جاكوب برنولي

كان جاكوب برنولي ⁽ 6 يناير 1655 ^[ 27 ديسمبر 1654 حسب التقويم القديم ] - 16 أغسطس 1705) عالم رياضيات سويسريًا. انحاز إلى جانب غوتفريد فيلهلم لايبنتز خلال جدل لايبنتز ^- نيوتن في حساب التفاضل والتكامل، وكان من أوائل المؤيدين لحساب لايبنتز ، الذي قدم له إسهامات عديدة. وبصفته عضوًا في عائلة برنولي ، كان، إلى جانب شقيقه يوهان ، من مؤسسي حساب التفاضل والتكامل التغيري . كما اكتشف الثابت الرياضي الأساسي e . ومع ذلك، كانت أهم إسهاماته في مجال الاحتمالات ، حيث استنتج الصيغة الأولى لقانون الأعداد الكبيرة في كتابه "فن التخمين" . ^{[ 3 ]}

يُعرف برنولي أحيانًا باسم جاكوب ( وهو اسمه بالألمانية ). كما عُرف باسم جيمس بالإنجليزية أو جاك بالفرنسية. وعندما كان ينشر باللاتينية ، كما كان يفعل غالبًا، كان يُكتب اسمه جاكوبوس برنوليوس . ولتمييزه عن قريبه جاكوب الثاني برنولي ، يُضاف أحيانًا إلى اسم برنولي لاحقة الجيل "I" ، كما في جاكوب الأول برنولي .

وُلد يعقوب برنولي في بازل بالاتحاد السويسري ؛ ^{[ 4 ]} وهو ابن وحفيد تجار توابل بروتستانت ^{[ 5 ]} من جهة والده. أما والدته فكانت تنتمي إلى عائلة تعمل في مجال البنوك وإدارة المدينة. ^{[ 6 ]}

امتثالاً لرغبة والده، درس اللاهوت والتحق بالسلك الكهنوتي. لكن خلافاً لرغبة والديه، ^{[ 7 ]} درس أيضاً الرياضيات وعلم الفلك . سافر في أنحاء أوروبا بين عامي 1676 و1682، مُطّلعاً على أحدث الاكتشافات في الرياضيات والعلوم على يد أبرز علماء عصره، ومن بينهم يوهانس هود ، وروبرت بويل ، وروبرت هوك . وخلال هذه الفترة، وضع أيضاً نظرية خاطئة عن المذنبات .

عاد برنولي إلى سويسرا، وبدأ تدريس الميكانيكا في جامعة بازل منذ عام 1683. وقدّم أطروحته للدكتوراه بعنوان Solutionem tergemini problematis في عام 1684. ^{[ 8 ]} ونُشرت في عام 1687. ^{[ 9 ]}

في عام ١٦٨٤، تزوج برنولي من جوديث ستوبانوس، وأنجبا طفلين. وخلال هذا العقد، بدأ مسيرة بحثية مثمرة. أتاحت له أسفاره التواصل مع العديد من كبار علماء الرياضيات والعلوم في عصره، وهي علاقات حافظ عليها طوال حياته. خلال هذه الفترة، درس الاكتشافات الجديدة في الرياضيات، بما في ذلك كتاب كريستيان هويغنز " De ratiociniis in aleae ludo" ، وكتاب ديكارت " La Géométrie " ، وملحقات فرانس فان شوتين له. كما درس أعمال إسحاق بارو وجون واليس ، مما أدى إلى اهتمامه بالهندسة المتناهية الصغر. بالإضافة إلى ذلك، بين عامي ١٦٨٤ و١٦٨٩، تم اكتشاف العديد من النتائج التي شكلت لاحقًا كتاب "Ars Conjectandi" .

يُعتقد أنه عُيّن أستاذًا للرياضيات في جامعة بازل عام 1687، وبقي في هذا المنصب حتى وفاته. في ذلك الوقت، كان قد بدأ بتدريس شقيقه يوهان برنولي مواضيع رياضية. شرع الشقيقان في دراسة حساب التفاضل والتكامل كما قدمه لايبنتز في بحثه عام 1684 بعنوان " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " المنشور في مجلة Acta Eruditorum . كما درسا أيضًا منشورات فون تشيرنهاوس . تجدر الإشارة إلى أن منشورات لايبنتز في حساب التفاضل والتكامل كانت غامضة جدًا بالنسبة لعلماء الرياضيات في ذلك الوقت، وكان الأخوان برنولي من أوائل من حاولوا فهم نظريات لايبنتز وتطبيقها.

تعاون يعقوب مع أخيه في تطبيقاتٍ مختلفةٍ لحساب التفاضل والتكامل. إلا أن جو التعاون بين الأخوين تحوّل إلى منافسةٍ مع نضوج عبقرية يوهان الرياضية، حيث تبادلا الهجمات في كتاباتهما، وطرحا تحدياتٍ رياضيةً صعبةً لاختبار مهارات كلٍّ منهما. ^{[ 10 ]} وبحلول عام 1697، انهارت العلاقة تمامًا.

كما سُميت فوهة برنولي القمرية باسمه بالاشتراك مع شقيقه يوهان.

كانت أولى المساهمات المهمة لجاكوب برنولي عبارة عن كتيب حول أوجه التشابه بين المنطق والجبر نُشر عام 1685، وعمل على الاحتمالات عام 1685 والهندسة عام 1687. وقد أعطت نتيجته في الهندسة طريقة لتقسيم أي مثلث إلى أربعة أجزاء متساوية بخطين متعامدين.

بحلول عام 1689، كان قد نشر أعمالًا مهمة حول المتسلسلات اللانهائية ، ونشر قانونه للأعداد الكبيرة في نظرية الاحتمالات. نشر جاكوب برنولي خمس رسائل حول المتسلسلات اللانهائية بين عامي 1682 و1704. تضمنت أول رسالتين منها العديد من النتائج، مثل النتيجة الأساسية التي تنص على أن${\displaystyle \sum {\frac {1}{n}}}$تباعدات، اعتقد برنولي أنها جديدة، لكنها في الواقع كانت قد أُثبتت من قبل بيترو مينغولي قبل 40 عامًا، وأثبتتها نيكول أورسم في القرن الرابع عشر بالفعل. ^{[ 11 ]} لم يتمكن برنولي من إيجاد صيغة مغلقة لـ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{2}}}}$، لكنه أثبت أنها تتقارب إلى حد نهائي أقل من 2. وكان أويلر أول من وجد نهاية هذه السلسلة في عام 1737. كما درس برنولي السلسلة الأسية التي نتجت عن دراسة الفائدة المركبة.

في مايو 1690، وفي ورقة بحثية نُشرت في مجلة "أكتا إيروديتوروم" ، بيّن جاكوب برنولي أن مسألة تحديد منحنى التساوي الزمني تُكافئ حل معادلة تفاضلية غير خطية من الدرجة الأولى. منحنى التساوي الزمني، أو منحنى الهبوط الثابت، هو المنحنى الذي يهبط عليه جسيم تحت تأثير الجاذبية من أي نقطة إلى القاع في نفس الوقت تمامًا، بغض النظر عن نقطة البداية. وقد درسه هويغنز عام 1687 وليبنيز عام 1689. بعد إيجاد المعادلة التفاضلية، حلّها برنولي باستخدام ما يُعرف اليوم بفصل المتغيرات . تُعدّ ورقة جاكوب برنولي لعام 1690 مهمة لتاريخ حساب التفاضل والتكامل، إذ ظهر فيها مصطلح التكامل لأول مرة بمعناه الحقيقي. في عام 1696، حلّ برنولي المعادلة، التي تُعرف الآن بمعادلة برنولي التفاضلية .

${\displaystyle y'=p(x)y+q(x)y^{n}.}$

اكتشف جاكوب برنولي أيضًا طريقة عامة لتحديد المنحنيات التطورية للمنحنى باعتبارها غلاف دوائر انحنائه. كما درس المنحنيات الكاوية، وخاصة المنحنيات المرتبطة بالقطع المكافئ ، واللولب اللوغاريتمي ، والمنحنيات فوق الدائرية حوالي عام 1692. وقد صاغ جاكوب برنولي مفهوم منحنى برنولي لأول مرة عام 1694. وفي عام 1695، بحث في مسألة الجسر المتحرك التي تسعى إلى إيجاد المنحنى المطلوب بحيث يحافظ ثقل منزلق على طول الكابل على توازن الجسر المتحرك دائمًا.

كان كتاب "فن التخمين" (Ars Conjectandi )، الذي نُشر في بازل عام 1713، بعد ثماني سنوات من وفاته، العمل الأكثر أصالةً لبرنولي . ورغم أن الكتاب لم يكن مكتملًا عند وفاته، إلا أنه لا يزال يُعدّ مرجعًا بالغ الأهمية في نظرية الاحتمالات. يتناول الكتاب أيضًا مواضيع أخرى ذات صلة، بما في ذلك مراجعة التوافقية ، ولا سيما أعمال فان شوتين، وليبنيز، وبريستيت، فضلًا عن استخدام أعداد برنولي في مناقشة المتسلسلات الأسية. واستلهامًا من أعمال هويغنز، قدّم برنولي أمثلة عديدة حول مقدار الربح المتوقع في ألعاب الحظ المختلفة. وقد نشأ مصطلح " تجربة برنولي" من هذا العمل.

في الجزء الأخير من الكتاب، يرسم برنولي العديد من مجالات الاحتمالات الرياضية ، بما في ذلك الاحتمال كدرجة قابلة للقياس من اليقين؛ الضرورة والصدفة؛ التوقع الأخلاقي مقابل التوقع الرياضي؛ الاحتمال القبلي والبعدي؛ توقع الفوز عندما يتم تقسيم اللاعبين وفقًا للمهارة؛ مراعاة جميع الحجج المتاحة، وتقييمها، وتقييمها القابل للحساب؛ وقانون الأعداد الكبيرة.

كان برنولي أحد أبرز المروجين للأساليب الرسمية للتحليل العالي. نادراً ما نجد الفطنة والأناقة في أسلوب عرضه وتعبيره، لكنه يتميز بأقصى درجات النزاهة.

في عام 1683، اكتشف برنولي الثابت e من خلال دراسة مسألة حول الفائدة المركبة والتي تطلبت منه إيجاد قيمة التعبير التالي (وهو في الواقع e ): ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

مثال على ذلك حساب يبدأ برصيد دولار واحد (1.00 دولار) ويُدفع عليه فائدة بنسبة 100% سنويًا. إذا أُضيفت الفائدة مرة واحدة في نهاية العام، يصبح الرصيد دولارين (2.00 دولار)؛ أما إذا حُسبت الفائدة وأُضيفت مرتين خلال العام، فإن الدولار الواحد يُضرب في 1.5 مرتين، ما ينتج عنه 1.00 × 1.5² ⁼  2.25  دولار. وإذا حُسبت الفائدة ربع سنويًا، يصبح الرصيد 1.00 × 1.25⁴ ⁼  2.4414  دولار، وإذا حُسبت شهريًا، يصبح الرصيد 1.00 × (1.0833⁻¹²) = ^2.613035 دولار.  

لاحظ برنولي أن هذه المتتالية تقترب من حدٍّ أقصى ( قوة الفائدة ) مع زيادة عدد فترات التراكم وانخفاضها. فعند التراكم الأسبوعي، يبلغ العائد 2.692597 دولارًا، بينما عند التراكم اليومي، يبلغ 2.714567 دولارًا، أي بزيادة سنتين فقط. وباستخدام n كعدد فترات التراكم، مع فائدة قدرها 100% / n في كل فترة، فإن الحد الأقصى لقيمة n الكبيرة هو العدد الذي أطلق عليه أويلر لاحقًا اسم e ؛ ومع التراكم المستمر ، ستصل قيمة الحساب إلى 2.7182818 دولارًا. وبشكل عام، فإن حسابًا يبدأ بدولار واحد، ويحقق عائدًا قدره (1 + R ) دولارًا بفائدة مركبة ، سيحقق عائدًا قدره eR ^{دولارًا} مع التراكم المستمر.

لم يحسب برنولي هذا الثابت إلا بما يكفي لتحديد أن قيمته أكبر من 2.5 وأقل من 3. ^{[ 13 ]}

أراد برنولي نقش لولب لوغاريتمي وشعار " Eadem mutata resurgo " (مع أنني أتغير، إلا أنني أعود كما أنا) على شاهد قبره. وكتب أن اللولب المتشابه ذاتيًا "يمكن استخدامه كرمز إما للصمود والثبات في الشدائد، أو للجسم البشري الذي، بعد كل تغيراته، حتى بعد الموت، سيعود إلى حالته الأصلية الكاملة". توفي برنولي عام 1705، ولكن نُقش لولب أرخميدس بدلًا من اللولب اللوغاريتمي. ^{[ 14 ]}

ترجمة النقش اللاتيني:

جاكوب برنولي، عالم الرياضيات الذي لا يُضاهى.

أستاذ في جامعة بازل لأكثر من 18 عامًا؛

عضو في الأكاديميات الملكية في باريس وبرلين؛ اشتهر بكتاباته.

من مرض مزمن، سليم العقل حتى النهاية؛

توفي في عام النعمة 1705، في السادس عشر من أغسطس، عن عمر يناهز 50 عامًا و7 أشهر، في انتظار القيامة.

جوديث ستوبانوس،

زوجته لمدة 20 عاماً،

وقد أقام طفلاه نصباً تذكارياً للزوج والأب الذي يفتقدانه كثيراً.

• Conamen novi systematis Cometarum (باللاتينية). أمستيلايدامي: أبو هنري. ويتستينيوم. 1682.(عنوان البحث يُترجم تقريبًا إلى "فرضية جديدة لنظام المذنبات").
• دي الجاذبية الأثيرية (باللاتينية). أمستيلايدامي: أبو هنريكوم ويتستينيوم. 1683.
• Ars conjectandi، opus posthumum ، Basileae، impensis Thurnisiorum Fratrum، 1713.
• الأوبرا (باللغة اللاتينية). المجلد. 1. جنيف: الورثة كريمر والأخوة فيليبرت. 1744.
  • الأوبرا (باللغة اللاتينية). المجلد. 2. جنيف: الورثة كريمر والأخوة فيليبرت. 1744.

• 
  De gravitate aetheris ، 1683
• 
  الأوبرا ، المجلد 1، 1744

• هوفمان، جيه إي (1970-1980). "برنولي، جاكوب (جاك) الأول". قاموس السير العلمية . المجلد  2. نيويورك: تشارلز سكريبنر وأولاده. الصفحات 46-51 . ISBN  978-0-684-10114-9.
• شنايدر، آي. (2005). "جاكوب برنولي: فن التخمين (1713)" . في : غراتان-غينيس، إيفور (محرر). كتابات بارزة في الرياضيات الغربية 1640-1940 . إلسيفير. ص 88-104 . ISBN  978-0-08-045744-4.

• الوسائط المتعلقة بجاكوب برنولي على ويكيميديا ​​كومنز
• اقتباسات متعلقة بجاكوب برنولي على موقع ويكي الاقتباسات
• جاكوب برنولي في مشروع علم الأنساب الرياضي
• أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "جاكوب برنولي" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
• برنولي، جاكوبي. "Tractatus de Seriebus Infinitis" (PDF) .
• فايستين، إريك وولفغانغ (محرر). "برنولي، جاكوب (1654–1705)" . عالم العلوم .
• مراسلات غوتفريد لايبنتز وجاكوب برنولي حول فن التخمين، مؤرشفة بتاريخ 6 أبريل 2016 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).