متعدد الحدود الخطي

في الجبر، تُعرف كثيرة الحدود متعددة الخطية ^{[ 1 ]} بأنها كثيرة حدود متعددة المتغيرات تكون خطية (أي تآلفية ) في كل متغير من متغيراتها على حدة ، ولكن ليس بالضرورة في آن واحد . وهي كثيرة حدود لا يظهر فيها أي متغير مرفوعًا لقوة من .${\displaystyle 2}$أو أعلى؛ أي أن كل حد أحادي هو ثابت مضروب في حاصل ضرب متغيرات مختلفة. على سبيل المثال${\displaystyle f(x,y,z)=3xy+2.5y-7z}$هي متعددة الحدود الخطية من الدرجة${\displaystyle 2}$(بسبب الحد الأحادي)${\displaystyle 3xy}$) بينما${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+4y}$ليس كذلك. درجة متعددة الحدود الخطية هي الحد الأقصى لعدد المتغيرات المختلفة التي تظهر في أي حد أحادي.

يمكن فهم كثيرات الحدود متعددة الخطية على أنها دالة متعددة الخطية (وتحديداً، شكل متعدد الخطية ) مطبقة على المتجهات [1 x]، [1 y]، إلخ. ويمكن كتابة الشكل العام على أنه انكماش موتر :$${\displaystyle f(x)=\sum _{i_{1}=0}^{1}\sum _{i_{2}=0}^{1}\cdots \sum _{i_{n}=0}^{1}a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$$

على سبيل المثال، في متغيرين:$${\displaystyle f(x,y)=\sum _{i=0}^{1}\sum _{j=0}^{1}a_{ij}x^{i}y^{j}=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy={\begin{pmatrix}1&x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\y\end{pmatrix}}}$$

متعدد الحدود الخطي${\displaystyle f}$تكون العلاقة خطية (تآلفية) عند تغيير متغير واحد فقط،${\displaystyle x_{k}}$:$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{k},...,x_{n})=ax_{k}+b}$$أين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$لا تعتمد على${\displaystyle x_{k}}$. لاحظ أن${\displaystyle b}$لا يساوي الصفر عمومًا، لذا${\displaystyle f}$هو خطي بمعنى "يشبه الخط"، ولكن ليس بمعنى "التناسب المباشر" للخريطة متعددة الخطوط .

جميع المشتقات الجزئية الثانية المتكررة تساوي صفرًا:$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{k}^{2}}}=0}$$بمعنى آخر، فإن مصفوفة هيسيان الخاصة بها هي مصفوفة مجوفة متناظرة .

على وجه الخصوص، اللابلاسي${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$، لذا${\displaystyle f}$هي دالة توافقية . وهذا يعني${\displaystyle f}$توجد قيم عظمى وصغرى فقط على حدود المجال .

وبشكل أعم، فإن كل تقييد لـ${\displaystyle f}$إن تحويل مجموعة فرعية من إحداثياتها هو أيضاً متعدد الخطية، لذا${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$ويظل هذا صحيحاً حتى عند تثبيت متغير واحد أو أكثر. بعبارة أخرى،${\displaystyle f}$يكون توافقيًا على كل "شريحة" من المجال على طول محاور الإحداثيات.

كثيرات الحدود متعددة الخطوط هي دوال استيفاء متعددة الخطوط أو الاستيفاء الخطي من الرتبة n على شبكة مستطيلة، وهي تعميم للاستيفاء الخطي ، والاستيفاء ثنائي الخطوط، والاستيفاء ثلاثي الخطوط لعدد غير محدود من المتغيرات. هذا شكل محدد من أشكال الاستيفاء متعدد المتغيرات ، ويجب عدم الخلط بينه وبين الاستيفاء الخطي القطعي . كثير الحدود الناتج ليس دالة خطية للإحداثيات (قد تكون درجته أعلى من 1)، ولكنه دالة خطية لقيم البيانات المُطابقة.

المحدد ، والثابت ، والخصائص الأخرى للمصفوفة هي كثيرات حدود متعددة الخطية متجانسة في عناصر المصفوفة (وأيضًا أشكال متعددة الخطية في الصفوف أو الأعمدة).

كثيرات الحدود متعددة الخطية في${\displaystyle n}$تشكل المتغيرات${\displaystyle 2^{n}}$الفضاء المتجهي ذو الأبعاد n ، وهو الأساس المستخدم أيضًا في تحليل فورييه للدوال البولية (الزائفة) . يمكن التعبير عن كل دالة بولية ( زائفة ) بشكل فريد كمتعدد حدود خطي (مع اختيار المجال والمجال المقابل ).

تعتبر كثيرات الحدود متعددة الخطية مهمة في دراسة اختبار هوية كثيرات الحدود . ^{[ 2 ]}

• الاستيفاء الثنائي الخطي والثلاثي الخطي ، باستخدام كثيرات الحدود متعددة المتغيرات ذات متغيرين أو ثلاثة متغيرات
• متعددة حدود زيغالكين ، متعددة حدود متعددة الخطية على${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$
• الشكل متعدد الخطية والخريطة متعددة الخطية ، الدوال متعددة الخطية التي تكون خطية تمامًا (وليست تآلفية) في كل متغير
• الصيغة الخطية ، دالة خطية متعددة المتغيرات
• متعدد الحدود التوافقي