الاستيفاء الثنائي الخطي

في الرياضيات ، يُعدّ الاستيفاء الثنائي الخطي طريقةً لاستيفاء الدوال ذات المتغيرين (مثل x و y ) باستخدام الاستيفاء الخطي المتكرر . ويُطبّق عادةً على الدوال المأخوذة عينات منها على شبكة مستطيلة ثنائية الأبعاد ، مع إمكانية تعميمه ليشمل الدوال المعرفة على رؤوس ( شبكة من) أشكال رباعية محدبة عشوائية .

يتم إجراء الاستيفاء الثنائي الخطي باستخدام الاستيفاء الخطي أولاً في اتجاه واحد، ثم مرة أخرى في اتجاه آخر. على الرغم من أن كل خطوة خطية في القيم المأخوذة وفي الموضع، إلا أن الاستيفاء ككل ليس خطيًا بل تربيعيًا في موضع العينة.

الاستيفاء الثنائي الخطي هو أحد تقنيات إعادة التشكيل الأساسية في رؤية الكمبيوتر ومعالجة الصور ، حيث يطلق عليه أيضًا الترشيح الثنائي الخطي أو رسم الخرائط النسيجية الثنائية الخطية .

حساب

تُظهر النقاط الحمراء الأربع نقاط البيانات، والنقطة الخضراء هي النقطة التي نريد إجراء الاستيفاء عندها.

_لنفترض أننا نريد إيجاد قيمة الدالة المجهولة f عند النقطة ( x , y ). ويُفترض أننا نعرف قيمة f عند النقاط الأربع التالية : _Q11= ( x1 , y1 ) _،Q12 = ( _x1, _y2) ، _Q21 = ₍x2 _,y1 ₎ ، و Q22 ₌₍x2 , _y2) .

الاستيفاء الخطي المتكرر

نقوم أولاً بإجراء استيفاء خطي في اتجاه المحور السيني . وهذا ينتج عنه

{\begin{aligned}f(x,y_{1})={\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21}),\\f(x,y_{2})={\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22}).\end{aligned}}

نتابع عملية الاستيفاء في اتجاه المحور y للحصول على التقدير المطلوب:

\displaystyle \begin{aligned}f(x,y)&={\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{1})+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{2})\\&={\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21})\right)+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22})\right)\\&{\begin{aligned}={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}(&f(Q_{11})(x_{2}-x)(y_{2}-y)+f(Q_{12})(x_{2}-x)(y-y_{1})\\&+f(Q_{21})(x-x_{1})(y_{2}-y)+f(Q_{22})(x-x_{1})(y-y_{1}))\end{aligned}}\\&={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}-x&x-x_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})&f(Q_{12})\\f(Q_{21})&f(Q_{22})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{2}-y\\y-y_{1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

لاحظ أننا سنصل إلى نفس النتيجة إذا تم إجراء الاستيفاء أولاً على طول اتجاه المحور y ثم على طول اتجاه المحور x . ^{[ 1 ]}

ملاءمة متعددة الحدود

ثمة طريقة بديلة تتمثل في كتابة حل مسألة الاستيفاء على شكل متعددة الحدود الخطية

f(x,y)\approx a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy,

حيث يتم إيجاد المعاملات عن طريق حل النظام الخطي

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&x_{1}&y_{1}&x_{1}y_{1}\\1&x_{1}&y_{2}&x_{1}y_{2}\\1&x_{2}&y_{1}&x_{2}y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{00}\\a_{10}\\a_{01}\\a_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f(Q_{11})\\f(Q_{12})\\f(Q_{21})\\f(Q_{22})\end{bmatrix}},\end{aligned}}

مما يؤدي إلى النتيجة

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a_{00}\\a_{10}\\a_{01}\\a_{11}\end{bmatrix}}={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-x_{2}y_{1}&-x_{1}y_{2}&x_{1}y_{1}\\-y_{2}&y_{1}&y_{2}&-y_{1}\\-x_{2}&x_{2}&x_{1}&-x_{1}\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})\\f(Q_{12})\\f(Q_{21})\\f(Q_{22})\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

المتوسط المرجح

يمكن أيضًا كتابة الحل كمتوسط مرجح لـ f ( Q ):

f(x,y)\approx w_{11}f(Q_{11})+w_{12}f(Q_{12})+w_{21}f(Q_{21})+w_{22}f(Q_{22}),

حيث يكون مجموع الأوزان مساوياً لـ 1 ويحقق النظام الخطي المنقول

{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\x_{1}&x_{1}&x_{2}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}&y_{1}&y_{2}\\x_{1}y_{1}&x_{1}y_{2}&x_{2}y_{1}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{11}\\w_{12}\\w_{21}\\w_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}},

مما يؤدي إلى النتيجة

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w_{11}\\w_{21}\\w_{12}\\w_{22}\end{bmatrix}}={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-y_{2}&-x_{2}&1\\-x_{2}y_{1}&y_{1}&x_{2}&-1\\-x_{1}y_{2}&y_{2}&x_{1}&-1\\x_{1}y_{1}&-y_{1}&-x_{1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}},\end{aligned}}

والذي يتبسط إلى

{\begin{aligned}w_{11}&={\frac {(x_{2}-x)(y_{2}-y)}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}},\\w_{12}&={\frac {(x_{2}-x)(y-y_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}},\\w_{21}&={\frac {(x-x_{1})(y_{2}-y)}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}},\\w_{22}&={\frac {(x-x_{1})(y-y_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}},\end{aligned}}

يتوافق هذا مع النتيجة التي تم الحصول عليها من خلال الاستيفاء الخطي المتكرر. ويمكن أيضاً تفسير مجموعة الأوزان على أنها مجموعة من الإحداثيات الباريسنترية المعممة لمستطيل.

صيغة المصفوفة البديلة

وبدمج ما سبق، لدينا

{\begin{aligned}f(x,y)\approx {\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})&f(Q_{12})&f(Q_{21})&f(Q_{22})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-y_{2}&-x_{2}&1\\-x_{2}y_{1}&y_{1}&x_{2}&-1\\-x_{1}y_{2}&y_{2}&x_{1}&-1\\x_{1}y_{1}&-y_{1}&-x_{1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

على المربع الواحد

إذا اخترنا نظام إحداثيات تكون فيه النقاط الأربع التي تُعرف فيها قيمة f هي (0، 0)، (0، 1)، (1، 0)، و(1، 1)، فإن صيغة الاستيفاء تُبسط إلى

f(x,y)\approx f(0,0)(1-x)(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(1,0)x(1-y)+f(1,1)xy,

أو ما يعادل ذلك، في عمليات المصفوفات:

f(x,y)\approx {\begin{bmatrix}1-x&x\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1-y\\y\end{bmatrix}}.

وهنا نتعرف أيضاً على الأوزان:

{\begin{aligned}w_{11}&=(1-x)(1-y),\\w_{12}&=(1-x)y,\\w_{21}&=x(1-y),\\w_{22}&=xy.\end{aligned}}

أو بدلاً من ذلك، يمكن كتابة الدالة الاستيفائية على المربع الواحدي على النحو التالي:

f(x,y)=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy,

أين

{\begin{aligned}a_{00}&=f(0,0),\\a_{10}&=f(1,0)-f(0,0),\\a_{01}&=f(0,1)-f(0,0),\\a_{11}&=f(1,1)-f(1,0)-f(0,1)+f(0,0).\end{aligned}}

في كلتا الحالتين، يتوافق عدد الثوابت (أربعة) مع عدد نقاط البيانات التي يتم فيها إعطاء f .

ملكيات

كما يوحي الاسم، فإنّ الدالة الاستيفائية الثنائية الخطية ليست خطية؛ ولكنها خطية (أي تآلفية) على طول الخطوط الموازية للمحور السيني أو الصادي ، أو ما يعادل ذلك إذا كانت قيمة س أو ص ثابتة. وعلى طول أي خط مستقيم آخر، تكون الدالة الاستيفائية تربيعية . مع أن الاستيفاء ليس خطيًا في الموضع ( س و ص )، إلا أنه عند نقطة ثابتة يكون خطيًا في قيم الاستيفاء، كما هو موضح في المعادلات (المصفوفية) أعلاه.

لا تتأثر نتيجة الاستيفاء الثنائي الخطي بترتيب إجراء الاستيفاء على المحورين. فلو أجرينا الاستيفاء الخطي أولاً في اتجاه المحور y ثم في اتجاه المحور x ، لكانت النتيجة التقريبية متطابقة.

الدالة التداخلية هي متعددة حدود ثنائية الخطية ، وهي أيضاً دالة توافقية تحقق معادلة لابلاس . ورسمها البياني عبارة عن رقعة سطح بيزير ثنائية الخطية .

المعكوس والتعميم

بشكل عام، سيأخذ الاستيفاء أي قيمة (في الغلاف المحدب لقيم الرؤوس) عند عدد لا نهائي من النقاط (مشكلاً فروعًا من القطع الزائد ^{[ 2 ]} )، لذا فإن الاستيفاء غير قابل للعكس.

مع ذلك، عند تطبيق الاستيفاء الثنائي الخطي على دالتين في آنٍ واحد، كما هو الحال عند استيفاء حقل متجهي ، يكون الاستيفاء قابلاً للعكس (في ظل شروط معينة). ويمكن استخدام هذا العكس لإيجاد "إحداثيات المربع الواحد" لنقطة داخل أي شكل رباعي محدب (باعتبار إحداثيات الشكل الرباعي حقلاً متجهياً يتم استيفاؤه ثنائياً خطياً على المربع الواحد). وباستخدام هذه الطريقة، يمكن تعميم الاستيفاء الثنائي الخطي على أي شكل رباعي محدب، على الرغم من أن الحساب يصبح أكثر تعقيداً بشكل ملحوظ إذا لم يكن الشكل الرباعي متوازي أضلاع. ^[³^] وتُعرف الخريطة الناتجة بين الأشكال الرباعية بالتحويل الثنائي الخطي ، أو الالتواء الثنائي الخطي ، أو التشوه الثنائي الخطي .

بدلاً من ذلك، يمكن استخدام إسقاط بين شكل رباعي الأضلاع ومربع الوحدة، ولكن الناتج لن يكون ثنائي الخطية.

في الحالة الخاصة عندما يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع ، يوجد تحويل خطي إلى المربع الواحد، ويمكن تعميم ذلك بسهولة.

يُطلق على الامتداد الواضح للاستيفاء الثنائي الخطي إلى ثلاثة أبعاد اسم الاستيفاء الثلاثي الخطي .

الحساب العكسي

يترك ${\textstyle F}$ ليكن حقل متجه يتم استيفاؤه خطيًا ثنائيًا على المربع الواحدي المحدد بواسطة ${\textstyle \mu ,\lambda \in [0,1]}$ يتطلب عكس عملية الاستيفاء حل نظام من معادلتين متعددتي الحدود ثنائيتي الخطية: $A+B\lambda +C\mu +D\lambda \mu =0$ أين ${\begin{aligned}A&=F_{00}-F\\B&=F_{10}-F_{00}\\C&=F_{01}-F_{00}\\D&=F_{11}-F_{01}-F_{10}+F_{00}\end{aligned}}$ إن أخذ الضرب الاتجاهي ثنائي الأبعاد (انظر ضرب غراسمان ) للنظام مع متجهات مختارة بعناية يسمح لنا بإزالة الحدود: ${\begin{aligned}(A+B\lambda +C\mu )&\times D&=0\\(A+B\lambda )&\times (C+D\lambda )&=0\\(A+C\mu )&\times (B+D\mu )&=0\\\end{aligned}}$ حيث يُعرَّف الضرب الاتجاهي على النحو التالي: $(x_{1},y_{1})\times (x_{2},y_{2})=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.$ تتوسع المعادلات أعلاه إلى ${\begin{aligned}c+e\lambda +f\mu &=0\\b+(c+d)\lambda +e\lambda ^{2}&=0\\a+(c-d)\mu +f\mu ^{2}&=0\\\end{aligned}}$ أين ${\begin{aligned}a&=A\times B\\b&=A\times C\qquad d=B\times C\\c&=A\times D\qquad e=B\times D\qquad f=C\times D\end{aligned}}$ يمكن حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام لحل المعادلات التربيعية . لدينا المحددات المكافئة. $\mathbb {D} =(c+d)^{2}-4eb=(c-d)^{2}-4fa$ والحلول $\lambda ={\frac {-c-d\pm {\sqrt {\mathbb {D} }}}{2e}}\qquad \mu ={\frac {-c+d\mp {\sqrt {\mathbb {D} }}}{2f}}$ (يتم فرض الإشارات المتعاكسة بواسطة العلاقة الخطية). الحالات التي $e=0$ أو $f=0$ يجب التعامل مع كل منهما على حدة. في ظل الظروف المناسبة، يجب أن يكون أحد الحلين في المربع الواحد.

تطبيق في معالجة الصور

في مجال رؤية الحاسوب ومعالجة الصور ، يُستخدم الاستيفاء الثنائي الخطي لإعادة تشكيل الصور والنسيج. تُستخدم خوارزمية لربط موقع بكسل الشاشة بنقطة مقابلة على خريطة النسيج . يُحسب متوسط مرجح لخصائص (اللون، والشفافية، وما إلى ذلك) وحدات النسيج الأربع المحيطة ، ويُطبق على بكسل الشاشة. تُكرر هذه العملية لكل بكسل يُشكل الكائن المراد إضافة النسيج إليه. ^{[ 4 ]}

عند تكبير صورة، يجب تحريك كل بكسل في الصورة الأصلية باتجاه معين بناءً على ثابت التكبير. ولكن عند تكبير الصورة بمعامل تكبير غير صحيح، تظهر بكسلات (أي فراغات ) لم تُخصص لها قيم بكسل مناسبة. في هذه الحالة، يجب تخصيص قيم RGB أو تدرج رمادي مناسبة لهذه الفراغات حتى لا تحتوي الصورة الناتجة على بكسلات بدون قيم.

يمكن استخدام الاستيفاء الثنائي الخطي عندما يكون تحويل الصورة المثالي مع مطابقة البكسلات مستحيلاً، وذلك لحساب قيم شدة الإضاءة المناسبة للبكسلات وتعيينها. على عكس تقنيات الاستيفاء الأخرى، مثل استيفاء أقرب جار واستيفاء ثنائي التكعيب ، يعتمد الاستيفاء الثنائي الخطي على قيم البكسلات الأربعة الأقرب فقط، والواقعة في اتجاهات قطرية من بكسل معين، لإيجاد قيم شدة اللون المناسبة لذلك البكسل.

تعتمد عملية الاستيفاء الثنائي الخطي على أقرب نطاق 2 × 2 من قيم البكسلات المعروفة المحيطة بموقع البكسل المجهول المحسوب. ثم يتم حساب المتوسط المرجح لهذه البكسلات الأربعة للوصول إلى القيمة النهائية المستوفاة. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

مثال

كما هو موضح في المثال على اليمين، يمكن حساب قيمة شدة الإضاءة عند البكسل الموجود في الصف 20.2، العمود 14.5، عن طريق الاستيفاء الخطي بين القيم الموجودة في العمودين 14 و15 في كل من الصفين 20 و21، مما يعطي

{\begin{aligned}I_{20,14.5}&={\frac {15-14.5}{15-14}}\cdot 91+{\frac {14.5-14}{15-14}}\cdot 210=150.5,\\I_{21,14.5}&={\frac {15-14.5}{15-14}}\cdot 162+{\frac {14.5-14}{15-14}}\cdot 95=128.5,\end{aligned}}

ثم يتم إجراء استيفاء خطي بين هذه القيم، مما يعطي

I_{20.2,14.5}={\frac {21-20.2}{21-20}}\cdot 150.5+{\frac {20.2-20}{21-20}}\cdot 128.5=146.1.

تعمل هذه الخوارزمية على تقليل بعض التشوه البصري الناتج عن تغيير حجم الصورة إلى عامل تكبير غير صحيح، على عكس استيفاء أقرب جار، والذي سيجعل بعض وحدات البكسل تبدو أكبر من غيرها في الصورة التي تم تغيير حجمها.

تبسيط المصطلحات

هذا المثال هو عبارة عن بيانات ضغط (أعمدة) مقابل درجة حرارة (صفوف) مُجدولة كعملية بحث مقابل متغير ما:

{\begin{array}{|c|ccc|}{\bcancel {{}_{T}\quad {}^{P}}}&P_{1}&P_{x}&P_{2}\\\hline T_{1}&V_{11}&V_{1x}&V_{12}\\T_{x}&&V_{xx}&\\T_{2}&V_{21}&V_{2x}&V_{22}\end{array}}

تتضمن عملية الحساب القياسية التالية بالأجزاء 27 عملية:

{\begin{aligned}I_{T_{1},P_{1}-P_{2}}&={\frac {P_{2}-P_{x}}{P_{2}-P_{1}}}\cdot V_{11}+{\frac {P_{x}-P_{1}}{P_{2}-P_{1}}}\cdot V_{12}=V_{1x},\\I_{T_{2},P_{1}-P_{2}}&={\frac {P_{2}-P_{x}}{P_{2}-P_{1}}}\cdot V_{21}+{\frac {P_{x}-P_{1}}{P_{2}-P_{1}}}\cdot V_{22}=V_{2x},\\I_{P_{x},T_{1}-T_{2}}&={\frac {T_{2}-T_{x}}{T_{2}-T_{1}}}\cdot V_{1x}+{\frac {T_{x}-T_{1}}{T_{2}-T_{1}}}\cdot V_{2x}=V_{xx}.\end{aligned}}

تتضمن العملية المذكورة أعلاه عدة عمليات متكررة، على سبيل المثال، $(P_{2}-P_{1})$ ، $(P_{x}-P_{1})$ ، $(P_{x}-P_{1})$ ، $(T_{2}-T_{1})$ بالإضافة إلى بعض النسب. يمكن تعيين متغيرات مؤقتة لهذه التكرارات أثناء حساب استيفاء واحد، مما سيقلل عدد العمليات إلى 19.

يمكن تبسيط كل هذا من العمليات الفردية الـ 19 الأولية إلى 17 عملية فردية على النحو التالي:

V_{xx}={\frac {[(P_{2}-P_{x})\cdot V_{11}+(P_{x}-P_{1})\cdot V_{12}]\cdot (T_{2}-T_{x})+[(P_{2}-P_{x})\cdot V_{21}+(P_{x}-P_{1})\cdot V_{22}]\cdot (T_{x}-T_{1})}{(P_{2}-P_{1})\cdot (T_{2}-T_{1})}}.

يُعد تبسيط المصطلحات ممارسة جيدة لتطبيق المنهجية الرياضية على التطبيقات الهندسية ويمكن أن يقلل من متطلبات الحوسبة والطاقة للعملية.

انظر أيضاً

الاستيفاء ثنائي التكعيب
الاستيفاء ثلاثي الخطوط
الاستيفاء باستخدام الدوال التكعيبية
إعادة أخذ العينات باستخدام لانكزوس
الاستيفاء المتدرج
الإحداثيات الباريسنترية - للاستيفاء داخل مثلث أو رباعي الأوجه

مراجع

↑ بريس، ويليام هـ.؛ تيوكولسكي، شاول أ.؛ فيترلينغ، ويليام ت.؛ فلاني، برايان ب. (1992). وصفات عددية بلغة سي: فن الحوسبة العلمية ( الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 123-128 . ISBN 0-521-43108-5.
↑ موناس، باسكال (10 أغسطس 2019). "استخراج خطوط المستوى من صورة ثنائية الخطوط" . معالجة الصور على الإنترنت . 9 : 205-219 . doi : 10.5201/ipol.2019.269 . ISSN 2105-1232 .
↑ كويلز، إينيغو (2010). "الاستيفاء الثنائي الخطي العكسي" . iquilezles.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 13 أغسطس 2010. تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 فبراير 2024 .
↑ تعريف الاستيفاء الثنائي الخطي (مقالة شائعة على www.pcmag.com ).
↑ خسروي، م. ر. (19 مارس 2021). "BL-ALM: مرشح إعادة بناء موجه بالحافة قابل للتوسع بشكل أعمى لرصد البيئة الذكي من خلال شبكات إنترنت الأشياء الطبية والطائرات بدون طيار الخضراء". معاملات IEEE في الاتصالات والشبكات الخضراء . 5 (2): 727-736 . Bibcode : 2021ITGCN...5..727K . doi : 10.1109/TGCN.2021.3067555 . S2CID 233669511 .
↑ "درس تعليمي على الإنترنت: استيفاء الصور الرقمية" .

[1] بريس، ويليام هـ.؛ تيوكولسكي، شاول أ.؛ فيترلينغ، ويليام ت.؛ فلاني، برايان ب. (1992). وصفات عددية بلغة سي: فن الحوسبة العلمية ( الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 123-128 . ISBN 0-521-43108-5.

[2] موناس، باسكال (10 أغسطس 2019). "استخراج خطوط المستوى من صورة ثنائية الخطوط" . معالجة الصور على الإنترنت . 9 : 205-219 . doi : 10.5201/ipol.2019.269 . ISSN 2105-1232 .

[3] كويلز، إينيغو (2010). "الاستيفاء الثنائي الخطي العكسي" . iquilezles.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 13 أغسطس 2010. تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 فبراير 2024 .

[4] تعريف الاستيفاء الثنائي الخطي (مقالة شائعة على www.pcmag.com ).

[5] خسروي، م. ر. (19 مارس 2021). "BL-ALM: مرشح إعادة بناء موجه بالحافة قابل للتوسع بشكل أعمى لرصد البيئة الذكي من خلال شبكات إنترنت الأشياء الطبية والطائرات بدون طيار الخضراء". معاملات IEEE في الاتصالات والشبكات الخضراء . 5 (2): 727-736 . Bibcode : 2021ITGCN...5..727K . doi : 10.1109/TGCN.2021.3067555 . S2CID 233669511 .

[6] "درس تعليمي على الإنترنت: استيفاء الصور الرقمية" .

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗