البنية الداخلية (الطوبولوجيا)

في الرياضيات ، وتحديدًا في الطوبولوجيا ، يُعرَّف باطن مجموعة جزئية S من فضاء طوبولوجي X بأنه اتحاد جميع المجموعات الجزئية المفتوحة من S في X. وتُسمى النقطة التي تقع في باطن S نقطة داخلية لـ S. كما أن باطن S هو مكمل إغلاق مكمل S. وبهذا المعنى ، يُعتبر كل من الباطن والإغلاق مفهومين متلازمين .

الجزء الخارجي لمجموعة S هو مكمل إغلاق S ؛ ويتكون من النقاط التي لا تنتمي إلى المجموعة ولا إلى حدودها . يقسم الجزء الداخلي والحدودي والخارجي لمجموعة جزئية الفضاء بأكمله إلى ثلاثة أقسام (أو أقل إذا كان واحد أو أكثر منها فارغًا ).

• في أي فضاء، يكون الجزء الداخلي من المجموعة الفارغة هو المجموعة الفارغة نفسها.
• في أي مكان${\displaystyle X,}$لو${\displaystyle S\subseteq X,}$ثم${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• لو${\displaystyle X}$هذا هو الخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$(مع الطوبولوجيا القياسية)، ثم${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=(0,1)}$بينما الجزء الداخلي من المجموعة${\displaystyle \mathbb {Q} }$ of rational numbers is empty: ${\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing .}$
• If ${\displaystyle X}$ is the complex plane${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ then ${\displaystyle \operatorname {int} (\{z\in \mathbb {C}$ :|z|\leq 1\})=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}.}
• In any Euclidean space, the interior of any finite set is the empty set.

On the set of real numbers, one can put other topologies rather than the standard one:

• If ${\displaystyle X}$ is the real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ with the lower limit topology, then ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1).}$
• If one considers on ${\displaystyle \mathbb {R} }$ the topology in which every set is open, then ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1].}$
• If one considers on ${\displaystyle \mathbb {R} }$ the topology in which the only open sets are the empty set and ${\displaystyle \mathbb {R} }$ itself, then ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])}$ is the empty set.

These examples show that the interior of a set depends upon the topology of the underlying space. The last two examples are special cases of the following.

• In any discrete space, since every set is open, every set is equal to its interior.
• In any indiscrete space${\displaystyle X,}$ since the only open sets are the empty set and ${\displaystyle X}$ itself, ${\displaystyle \operatorname {int} X=X}$ and for every proper subset${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {int} S}$ is the empty set.

Let ${\displaystyle X}$ be a topological space and let ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle T}$ be subsets of ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$ is open in ${\displaystyle X.}$
• If ${\displaystyle T}$ is open in ${\displaystyle X}$ then ${\displaystyle T\subseteq S}$ if and only if ${\displaystyle T\subseteq \operatorname {int} S.}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$ is an open subset of ${\displaystyle S}$ when ${\displaystyle S}$ is given the subspace topology.
• ${\displaystyle S}$ is an open subset of ${\displaystyle X}$if and only if${\displaystyle \operatorname {int} S=S.}$
• Intensive: ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• Idempotence: ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} S)=\operatorname {int} S.}$
• Preserves/distributes over binary intersection: ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}$
  • However, the interior operator does not distribute over unions since only ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)~\supseteq ~(\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)}$ is guaranteed in general and equality might not hold.^{[note 1]} For example, if ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,S=(-\infty ,0],}$ and ${\displaystyle T=(0,\infty )}$ then ${\displaystyle (\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ is a proper subset of ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} \mathbb {R} =\mathbb {R} .}$
• Monotone/nondecreasing with respect to ${\displaystyle \subseteq }$: If ${\displaystyle S\subseteq T}$ then ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {int} T.}$

Other properties include:

• If ${\displaystyle S}$ is closed in ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle \operatorname {int} T=\varnothing }$ then ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} S.}$

Relationship with closure

The above statements will remain true if all instances of the symbols/words

"interior", "int", "open", "subset", and "largest"

are respectively replaced by

"closure", "cl", "closed", "superset", and "smallest"

and the following symbols are swapped:

1. "${\displaystyle \subseteq }$" swapped with "${\displaystyle \supseteq }$"
2. "${\displaystyle \cup }$" swapped with "${\displaystyle \cap }$"

For more details on this matter, see interior operator below or the article Kuratowski closure axioms.

The interior operator${\displaystyle \operatorname {int} _{X}}$ is dual to the closure operator, which is denoted by ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$ or by an overline ^—, in the sense that $${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus {\overline {(X\setminus S)}}}$$ and also $${\displaystyle {\overline {S}}=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$$ where ${\displaystyle X}$ is the topological space containing ${\displaystyle S,}$ and the backslash ${\displaystyle \,\setminus \,}$يشير إلى الاختلاف في نظرية المجموعات . لذلك، يمكن ترجمة النظرية المجردة لمؤثرات الإغلاق وبديهيات إغلاق كوراتوفسكي بسهولة إلى لغة المؤثرات الداخلية، وذلك باستبدال المجموعات بمكملاتها في${\displaystyle X.}$

بشكل عام، لا يتبادل عامل التداخل الداخلي مع الاتحادات. ومع ذلك، في فضاء متري كامل، تتحقق النتيجة التالية:

تشير النتيجة أعلاه إلى أن كل فضاء متري كامل هو فضاء باير .

الجزء الخارجي من مجموعة فرعية${\displaystyle S}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$أو ببساطة${\displaystyle \operatorname {ext} S,}$هي أكبر مجموعة مفتوحة منفصلة عن${\displaystyle S,}$أي أنها اتحاد جميع المجموعات المفتوحة في${\displaystyle X}$التي هي منفصلة عن${\displaystyle S.}$ الجزء الخارجي هو الجزء الداخلي للمكمل، وهو نفسه مكمل الإغلاق؛ ^{[ 2 ]} في الصيغ، $${\displaystyle \operatorname {ext} S=\operatorname {int} (X\setminus S)=X\setminus {\overline {S}}.}$$

وبالمثل، فإن الجزء الداخلي هو الجزء الخارجي للمكمل: $${\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {ext} (X\setminus S).}$$

الداخل والحدود والخارج لمجموعة${\displaystyle S}$يقسمون المساحة بأكملها إلى ثلاثة أقسام (أو أقل عندما يكون واحد أو أكثر منها فارغًا): $${\displaystyle X=\operatorname {int} S\cup \partial S\cup \operatorname {ext} S,}$$ أين${\displaystyle \partial S}$يشير إلى حدود${\displaystyle S.}$^{[ 3 ]} الداخل والخارجمفتوحان، بينما الحدودمغلقة.

تختلف بعض خصائص المشغل الخارجي عن خصائص المشغل الداخلي:

• يقوم المشغل الخارجي بعكس عمليات الإدماج؛ إذا${\displaystyle S\subseteq T,}$ثم${\displaystyle \operatorname {ext} T\subseteq \operatorname {ext} S.}$
• العامل الخارجي ليس متكرراً . ولكنه يمتلك الخاصية التالية:${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} S\right).}$

شكلان${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$تُسمى الأشكال الداخلية المنفصلة إذا كان تقاطع أجزائها الداخلية فارغًا. وقد تتقاطع الأشكال الداخلية المنفصلة عند حدودها أو لا تتقاطع.

• الداخل الجبري – تعميم للداخل الطوبولوجي 
• DE-9IM – النموذج الطوبولوجي 
• الجبر الداخلي – البنية الجبرية 
• نظرية منحنى جوردان – نظرية في علم الطوبولوجيا 
• الداخلية شبه النسبية – تعميم للداخلية الجبرية 
• الداخلية النسبية – تعميم للداخلية الطوبولوجية 

• بورباكي، نيكولا (1989) [1966]. الطوبولوجيا العامة: الفصول من 1 إلى 4 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . برلين نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري. دوى : 10.1007/978-3-642-61701-0 . رقم ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 . 
• ديكسمير، جاك (1984). الطوبولوجيا العامة . نصوص جامعية في الرياضيات. ترجمة: بربريان، إس كيه. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 . 
• كزار، أكوس (1978). الطوبولوجيا العامة . ترجمة كزار، كلارا. بريستول إنجلترا: آدم هيلجر المحدودة ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011 . 
• دوجوندجي، جيمس (1966). الطوبولوجيا . بوسطن: ألين وبيكون. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 . 
• جوشي، ك. د. (1983). مقدمة في الطوبولوجيا العامة . نيويورك: جون وايلي وأولاده المحدودة. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750 . 
• كيلي، جون ل. (1975) [1955]. الطوبولوجيا العامة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  27 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 1365153 . 
• مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي : برنتيس هول، إنك . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 . ( متاح للزبائن ذوي الإعاقات البصرية )
• شوبرت، هورست (1968). الطوبولوجيا . لندن: ماكدونالد وشركاه. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753 . 
• ويلانسكي، ألبرت (17 أكتوبر 2008) [1970]. الطوبولوجيا للتحليل . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899 . 
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 . 

• التصميم الداخلي في بلانيت ماث .