شقيقه الأصغر يوهان، الذي كان الشخص الأكفأ القادر على إتمام مشروع يعقوب، دون اطلاع يوهان على المخطوطة. لم يكن أبناء يعقوب أنفسهم من علماء الرياضيات، ولم يكونوا مؤهلين لمهمة تحرير المخطوطة ونشرها. وأخيرًا، تمكن ابن أخيه نيكولاس، بعد سبع سنوات من وفاة يعقوب عام ١٧٠٥، من نشر المخطوطة عام ١٧١٣. ^{[ ١٤ ] [ ١٥ ]}

ينقسم عمل برنولي، الذي نُشر أصلاً باللاتينية ^{[ 16 ] ، إلى أربعة أجزاء. [ 11 ]} ويتناول بشكل خاص نظريته في التباديل والتوافيق؛ وهي الأسس المعيارية لعلم التوافيق اليوم، ومجموعات فرعية من المسائل الأساسية المعروفة اليوم باسم الطريقة الاثني عشرية . كما يناقش العمل دوافع وتطبيقات متتالية من الأعداد ترتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية الأعداد أكثر من ارتباطها بالاحتمالات؛ وتُعرف هذه الأعداد باسم برنولي ، وهي من أبرز إنجازاته. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

يتناول الجزء الأول شرحًا مُفصَّلًا لكتاب هيغنز " De ratiociniis in aleae ludo" . ويُقدِّم برنولي في هذا القسم حلولًا للمسائل الخمس التي طرحها هيغنز في نهاية كتابه. ^{[ 11 ]} ويُفصِّل برنولي مفهوم هيغنز للقيمة المتوقعة، وهي المتوسط ​​المرجح لجميع النتائج المُحتملة لحدثٍ ما. وقد وضع هيغنز الصيغة التالية:

${\displaystyle E={\frac {p_{0}a_{0}+p_{1}a_{1}+p_{2}a_{2}+\cdots +p_{n}a_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}.}$^{[ 19 ]}

في هذه الصيغة، _{E هي القيمة المتوقعة، و pᵢ هي احتمالات تحقيق كل قيمة، و aᵢ} هي القيم _{الممكنة} . يُعَيِّر برنولي القيمة المتوقعة بافتراض أن pᵢ هي احتمالات جميع النتائج المنفصلة للقيمة، مما يعني أن p₀ + _{p₁ +} ... + pₙ = _{1. ومن} النظريات الرئيسية الأخرى التي طُوِّرت في هذا الجزء احتمال تحقيق عدد معين على الأقل من النجاحات من عدد من الأحداث الثنائية، والتي تُسمى اليوم تجارب برنولي [20]، بافتراض أن ^{احتمال النجاح في} كل حدث متساوٍ. يُبَيِّن برنولي، من خلال الاستقراء الرياضي، أنه بمعلومية a عدد النتائج المواتية في كل حدث، و b عدد النتائج الإجمالية في كل حدث، و d العدد المطلوب من النتائج الناجحة، و e عدد الأحداث، فإن احتمال تحقيق d نجاحات على الأقل هو        

${\displaystyle P=\sum _{i=0}^{ed}{\binom {e}{d+i}}\left({\frac {a}{b}}\right)^{d+i}\left({\frac {ba}{b}}\right)^{edi}.}$^{[ 21 ]}

ويختتم الجزء الأول بما يُعرف الآن بتوزيع برنولي . ^{[ 16 ]}

يتناول الجزء الثاني بالتفصيل علم التوافيق العددي ، أو الترقيم المنهجي للأشياء. وفي هذا الجزء، تم توضيح اثنتين من أهم الطرق الاثنتي عشرة - وهما التباديل والتوافيق التي ستشكل أساس هذا العلم - على الرغم من تقديمهما سابقًا لأغراض نظرية الاحتمالات. ويقدم المؤلف أول برهان غير استقرائي لتوسيع ذات الحدين للأس الصحيح باستخدام حجج توافيقية. وفي سياق ذي صلة أقل بعلم التوافيق، يناقش القسم الثاني أيضًا الصيغة العامة لمجموع قوى الأعداد الصحيحة؛ ولذلك تُسمى المعاملات الحرة لهذه الصيغة بأعداد برنولي ، والتي أثرت في أعمال أبراهام دي موافر لاحقًا، ^{[ 16 ]} والتي أثبتت تطبيقاتها العديدة في نظرية الأعداد. ^{[ 22 ]}

في الجزء الثالث، يطبق برنولي تقنيات الاحتمالات من القسم الأول على ألعاب الحظ الشائعة التي تُلعب بأوراق اللعب أو النرد. ^{[ 11 ]} وهو لا يرى ضرورة لوصف قواعد وأهداف ألعاب الورق التي يحللها. بل يعرض مسائل احتمالية متعلقة بهذه الألعاب، وبعد وضع طريقة معينة، يقدم تعميمات لها. على سبيل المثال، يمكن تعميم مسألة تتعلق بالعدد المتوقع لأوراق البلاط - الولد والملكة والملك - التي يمكن سحبها من خمس أوراق من مجموعة أوراق لعب قياسية مكونة من 52 ورقة تحتوي على 12 ورقة بلاط، لتشمل مجموعة أوراق تحتوي على عدد a من الأوراق التي تحتوي بدورها على عدد b من أوراق البلاط، وبالتالي يصبح مجموع أوراق اللعب c . ^{[ 23 ]}

يواصل القسم الرابع نهج التطبيقات العملية بمناقشة تطبيقات الاحتمالات في الشؤون المدنية والأخلاقية والاقتصادية ، أو في القرارات الشخصية والقضائية والمالية. في هذا القسم، يختلف برنولي عن المدرسة الفكرية المعروفة بالتكرارية ، التي عرّفت الاحتمالات تعريفًا تجريبيًا. ^{[ 24 ]} وكردٍّ على ذلك، قدّم برنولي نتيجةً تُشبه قانون الأعداد الكبيرة ، والذي وصفه بأنه يتنبأ بأن نتائج الملاحظة ستقترب من الاحتمال النظري مع إجراء المزيد من التجارب - في المقابل، عرّف أصحاب التكرارية الاحتمالات من منظور الاحتمال النظري. [ ^{14 ] كان} برنولي فخورًا جدًا بهذه النتيجة، مشيرًا إليها باسم "نظريته الذهبية"، ^{[ 25 ]} ولاحظ أنها "مشكلة انشغلتُ بها لعشرين عامًا". ^{[ 26 ]} تُعرف هذه النسخة المبكرة من القانون اليوم إما بنظرية برنولي أو قانون الأعداد الكبيرة الضعيف، لأنها أقل دقةً وعموميةً من النسخة الحديثة. ^{[ 27 ]}

بعد هذه الأقسام التوضيحية الأربعة الرئيسية، وكأنها فكرة لاحقة، ألحق برنولي بكتابه " فن التخمين" رسالة في حساب التفاضل والتكامل ، والتي تناولت المتسلسلات اللانهائية . ^{[ 16 ]} وكانت هذه الرسالة إعادة طبع لخمس أطروحات نشرها بين عامي 1686 و1704. ^{[ 21 ]}

يُعتبر كتاب "فن التخمين" (Ars Conjectandi) عملاً بارزاً في علم التوافيق، والعمل التأسيسي لنظرية الاحتمالات الرياضية. ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]} ومن بين المراجع الأخرى، وصفت مختارات من كتابات رياضية عظيمة نشرتها دار إلزيفير وحررها المؤرخ إيفور غراتان غينيس، الدراسات الواردة في هذا العمل بأنها "شغلت علماء الرياضيات طوال القرنين الثامن عشر والتاسع عشر"، وهو تأثير استمر لثلاثة قرون. ^{[ 31 ]} أشاد الإحصائي أنتوني إدواردز ليس فقط بمحتوى الكتاب الرائد، بل أيضاً بأسلوبه، فكتب أنه يُظهر "إلمام برنولي التام بجوانب عديدة من علم التوافيق"، وكتب أيضاً عن أسلوبه: "[فن التخمين] كتاب مكتوب بأسلوب رائع، ومبني ببراعة". ^{[ 32 ]} ولعلّ أحدث من وصفه هو المؤرخ الرياضي الشهير وعالم الطوبولوجيا ويليام دونهام، الذي وصفه بأنه "المعلم التالي في نظرية الاحتمالات [بعد عمل كاردانو]"، فضلاً عن كونه "تحفة جاكوب برنولي". ^{[ 1 ]} وقد ساهم ذلك بشكل كبير فيما وصفه دونهام بأنه "سمعة برنولي الراسخة منذ زمن طويل". ^{[ 33 ]}

أثّر عمل برنولي في العديد من علماء الرياضيات المعاصرين واللاحقين. حتى أن رسالته التي تبدو وكأنها إضافة لاحقة حول حساب التفاضل والتكامل قد تم الاستشهاد بها بشكل متكرر، ولا سيما من قبل عالم الرياضيات الاسكتلندي كولين ماكلورين . ^{[ 16 ]} استمر برنامج جاكوب لتطبيق فن التخمين على مسائل الحياة العملية، والذي توقف بوفاته عام 1705، على يد ابن أخيه نيكولاس برنولي ، بعد أن اقتبس أجزاءً حرفيًا من كتابه "فن التخمين" لأطروحته الخاصة بعنوان "استخدام فن التخمين في القانون" والتي نُشرت بالفعل عام 1709. ^{[ 6 ]} قام نيكولاس أخيرًا بتحرير كتاب "فن التخمين" والمساعدة في نشره عام 1713. وفي وقت لاحق، قام نيكولاس أيضًا بتحرير أعمال جاكوب برنولي الكاملة وأكملها بنتائج مأخوذة من مذكرات جاكوب. ^{[ 34 ]}

كتب بيير ريمون دي مونمور ، بالتعاون مع نيكولاس برنولي، كتابًا عن الاحتمالات بعنوان " مقال تحليلي عن ألعاب الحظ" (Essay d'analyse sur les jeux de hazard) نُشر عام 1708، ويمكن اعتباره امتدادًا للجزء الثالث من كتاب "فن التخمين " (Ars Conjectandi) الذي يطبق التوافقية والاحتمالات لتحليل ألعاب الحظ الشائعة آنذاك. ^{[ 34 ]} كما كتب أبراهام دي موافر باستفاضة عن هذا الموضوع في كتابه "قياس العوائد : أو في احتمالية وقوع الأحداث في الألعاب" (De mensura sortis: Seu de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus) عام 1711، وامتداده "مذهب الاحتمالات أو طريقة لحساب احتمالية وقوع الأحداث في اللعب" (The Doctrine of Chances or, a Method of Calculating the Probability of Events in Play) عام 1718. ^{[ 35 ]} وكان أبرز إنجازات دي موافر في مجال الاحتمالات هو اكتشافه أول تطبيق لنظرية النهاية المركزية ، والتي مكّنته من تقريب التوزيع ذي الحدين بالتوزيع الطبيعي . ^{[ 16 ]} ولتحقيق ذلك، طوّر دي مويفر متتالية تقاربية لدالة المضروب - والتي نشير إليها الآن بتقريب ستيرلنغ - وصيغة برنولي لمجموع قوى الأعداد. ^{[ 16 ]} وقد اعتمد كل من مونتمورت ودي مويفر مصطلح الاحتمال من جاكوب برنولي، والذي لم يُستخدم في جميع المنشورات السابقة حول المقامرة، وحظيت أعمالهما بشعبية واسعة. ^{[ 6 ]}

قام العديد من علماء الرياضيات البارزين في العصر الحديث، مثل دي مويفر، ولابلاس، وبواسون، وتشيبشيف، وماركوف، وبوريل، وكانتيللي، وكولموغوروف، وخينشين، بتطوير نظرية برنولي الذهبية، المتعلقة بتقارب الاحتمال النظري والاحتمال التجريبي . وقد تم تقديم البرهان الكامل لقانون الأعداد الكبيرة للمتغيرات العشوائية العشوائية خلال النصف الأول من القرن العشرين. ^{[ 36 ]}

كان لتوماس سيمبسون تأثير غير مباشر كبير ، إذ حقق نتيجةً تُشابه إلى حد كبير نتيجة دي مويفر. ووفقًا لمقدمة كتاب سيمبسون، فقد اعتمد عمله بشكل كبير على عمل دي مويفر؛ ​​بل إن الأخير وصف عمل سيمبسون بأنه نسخة مختصرة من عمله. ^{[ 37 ]} وفي النهاية، كتب توماس بايز مقالًا يناقش فيه الآثار اللاهوتية لنتائج دي مويفر: فقد اعتبر بايز حله لمشكلة تحديد احتمالية وقوع حدث ما من خلال تكراره النسبي دليلًا على وجود الله . ^{[ 38 ]} وفي عام 1812، نشر بيير سيمون لابلاس كتابه "النظرية التحليلية للاحتمالات" الذي جمع فيه وأرسى العديد من النتائج الأساسية في الاحتمالات والإحصاء، مثل دالة توليد العزوم ، وطريقة المربعات الصغرى، والاحتمال الاستقرائي ، واختبار الفرضيات، مُكملًا بذلك المرحلة الأخيرة في تطور الاحتمالات الكلاسيكية. في الواقع، في ضوء كل هذا، هناك سبب وجيه لاعتبار عمل برنولي حدثًا محوريًا؛ لم تقتصر تأثيراته المختلفة، المباشرة وغير المباشرة، على تغيير الدراسة الرياضية للتوافقية فحسب، بل تأثرت اللاهوت أيضًا.

• التوزيع متعدد الحدود
• محاكمة برنولي
• قانون الأعداد الكبيرة
• أرقام برنولي
• التوزيع ذو الحدين

• بيرنولي، جاكوب (1713)، آرس كونكتاندي، تأليف بعد الوفاة. الوصول إلى Tractatus de seriebus infinitis، والرسالة المكتوبة بخط الشعيرات الشبكية ، بازل: Thurneysen Brothers، OCLC 7073795 
• برنولي، جاكوب (2005) [1713]، فن التخمين، بالإضافة إلى رسالة إلى صديق حول المجموعات في تنس الملاعب (ترجمة إنجليزية) ، ترجمة إديث سيلا، بالتيمور: مطبعة جامعة جونز هوبكنز، ISBN 978-0-8018-8235-7
• برنولي، جاكوب (2005) [1713]، في قانون الأعداد الكبيرة، الجزء الرابع من كتاب "فن التخمين" (ترجمة إنجليزية) (ملف PDF) ، ترجمة أوسكار شينين، برلين: دار نشر NG، رقم ISBN 978-3-938417-14-0
• بيرنولي ، جاكوب (2002) [1713]، Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ars conjectandi) (الترجمة الألمانية) ، ترجمة هوسنر، روبرت، فرانكفورت أم ماين: Verlag Harri Deutsch ، ISBN 978-3-8171-3107-5
• فان براكيل، ج. (يونيو 1976)، "بعض الملاحظات حول تاريخ مفهوم الاحتمال الإحصائي"، أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة ، 16 (2): 119، doi : 10.1007/BF00349634 ، S2CID 119997834 
• كولاني، إيلارت فون (2006)، "فك شفرة جاكوب برنولي" ، نشرة جمعية برنولي للإحصاء الرياضي والاحتمالات ، 13 (2) ، تاريخ الاسترجاع 2008-07-03
• دونهام، ويليام (1990)، رحلة عبر العبقرية (  الطبعة الأولى)، جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 978-0-471-50030-8
• دونهام، ويليام (1994)، الكون الرياضي (  الطبعة الأولى)، جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 978-0-471-53656-7
• إدواردز، أنتوني دبليو إف (1987)، مثلث باسكال الحسابي: قصة فكرة رياضية ، مطبعة جامعة جونز هوبكنز، رقم ISBN 978-0-8018-6946-4
• إلسيفير (2005)، غراتان-غينيس، إيفور (محرر)، كتابات بارزة في الرياضيات الغربية، 1640-1940 ، إلسيفير
• هالد، أندرس (2005)، تاريخ الاحتمالات والإحصاء وتطبيقاتهما قبل عام 1750 ، وايلي، ISBN 978-0-471-47129-5
• هاكينج، إيان (1971)، "فن التخمين عند جاك برنولي"، المجلة البريطانية لفلسفة العلوم ، 22 (3): 209-229 ، doi : 10.1093/bjps/22.3.209
• هالد، أندرس (2003). تاريخ الاحتمالات والإحصاء وتطبيقاتهما قبل عام 1750. جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-471-72517-6.
• مايستروف، ليونيد (1974)، نظرية الاحتمالات: لمحة تاريخية ، دار النشر الأكاديمية
• ماسيريس، فرانسيس؛ برنولي، جاكوب؛ واليس، جون (1798)، مذهب التباديل والتوافيق ، الناقد البريطاني
• دي مويفر، أبراهام (2000) [1716]، مذهب الاحتمالات (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: دار نشر تشيلسي، رقم ISBN 978-0-8218-2103-9
• شنايدر، إيفو (يونيو 2006)، "التأثيرات المباشرة وغير المباشرة لكتاب جاكوب برنولي "فن التخمين" في بريطانيا العظمى في القرن الثامن عشر" (ملف PDF) ، المجلة الإلكترونية لتاريخ الاحتمالات والإحصاء ، المجلد  2، العدد  1
• شنايدر، إيفو (1984)، "دور لايبنتز وجاكوب برنولي في تطوير نظرية الاحتمالات"، مجلة LLUL ، المجلد  7، الصفحات 69-89 
• يوجين سينيتا (2013)، “تاريخ الذكرى المئوية الثلاثية لقانون الأعداد الكبيرة”، بيرنولي ، 19 (4): 1088–1121 ، أرخايف : 1309.6488 ، دوى : 10.3150/12-BEJSP12 ، S2CID 88520834 
• شيفر، جلين (1996)، "أهمية نظرية التخمين لجاكوب برنولي في فلسفة الاحتمالات اليوم" (ملف PDF) ، مجلة الاقتصاد القياسي ، المجلد  75، العدد  1، الصفحات 15-32 ، CiteSeerX 10.1.1.407.1066 ، doi : 10.1016/0304-4076(95)01766-6  
• شينين، أو بي (نوفمبر 1968)، "دراسات في تاريخ الاحتمالات والإحصاء. الحادي والعشرون: حول التاريخ المبكر لقانون الأعداد الكبيرة"، بيومتريكا ، 55 (3): 459-467 ، doi : 10.2307/2334251 ، JSTOR 2334251 
• سيلا، إديث د. (1998)، "ظهور الاحتمالات الرياضية من منظور تطابق لايبنتز-جاكوب برنولي" ، وجهات نظر في العلوم ، 6 (1 و2): 41-76 ، doi : 10.1162/posc_a_00544
• تود هانتر، إسحاق (1865)، تاريخ النظرية الرياضية للاحتمالات من زمن باسكال إلى زمن لابلاس ، ماكميلان وشركاه.

• اقتباسات من جاكوب برنولي
• مصادر في تاريخ الاحتمالات والإحصاء، مؤرشفة بتاريخ 13 مايو 2013 على موقع Wayback Machine
• سيرة جاكوب برنولي