اختبار بوشلو

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 56 صور
الموسوعة الحرة

اختبار بوشلو هو اختبار فرضية إحصائية لتحليل جداول التوافق 2×2 . يدرس هذا الاختبار العلاقة بين متغيرين عشوائيين يتبعان توزيع برنولي ، وهو بديل أقوى بكثير من اختبار فيشر الدقيق . وقد اقترحه آر. دي. بوشلو عام 1970. [ 1 ]

جلسة

يوضح جدول التوافق 2 × 2 ن {\displaystyle \ n\ }ملاحظات مستقلة لمتغيرين ثنائيين أ {\displaystyle \ A\ }و ب {\displaystyle \ B\ }:

ب=1ب=0المجموعأ=1x11x10ن1أ=0x01x٠٠ن0المجموعs1s0ن{\displaystyle {\begin{array}{c|cc|c}&B=1&B=0&{\mbox{المجموع}}\\\hline A=1&x_{11}&x_{10}&n_{1}\\A=0&x_{01}&x_{00}&n_{0}\\\hline {\mbox{المجموع}}&s_{1}&s_{0}&n\\\end{array}}}

يمكن تصنيف التوزيع الاحتمالي لهذه الجداول إلى ثلاث حالات متميزة. [ 2 ]

  1. مجموع الصفوف ن1 ،ن0 {\displaystyle \ n_{1}\ ,n_{0}\ }ومجموع الأعمدة s1 ،s0 {\displaystyle \ s_{1}\ ,s_{0}\ }يتم تحديدها مسبقاً وليست عشوائية. ثم كل شيء xأناج {\displaystyle \ x_{ij}\ }يتم تحديدها بواسطة x11 .{\displaystyle \ x_{11}~.}لو أ {\displaystyle \ A\ }و ب {\displaystyle \ B\ }مستقلون، x11 {\displaystyle \ x_{11}\ }يتبع توزيعًا فوق هندسيًا بمعاملات ن ،ن1 ،s1 :{\displaystyle \ n\ ,n_{1}\ ,s_{1}\ :}  x11 ∼ الهندسة الفائقة( ن ،ن1 ،s1 ) .{\displaystyle \ x_{11}\ \sim \ {\mbox{Hypergeometric}}(\ n\ ,n_{1}\ ,s_{1}\ )~.}
  2. مجموع الصفوف ن1 ،ن0 {\displaystyle \ n_{1}\ ,n_{0}\ }يتم تحديدها مسبقًا ولكن مجاميع الأعمدة s1 ،s0 {\displaystyle \ s_{1}\ ,s_{0}\ }ليست كذلك. عندئذٍ يتم تحديد جميع المعلمات العشوائية بواسطة x11 {\displaystyle \ x_{11}\ }وx01 {\displaystyle x_{01}\ }، ثم x11 ،x01 {\displaystyle \ x_{11}\ ,x_{01}\ }تتبع توزيعًا ثنائيًا باحتمالات ص1 ،ص0 :{\displaystyle \ p_{1}\ ,p_{0}\ :}  x11 ∼ ب( ن1 ،ص1 ) {\displaystyle \ x_{11}\ \sim \ B(\ n_{1}\ ,p_{1}\ )\ } x01 ∼ ب( ن0 ،ص0 ) {\displaystyle \ x_{01}\ \sim \ B(\ n_{0}\ ,p_{0}\ )\ }
  3. العدد الإجمالي فقط ن {\displaystyle \ n\ }ثابت ولكن مجموع الصفوف ن1 ،ن0 {\displaystyle \ n_{1}\ ,n_{0}\ }ومجموع الأعمدة s1 ،s0 {\displaystyle \ s_{1}\ ,s_{0}\ }ليست كذلك. إذن المتجه العشوائي ( x11،x10 ،x01 ،x٠٠ ) {\displaystyle \ (\ x_{11},x_{10}\ ,x_{01}\ ,x_{00}\ )\ }يتبع توزيعًا متعدد الحدود بمتجه احتمالي (ص11 ،ص10 ،ص01 ،ص٠٠ ) .{\displaystyle \ (p_{11}\ ,p_{10}\ ,p_{01}\ ,p_{00}\ )~.}

نوع التجربة 1: تجربة اختبار تذوق نادرة، مقيدة بالكامل

صُمم اختبار فيشر الدقيق للحالة الأولى، ولذلك فهو اختبار شرطي دقيق (لأنه يعتمد على مجموع الأعمدة). والمثال النموذجي على هذه الحالة هو مثال سيدة تتذوق الشاي : تتذوق سيدة 8 أكواب من الشاي بالحليب. في 4 أكواب منها ، يُسكب الحليب قبل الشاي. وفي الأكواب الأربعة الأخرى ، يُسكب الشاي أولاً.

تحاول السيدة تصنيف الأكواب إلى الفئتين. وفقًا لترميزنا، فإن المتغير العشوائي أ {\displaystyle \ A\ }يمثل هذا الطريقة المستخدمة (1 = الحليب أولاً، 0 = الحليب أخيراً) و ب {\displaystyle \ B\ }يمثل هذا المقياس تخمينات السيدة (1 = الحليب الذي تم تخمينه أولاً، 0 = الحليب الذي تم تخمينه أخيراً). ثم تمثل مجاميع الصفوف الأعداد الثابتة للأكواب المحضرة بكل طريقة: ن1=4 ،ن0=4 .{\displaystyle \ n_{1}=4\ ,n_{0}=4~.}تعلم السيدة أن هناك 4 أكواب في كل فئة، لذا ستخصص 4 أكواب لكل طريقة. وبالتالي، فإن مجموع الأعمدة محدد مسبقًا أيضًا. s1=4 ،s0=4 .{\displaystyle \ s_{1}=4\ ,s_{0}=4~.}إذا لم تستطع التمييز بينهما، أ {\displaystyle \ A\ }و ب {\displaystyle \ B\ }مستقلة وعددها x11 {\displaystyle \ x_{11}\ }يتبع توزيع الأكواب المصنفة بشكل صحيح والتي تحتوي على الحليب أولاً التوزيع الهندسي الفائق الهندسة الفائقة(8،4،4) .{\displaystyle \ {\mbox{Hypergeometric}}(8,4,4)~.}

نوع التجربة 2: تجربة معملية عادية مضبوطة، بهامش واحد فقط مقيد

صُمم اختبار بوشلو للحالة الثانية، ولذلك فهو اختبار دقيق غير مشروط. تُوجد أمثلة على هذه الحالة غالبًا في البحوث الطبية، حيث تتم مقارنة نتيجة ثنائية بين مجموعتين من المرضى. وباتباع رموزنا، أ=1 {\displaystyle \ A=1\ }تمثل هذه المجموعة الأولى التي تتلقى بعض الأدوية ذات الأهمية. أ=0 {\displaystyle \ A=0\ }تمثل المجموعة الثانية التي تتلقى دواءً وهمياً .ب{\displaystyle B}يشير هذا إلى شفاء المريض (1 = شفاء، 0 = عدم شفاء). ثم تساوي مجاميع الصفوف أحجام المجموعات، وعادةً ما تكون محددة مسبقًا. أما مجاميع الأعمدة فتمثل العدد الإجمالي لحالات الشفاء أو استمرار المرض، وهي غير محددة مسبقًا.

نوع التجربة 3: الملاحظة الميدانية، بدون أي قيود هامشية على الإطلاق

يُعد اختبار مربع كاي لبيرسون (بدون أي " تصحيح للاستمرارية ") الخيار الأمثل للحالة الثالثة، حيث لا توجد قيود على مجاميع الصفوف أو مجاميع الأعمدة. يصف هذا السيناريو الثالث معظم الدراسات الرصدية أو "الملاحظات الميدانية"، حيث تُجمع البيانات كما هي متاحة في بيئة غير مُتحكم بها. على سبيل المثال، إذا خرج شخص لجمع نوعين من الفراشات ذات لون مُحدد مُسبقًا، يُمكن تمييزه قبل الإمساك بها، إلا أنه لا يُمكن التمييز بين الفراشة من النوع  1 أو النوع  0 قبل الإمساك بها وفحصها بدقة؛ إذ يُمكن فقط معرفة أن الفراشة التي يتم البحث عنها من خلال لونها لا بد أن تكون من أحد النوعين محل الاهتمام. في أي جلسة جمع فراشات ليوم واحد، لا يُمكن تحديد عدد كل نوع سيتم جمعه مُسبقًا، بل يُمكن فقط تحديد العدد الإجمالي للفراشات التي سيتم الإمساك بها، وذلك اعتمادًا على معيار التوقف الذي يضعه الجامع. إذا تم إحصاء الأنواع في صفوف منفصلة من الجدول، فإن مجاميع الصفوف تكون غير مُقيدة وموزعة توزيعًا ثنائيًا مُستقلًا. يتمثل التمييز الثاني بين الفراشات التي تم اصطيادها في تحديد جنسها، سواء كانت أنثى (النوع  1) أو ذكرًا (النوع  0)، ويُسجل ذلك في الأعمدة. إذا تطلب تحديد جنس الفراشة فحصًا دقيقًا، فإن ذلك يُحدد عشوائيًا وفقًا لتوزيع ذي الحدين. هذا يعني أنه نظرًا لتصميم التجربة ، فإن مجاميع الأعمدة غير مقيدة، تمامًا كما هو الحال في الصفوف: فلا عدد أي من النوعين، ولا عدد جنس الفراشات التي تم اصطيادها من كل نوع، مُحدد مسبقًا بعملية الملاحظة، ولا يُقيد أي من المجموعين الآخر.

القيد الوحيد المحتمل هو العدد الإجمالي للفراشات التي تم اصطيادها، وحتى هذا العدد قد يكون غير مقيد، اعتمادًا على كيفية توقف الجامع. ولكن بما أنه لا يمكن معرفة مدى نجاح عملية الصيد مسبقًا في أي يوم محدد وفي أي مرج محدد خلال الوقت المتاح للجمع، فقد يكون العدد الإجمالي غير مقيد أيضًا: يعتمد ذلك على ما إذا كان القيد على البيانات التي تم جمعها هو الوقت المتاح لصيد الفراشات، أو عدد إجمالي محدد مسبقًا، ربما لضمان إحصاءات ذات دلالة إحصائية كافية.

هذا النوع من "التجارب" (ويُسمى أيضًا "الملاحظة الميدانية") غير مُتحكم فيه تقريبًا، ولذلك يُفضل البعض تسميته "ملاحظة" فقط، وليس "تجربة". جميع الأرقام في الجدول عشوائية بشكل مستقل. كل خلية من خلايا جدول التوافق تُمثل احتمالًا ثنائيًا منفصلًا، ولا يعتمد اختبار فيشر "الدقيق" المُقيد بالكامل ولا اختبار بوشلو المُقيد جزئيًا على الإحصاءات الناتجة عن تصميم التجربة. يُعد اختبار مربع كاي لبيرسون الاختبار المناسب للدراسة الرصدية غير المُقيدة، ويستخدم اختبار بيرسون، بدوره، النموذج الإحصائي الخاطئ للنوعين الآخرين من التجارب. (تجدر الإشارة إلى أنه لا ينبغي أبدًا تطبيق أي "تصحيح للاستمرارية" على إحصائية مربع كاي لبيرسون ، على الإطلاق ، مثل "تصحيح ييتس": ستكون نتيجة هذا "التصحيح" تشويه قيم p الخاصة به لتتوافق مع اختبار فيشر، أي إعطاء إجابة خاطئة).

اختبار الفرضية

الفرضية الصفرية لاختبار بوشلو أحادي الطرف (القيم العالية لـx1{\displaystyle x_{1}}(تفضيل الفرضية البديلة) هو:

ح0:ص1≤ص0{\displaystyle H_{0}:p_{1}\leq p_{0}}

يمكن أيضًا صياغة الفرضية الصفرية للاختبار أحادي الطرف في الاتجاه الآخر (قيم صغيرة لـx1{\displaystyle x_{1}}(تفضيل الفرضية البديلة):

ح0:ص1≥ص0{\displaystyle H_{0}:p_{1}\geq p_{0}}

الفرضية الصفرية للاختبار ذي الطرفين هي:

ح0:ص1=ص0{\displaystyle H_{0}:p_{1}=p_{0}}

لا يوجد تعريف موحد للنسخة ثنائية الطرف من اختبار فيشر الدقيق. [ 3 ] وبما أن اختبار بوشلو مبني على اختبار فيشر الدقيق، فلا توجد نسخة ثنائية الطرف موحدة لاختبار بوشلو أيضًا. فيما يلي، سنتناول الاختبار أحادي الطرف وح0:ص1≤ص0{\displaystyle H_{0}:p_{1}\leq p_{0}}.

فكرة بوشلو

نرمز إلى مستوى الدلالة المطلوب بـα{\displaystyle \alpha }اختبار فيشر الدقيق هو اختبار شرطي ومناسب للحالة الأولى المذكورة أعلاه. ولكن إذا تعاملنا مع مجموع العمود الملاحظs1{\displaystyle s_{1}}وبما أنه محدد مسبقًا، يمكن تطبيق اختبار فيشر الدقيق أيضًا على الحالة الثانية. ويعتمد الحجم الحقيقي للاختبار حينها على المعلمات المزعجة.ص1{\displaystyle p_{1}}وص0{\displaystyle p_{0}}يمكن إثبات أن الحجم الأقصىالأعلىص1≤ص0(مقاس(ص1،ص0)){\displaystyle \max \limits _{p_{1}\leq p_{0}}{\big (}{\mbox{size}}(p_{1},p_{0}){\big )}}يتم أخذها بنسب متساويةص=ص1=ص0{\displaystyle p=p_{1}=p_{0}}[ 4 ] ولا تزال تحت سيطرةα{\displaystyle \alpha }[ 1 ] ومع ذلك ، ذكر بوشلو أنه بالنسبة لأحجام العينات الصغيرة، يكون الحجم الأقصى غالبًا أصغر بكثير منα{\displaystyle \alpha }وهذا يؤدي إلى فقدان غير مرغوب فيه للطاقة .

اقترح بوشلو استخدام اختبار فيشر الدقيق بمستوى اسمي أكبرα*>α{\displaystyle \alpha ^{*}>\alpha }. هنا،α*{\displaystyle \alpha ^{*}}ينبغي اختيارها بأكبر حجم ممكن بحيث يظل الحجم الأقصى خاضعًا للتحكم بواسطةα{\displaystyle \alpha }:الأعلىص∈[0،1](مقاس(ص))≤α{\displaystyle \max \limits _{p\in [0,1]}{\big (}{\mbox{size}}(p){\big )}\leq \alpha }كانت هذه الطريقة مفيدة بشكل خاص في وقت نشر بوشلو لأنα*{\displaystyle \alpha ^{*}}يمكن البحث عن القيم الشائعة لـα،ن1{\displaystyle \alpha ,n_{1}}ون0{\displaystyle n_{0}}وهذا ما جعل إجراء اختبار بوشلو سهلاً من الناحية الحسابية.

إحصائية الاختبار

تعتمد قاعدة القرار في منهج بوشلو على اختبار فيشر الدقيق. ويمكن صياغة الاختبار بطريقة مكافئة باستخدام قيمة الاحتمال (p-value) لاختبار فيشر الدقيق كإحصائية اختبار . تُحسب قيمة الاحتمال (p-value) لفيشر من التوزيع الهندسي الفائق (لتبسيط الترميز، نكتب π = π/π).x1،x0{\displaystyle x_{1},x_{0}}بدلاً منx11،x01{\displaystyle x_{11},x_{01}}):

صF=1-Fالهندسة الفائقة(ن،ن1،x1+x0)(x1-1){\displaystyle p_{F}=1-F_{{\mbox{Hypergeometric}}(n,n_{1},x_{1}+x_{0})}(x_{1}-1)}

توزيعصF{\displaystyle p_{F}}يتم تحديدها بواسطة التوزيعات ذات الحدين لـx1{\displaystyle x_{1}}وx0{\displaystyle x_{0}}ويعتمد ذلك على المعلمة المزعجة غير المعروفةص{\displaystyle p}. لمستوى دلالة محددα،{\displaystyle \alpha ,}القيمة الحرجة لـصF{\displaystyle p_{F}}هي القيمة القصوىα*{\displaystyle \alpha ^{*}}ذلك يرضيالأعلىص∈[0،1]P(صF≤α*)≤α{\displaystyle \max \limits _{p\in [0,1]}P(p_{F}\leq \alpha ^{*})\leq \alpha }القيمة الحرجةα*{\displaystyle \alpha ^{*}}يساوي المستوى الاسمي لنهج بوشلو الأصلي.

تعديل

يتناول اختبار بوشلو المعلمة المزعجة غير المعروفةص{\displaystyle p}عن طريق أخذ القيمة القصوى على كامل فضاء المعلمات[0،1]{\displaystyle [0,1]}. يتبع إجراء بيرغر وبوس نهجًا مختلفًا من خلال تعظيمP(صF≤α*){\displaystyle P(p_{F}\leq \alpha ^{*})}أكثر من(1-γ){\displaystyle (1-\gamma )}فترة الثقة لـص=ص1=ص0{\displaystyle p=p_{1}=p_{0}}وإضافةγ{\displaystyle \gamma }[ 5 ]​γ{\displaystyle \gamma }عادةً ما تكون قيمة صغيرة مثل 0.001 أو 0.0001. ينتج عن ذلك اختبار بوشلو معدل وهو دقيق أيضًا. [ 6 ]

مقارنة بالاختبارات الدقيقة الأخرى

تحافظ جميع الاختبارات الدقيقة على مستوى الدلالة المحدد، ولكن قد تختلف قوتها الإحصائية باختلاف الظروف. قارن مهروترا وزملاؤه قوة بعض الاختبارات الدقيقة في ظروف مختلفة. [ 6 ] وفيما يلي ملخص لنتائج اختبار بوشلو.

اختبار بوشلو المعدل

يتمتع اختبار بوشلو واختبار بوشلو المعدل بقوة متقاربة في جميع السيناريوهات المدروسة. ويتفوق اختبار بوشلو قليلاً في بعض الحالات، بينما يتفوق اختبار بوشلو في حالات أخرى.

اختبار فيشر الدقيق

يُعد اختبار بوشلو، بحكم تصميمه، أقوى من اختبار فيشر الدقيق. بالنسبة لأحجام العينات الصغيرة (مثل 10 لكل مجموعة)، يكون فرق القوة كبيرًا، ويتراوح بين 16 و20 نقطة مئوية في الحالات المدروسة. ويقل هذا الفرق مع زيادة حجم العينة.

اختبار Z-Pooled الدقيق

يعتمد هذا الاختبار على إحصائية الاختبار

ZP(x1،x0)=ص^1-ص^0ص~(1-ص~)(1ن1+1ن0)،{\displaystyle Z_{P}(x_{1},x_{0})={\frac {{\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{0}}{\sqrt {{\tilde {p}}(1-{\tilde {p}})({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{0}}})}}},}

أينص^أنا=xأنانأنا{\displaystyle {\hat {p}}_{i}={\frac {x_{i}}{n_{i}}}} are the group event rates and p~=x1+x0n1+n0{\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {x_{1}+x_{0}}{n_{1}+n_{0}}}} is the pooled event rate.

The power of this test is similar to that of Boschloo's test in most scenarios. In some cases, the Z{\displaystyle Z}-Pooled test has greater power, with differences mostly ranging from 1 to 5 percentage points. In very few cases, the difference goes up to 9 percentage points.

This test can also be modified by the Berger & Boos procedure. However, the resulting test has very similar power to the unmodified test in all scenarios.

Exact Z-Unpooled test

This test is based on the test statistic

ZU(x1,x0)=p^1−p^0p^1(1−p^1)n1+p^0(1−p^0)n0,{\displaystyle Z_{U}(x_{1},x_{0})={\frac {{\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{0}}{\sqrt {{\frac {{\hat {p}}_{1}(1-{\hat {p}}_{1})}{n_{1}}}+{\frac {{\hat {p}}_{0}(1-{\hat {p}}_{0})}{n_{0}}}}}},}

where p^i=xini{\displaystyle {\hat {p}}_{i}={\frac {x_{i}}{n_{i}}}} are the group event rates.

The power of this test is similar to that of Boschloo's test in many scenarios. In some cases, the Z{\displaystyle Z}-Unpooled test has greater power, with differences ranging from 1 to 5 percentage points. However, in some other cases, Boschloo's test has noticeably greater power, with differences up to 68 percentage points.

This test can also be modified by the Berger & Boos procedure. The resulting test has similar power to the unmodified test in most scenarios. In some cases, the power is considerably improved by the modification but the overall power comparison to Boschloo's test remains unchanged.

Software

The calculation of Boschloo's test can be performed in following software:

  • The function scipy.stats.boschloo_exact from SciPy
  • Packages Exact and exact2x2 of the programming language R
  • StatXact

See also

References

  1. 12Boschloo R.D. (1970). "Raised Conditional Level of Significance for the 2x2-table when Testing the Equality of Two Probabilities". Statistica Neerlandica. 24: 1–35. doi:10.1111/j.1467-9574.1970.tb00104.x.
  2. ↑Lydersen, S.; Fagerland, M.W.; Laake, P. (2009). "Recommended tests for association in 2 × 2 tables". Statist. Med. 28 (7): 1159–1175. doi:10.1002/sim.3531. PMID 19170020. S2CID 3900997.
  3. ↑Martín Andrés, A, and I. Herranz Tejedor (1995). "Is Fisher's exact test very conservative?". Computational Statistics and Data Analysis. 19 (5): 579–591. doi:10.1016/0167-9473(94)00013-9.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  4. ↑ فينر، هـ، وستراسبرغر، ك (2002). "الخصائص الهيكلية لاختبارات UMPU للجداول 2×2 وبعض التطبيقات". مجلة التخطيط والاستدلال الإحصائي . 104 : 103-120 . doi : 10.1016/S0378-3758(01)00122-7 .{{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  5. ↑ بيرغر، آر إل، وبوس، دي دي (1994). "قيم P المُعَظَّمة ضمن مجموعة ثقة لمعامل الإزعاج" . مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 89 (427): 1012-1016 . doi : 10.2307/2290928 . JSTOR 2290928 . {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  6. 1 2 ميهروترا، د. ف.، تشان، إ. س. ف.، وبيرغر، ر. ل. (2003). " ملاحظة تحذيرية حول الاستدلال غير المشروط الدقيق للفرق بين نسبتين ثنائيتين مستقلتين" . القياسات الحيوية . 59 (2): 441-450 . doi : 10.1111/1541-0420.00051 . PMID 12926729. S2CID 28556526 .  {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )