الحدود (الطوبولوجيا)

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 83 صور
الموسوعة الحرة
مجموعة (باللون الأزرق الفاتح) وحدودها (باللون الأزرق الداكن).

في علم الطوبولوجيا والرياضيات عمومًا، تُعرَّف حدود مجموعة جزئية S من فضاء طوبولوجي X بأنها مجموعة النقاط في إغلاق S التي لا تنتمي إلى داخل S. يُطلق على عنصر من حدود S اسم نقطة حدودية لـ S. يشير مصطلح عملية الحدود إلى إيجاد أو تحديد حدود مجموعة. تتضمن الرموز المستخدمة لحدود المجموعة S ما يلي :bd⁡(S)،فرنسي⁡(S)،{\displaystyle \operatorname {bd} (S),\operatorname {fr} (S),} و∂S{\displaystyle \partial S}.

مصطلحات

يستخدم بعض المؤلفين (مثل ويلارد في كتابه "الطوبولوجيا العامة ") مصطلح " الحدود" بدلاً من "الحدود" في محاولة لتجنب الخلط مع تعريف مختلف يُستخدم في الطوبولوجيا الجبرية ونظرية المتشعبات . وعلى الرغم من القبول الواسع لمعنى مصطلحي "الحدود" و"الحدود"، فقد استُخدما أحيانًا للإشارة إلى مجموعات أخرى. فعلى سبيل المثال، يستخدم إي. تي. كوبسون في كتابه " الفضاءات المترية" مصطلح "الحدود" للإشارة إلى " حدود هاوسدورف " ، والتي تُعرَّف بأنها تقاطع مجموعة مع حدودها. [ 1 ] كما قدّم هاوسدورف مصطلح " الباقي" ، والذي يُعرَّف بأنه تقاطع مجموعة مع إغلاق حدود مكملتها. [ 2 ]

التعريفات

توجد عدة تعريفات متكافئة لحدود مجموعة جزئيةS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}فضاء طوبولوجيX،{\displaystyle X,}والذي سيرمز إليه بـ∂XS،{\displaystyle \partial _{X}S,}أو ببساطة∂S{\displaystyle \partial S}لوX{\displaystyle X}من المفهوم:

  1. إنه إغلاق​S{\displaystyle S}باستثناء الجزء الداخلي منS{\displaystyle S}فيX{\displaystyle X}: ∂S := S¯∖عدد صحيحX⁡S{\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S} أينS¯=clX⁡S{\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}يشير إلى إغلاقS{\displaystyle S}فيX{\displaystyle X}وعدد صحيحX⁡S{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}يشير إلى البنية الطوبولوجية الداخلية لـS{\displaystyle S}فيX.{\displaystyle X.}
  2. إنه تقاطع إغلاقS{\displaystyle S}مع إغلاق مكملها :∂S := S¯∩(X∖S)¯{\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}
  3. إنها مجموعة النقاطص∈X{\displaystyle p\in X}بحيث يكون كل حي من أحياءص{\displaystyle p}يحتوي على نقطة واحدة على الأقل منS{\displaystyle S}ونقطة واحدة على الأقل ليست منS{\displaystyle S}:∂S := {ص∈X: لكل حي يا ل ص، يا∩S≠∅ و يا∩(X∖S)≠∅}.{\displaystyle \partial S~:=~\{p\in X:{\text{ لكل جوار }}O{\text{ لـ }}p,\ O\cap S\neq \varnothing \,{\text{ و }}\,O\cap (X\setminus S)\neq \varnothing \}.}
  4. جميع النقاط فيX{\displaystyle X}والتي لا تقع في داخل أو خارجS{\displaystyle S}: ∂S := X∖(عدد صحيحX⁡S∪extX⁡S){\displaystyle \partial S~:=~X\setminus \left(\operatorname {int} _{X}S\cup \operatorname {ext} _{X}S\right)} أينعدد صحيحX⁡S{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}يشير إلى الجزء الداخلي منS{\displaystyle S}فيX{\displaystyle X}وextX⁡S{\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}يشير إلى الجزء الخارجي منS{\displaystyle S}فيX.{\displaystyle X.}

نقطة حدودية لمجموعة ما هي أي عنصر يقع على حدود تلك المجموعة. الحدود∂XS{\displaystyle \partial _{X}S}يُطلق على التعريف المذكور أعلاه أحيانًا اسم الحدود الطوبولوجية للمجموعة لتمييزها عن المفاهيم الأخرى ذات الأسماء المماثلة مثل حدود المتشعب ذي الحدود أو حدود المتشعب ذي الزوايا ، على سبيل المثال لا الحصر.

يُطلق على المكون المتصل لحدود S اسم مكون حدودي لـ S.

أمثلة

حدود المكونات الزائدية لمجموعة ماندلبروت

ضع في اعتبارك الخط الحقيقيR{\displaystyle \mathbb {R} }مع الطوبولوجيا المعتادة (أي الطوبولوجيا التي تكون مجموعات أساسها فترات مفتوحة ) وسؤال،{\displaystyle \mathbb {Q} ,}مجموعة فرعية من الأعداد النسبية (التي يكون باطنها الطوبولوجي فيR{\displaystyle \mathbb {R} }(فارغ). ثم فيR{\displaystyle \mathbb {R} }لدينا

  • ∂(0،5)=∂[0،5)=∂(0،5]=∂[0،5]={0،5}{\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}}
  • ∂∅=∅{\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }
  • ∂سؤال=R{\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }
  • ∂(سؤال∩[0،1])=[0،1]{\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]}

يوضح هذان المثالان الأخيران حقيقة أن حدود مجموعة كثيفة ذات باطن فارغ هي إغلاقها. كما يُظهران أنه من الممكن أن تكون الحدود∂S{\displaystyle \partial S}من مجموعة جزئيةS{\displaystyle S}أن تحتوي على مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة منX:=R{\displaystyle X:=\mathbb {R} }أي بالنسبة لداخل∂S{\displaystyle \partial S}فيX{\displaystyle X}أن تكون غير فارغة. ومع ذلك، فإن حدود المجموعة الفرعية المغلقة تحتوي دائمًا على باطن فارغ.

الترميز∂XS{\displaystyle \partial _{X}S}يُستخدم لأن حدود المجموعةS{\displaystyle S}يعتمد بشكل حاسم على الفضاء الطوبولوجي المحيطX{\displaystyle X}هذا أمرٌ يُؤخذ في الاعتبار. خذ على سبيل المثال المجموعةS={ر∈سؤال|0<ر<2}{\displaystyle S=\{r\in \mathbb {Q} \mid 0<r<{\sqrt {2}}\}}. تعتبر مجموعة فرعية منR{\displaystyle \mathbb {R} }، وحدودها هي الفترة المغلقة[0،2]{\displaystyle [0,{\sqrt {2}}]}؛ تعتبر مجموعة فرعية منسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }(أينسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يتم إعطاؤها بنيتها الطوبولوجية المعتادة، وبنية الفضاء الجزئي الموروثة منR{\displaystyle \mathbb {R} }) حدودS{\displaystyle S}يكون{0}{\displaystyle \{0\}}; وتعتبر مجموعة فرعية منX=S{\displaystyle X=S}أما حدودها فهي فارغة.

بالنظر إلى الطوبولوجيا المعتادة علىR2،{\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}حدود قرص مغلقΩ={(x،y):x2+y2≤1}{\displaystyle \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}هي الدائرة المحيطة بالقرص:∂Ω={(x،y):x2+y2=1}.{\displaystyle \partial \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\right\}.} إذا تم اعتبار القرص بدلاً من ذلك مجموعة فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}بطوبولوجيتها المعتادة، أيΩ={(x،y،0):x2+y2≤1}،{\displaystyle \Omega =\left\{(x,y,0):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}إذن، حدود القرص هي القرص نفسه:∂Ω=Ω.{\displaystyle \partial \Omega =\Omega .}

ملكيات

حدود المجموعة مغلقة ؛ [ 3 ] وهذا يتبع من الصيغة∂XS = S¯∩(X∖S)¯،{\displaystyle \partial _{X}S~=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}},}والتي تعبر عن∂XS{\displaystyle \partial _{X}S}باعتبارها تقاطع مجموعتين فرعيتين مغلقتين منX.{\displaystyle X.}

تكون المجموعة مغلقة إذا وفقط إذا كانت تحتوي على حدودها، ومفتوحة إذا وفقط إذا كانت منفصلة عن حدودها.

إغلاق مجموعةS{\displaystyle S}يساوي اتحاد المجموعة مع حدودها:S¯=S∪∂S.{\displaystyle {\overline {S}}=S\cup \partial S.}(بضع الشعرة)بالنظر إلى أي مجموعة جزئيةS⊆X،{\displaystyle S\subseteq X,}كل نقطة منX{\displaystyle X}يقع في واحدة فقط من المجموعات الثلاثعدد صحيحX⁡S،∂XS،{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,}وعدد صحيحX⁡(X∖S).{\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus S).} بعبارة أخرى،X = (عدد صحيحX⁡S)∪(∂XS)∪(عدد صحيحX⁡(X∖S)){\displaystyle X~=~\left(\operatorname {int} _{X}S\right)\;\cup \;\left(\partial _{X}S\right)\;\cup \;\left(\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)\right)}وهذه المجموعات الثلاث منفصلة مثنى مثنى .

نقطةص∈X{\displaystyle p\in X}تكون نقطة حدودية لمجموعة إذا وفقط إذا كانت كل جوار لهاص{\displaystyle p}تحتوي المجموعة على نقطة واحدة على الأقل داخل المجموعة ونقطة واحدة على الأقل خارجها. يقع كل من حدود المجموعة الداخلية وحدود إغلاقها ضمن حدود المجموعة الخارجية.

مجموعة ومتممتها لهما نفس الحدود: ∂XS=∂X(X∖S).{\displaystyle \partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S).}مجموعةيو{\displaystyle U}هي مجموعة فرعية مفتوحة كثيفة منX{\displaystyle X}إذا وفقط إذا∂Xيو=X∖يو.{\displaystyle \partial _{X}U=X\setminus U.}

يكون باطن حدود المجموعة المغلقة فارغًا. [ 4 ] وبالتالي، يكون باطن حدود إغلاق المجموعة فارغًا. كما يكون باطن حدود المجموعة المفتوحة فارغًا أيضًا. [ 5 ] وبالتالي، يكون باطن حدود باطن المجموعة فارغًا. على وجه الخصوص، إذاS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}هي مجموعة فرعية مغلقة أو مفتوحة منX{\displaystyle X}إذن لا توجد أي مجموعة جزئية غير فارغةيو⊆∂XS{\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S}بحيثيو{\displaystyle U}مفتوح فيX.{\displaystyle X.} هذه الحقيقة مهمة لتعريف واستخدام المجموعات الفرعية غير الكثيفة في أي مكان ، والمجموعات الفرعية الهزيلة ، وفضاءات باير .

تكون المجموعة حدودًا لمجموعة مفتوحة ما إذا وفقط إذا كانت مغلقة وغير كثيفة في أي مكان . وتكون حدود المجموعة فارغة إذا وفقط إذا كانت المجموعة مغلقة ومفتوحة في آن واحد (أي مجموعة مغلقة ومفتوحة ).

مخطط فين المفاهيمي الذي يوضح العلاقات بين نقاط مختلفة لمجموعة فرعيةS{\displaystyle S}لRن.{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}أ{\displaystyle A}= مجموعة نقاط التراكم لـS{\displaystyle S}(وتسمى أيضاً نقاط الحد)،ب={\displaystyle B=}مجموعة نقاط الحدود لـS،{\displaystyle S,}المنطقة المظللة باللون الأخضر = مجموعة النقاط الداخلية لـS،{\displaystyle S,}المنطقة المظللة باللون الأصفر = مجموعة من النقاط المعزولةS،{\displaystyle S,}المناطق المظللة باللون الأسود = مجموعات فارغة. كل نقطة منS{\displaystyle S}إما أن تكون نقطة داخلية أو نقطة حدودية. كذلك، كل نقطة منS{\displaystyle S}إما أن تكون نقطة تراكم أو نقطة معزولة. وبالمثل، فإن كل نقطة حدودية منS{\displaystyle S}إما أن تكون نقطة تراكم أو نقطة معزولة. النقاط المعزولة هي دائماً نقاط حدودية.

حدود الحدود

لأي مجموعةS،∂S⊇∂∂S،{\displaystyle S,\partial S\supseteq \partial \partial S,}أين⊇{\displaystyle \,\supseteq \,}يرمز إلى المجموعة الشاملة التي تتحقق فيها المساواة إذا وفقط إذا كانت حدودهاS{\displaystyle S}ليس له نقاط داخلية، وهو ما سيكون عليه الحال على سبيل المثال إذاS{\displaystyle S}إما أن تكون المجموعة مغلقة أو مفتوحة. وبما أن حدود المجموعة مغلقة،∂∂S=∂∂∂S{\displaystyle \partial \partial S=\partial \partial \partial S}لأي مجموعةS.{\displaystyle S.} وبالتالي فإن عامل الحدود يحقق نوعًا ضعيفًا من خاصية التكرار .

عند مناقشة حدود المتشعبات أو المجسمات البسيطة ومجمعاتها البسيطة ، غالبًا ما يُصادف المرء تأكيدًا على أن حدود الحدود فارغة دائمًا. في الواقع، يعتمد بناء التماثل الفردي بشكلٍ حاسم على هذه الحقيقة. يكمن تفسير هذا التناقض الظاهري في أن الحدود الطوبولوجية (موضوع هذه المقالة) مفهومٌ مختلفٌ قليلًا عن حدود المتشعب أو المجمع البسيط. على سبيل المثال، حدود القرص المفتوح، عند النظر إليه كمتشعب، فارغة، وكذلك حدوده الطوبولوجية عند النظر إليه كمجموعة جزئية منه، بينما حدوده الطوبولوجية عند النظر إليه كمجموعة جزئية من المستوى الحقيقي هي الدائرة المحيطة بالقرص. في المقابل، حدود القرص المغلق، عند النظر إليه كمتشعب، هي الدائرة المحيطة به، وكذلك حدوده الطوبولوجية عند النظر إليه كمجموعة جزئية من المستوى الحقيقي، بينما حدوده الطوبولوجية عند النظر إليه كمجموعة جزئية منه فارغة. على وجه الخصوص، يعتمد الحد الطوبولوجي على الفضاء المحيط، بينما يكون حد المتشعب ثابتًا.

انظر أيضاً

ملحوظات

الاقتباسات

  1. ^ هاوسدورف ، فيليكس (1914). Grundzüge der Mengenlehre . لايبزيغ: فيت. ص. 214 . رقم ISBN  978-0-8284-0061-9.{{cite book}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) أعيد طبعه بواسطة تشيلسي في عام 1949.
  2. ^ هاوسدورف ، فيليكس (1914). Grundzüge der Mengenlehre . لايبزيغ: فيت. ص. 281 . رقم ISBN  978-0-8284-0061-9.{{cite book}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) أعيد طبعه بواسطة تشيلسي في عام 1949.
  3. ↑ مندلسون، بيرت (1990) [1975]. مقدمة في الطوبولوجيا ( الطبعة الثالثة). دوفر. ص 86. ISBN   0-486-66352-3النتيجة 4.15 لكل مجموعة جزئيةأ،{\displaystyle A,}جاف⁡(أ){\displaystyle \operatorname {Bdry} (A)}مغلق.
  4. ↑ دعS{\displaystyle S}لتكن مجموعة فرعية مغلقة منX{\displaystyle X}لهذا السبب.S¯=S{\displaystyle {\overline {S}}=S}وبالتالي أيضاً∂XS:=S¯∖عدد صحيحX⁡S=S∖عدد صحيحX⁡S.{\displaystyle \partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S.}لويو{\displaystyle U}هي مجموعة فرعية مفتوحة منX{\displaystyle X}بحيثيو⊆∂XS{\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S}ثم يو⊆S{\displaystyle U\subseteq S}(لأن∂XS⊆S{\displaystyle \partial _{X}S\subseteq S}) لهذا السببيو⊆عدد صحيحX⁡S{\displaystyle U\subseteq \operatorname {int} _{X}S}(لأنها بحكم التعريف ،عدد صحيحX⁡S{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}هي أكبر مجموعة فرعية مفتوحة منX{\displaystyle X}وارد فيS{\displaystyle S}). لكنيو⊆∂XS=S∖عدد صحيحX⁡S{\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S}يشير ذلك إلى أنيو∩عدد صحيحX⁡S=∅.{\displaystyle U\cap \operatorname {int} _{X}S=\varnothing .}هكذايو{\displaystyle U}وهي في الوقت نفسه مجموعة جزئية منعدد صحيحX⁡S{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}ومنفصل عنعدد صحيحX⁡S،{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,}وهذا لا يكون ممكناً إلا إذايو=∅.{\displaystyle U=\varnothing .}QED
  5. ↑ دعS{\displaystyle S}ليكن مجموعة فرعية مفتوحة منX{\displaystyle X}لهذا السبب.∂XS:=S¯∖عدد صحيحX⁡S=S¯∖S.{\displaystyle \partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S={\overline {S}}\setminus S.}يتركيو:=عدد صحيحX⁡(∂XS){\displaystyle U:=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)}لهذا السبب.يو=عدد صحيحX⁡(∂XS)⊆∂XS=S¯∖S،{\displaystyle U=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)\subseteq \partial _{X}S={\overline {S}}\setminus S,}مما يعني أنيو∩S=∅.{\displaystyle U\cap S=\varnothing .}لويو≠∅{\displaystyle U\neq \varnothing }ثم اخترu∈يو،{\displaystyle u\in U,}لهذا السبب.u∈يو⊆∂XS⊆S¯.{\displaystyle u\in U\subseteq \partial _{X}S\subseteq {\overline {S}}.}لأنيو{\displaystyle U}هو حي مفتوحu{\displaystyle u}فيX{\displaystyle X}وu∈S¯،{\displaystyle u\in {\overline {S}},}تعريف الإغلاق الطوبولوجيS¯{\displaystyle {\overline {S}}}يشير ذلك إلى أنيو∩S≠∅،{\displaystyle U\cap S\neq \varnothing ,}وهذا تناقض.◼{\displaystyle \blacksquare }أو بدلاً من ذلك، إذاS{\displaystyle S}مفتوح فيX{\displaystyle X}ثمX∖S{\displaystyle X\setminus S}مغلق فيX،{\displaystyle X,}بحيث باستخدام الصيغة العامة∂XS=∂X(X∖S){\displaystyle \partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S)}وحقيقة أن الجزء الداخلي من حدود مجموعة مغلقة (مثلX∖S{\displaystyle X\setminus S}إذا كانت المجموعة فارغة، فإن ذلك يترتب عليه أنعدد صحيحX⁡∂XS=عدد صحيحX⁡∂X(X∖S)=∅.{\displaystyle \operatorname {int} _{X}\partial _{X}S=\operatorname {int} _{X}\partial _{X}(X\setminus S)=\varnothing .}◼{\displaystyle \blacksquare }

مراجع

  • مونكرز، الابن (2000). الطوبولوجيا . برنتيس هول. ISBN 0-13-181629-2.
  • ويلارد، س. (1970). الطوبولوجيا العامة . أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-08707-3.
  • فان دن دريس، ل. (1998). الطوبولوجيا المروضة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521598385.