طريقة CLs (فيزياء الجسيمات)

في فيزياء الجسيمات ، تُمثل حدود الثقة ^{[ 1 ]} طريقة إحصائية لتحديد حدود عليا (تُسمى أيضًا حدود الاستبعاد ^{[ 2 ]} ) لمعاملات النموذج ، وهي شكل خاص من تقدير الفترات يُستخدم للمعاملات التي لا تأخذ إلا قيمًا غير سالبة. على الرغم من أن حدود الثقة تُشير إلى مستويات الثقة ، إلا أن "اسم الطريقة مُضلل، لأن منطقة الاستبعاد في حدود الثقة ليست فترة ثقة ." ^{[ 3 ]} طُورت هذه الطريقة لأول مرة من قِبل الفيزيائيين العاملين في تجربة LEP في CERN ، ومنذ ذلك الحين استُخدمت في العديد من تجارب فيزياء الطاقة العالية . وهي طريقة إحصائية تكرارية بمعنى أن خصائص الحد تُحدد بواسطة احتمالات الخطأ ، إلا أنها تختلف عن فترات الثقة القياسية في أن مستوى الثقة المُحدد للفترة لا يُساوي احتمال تغطيتها . يرجع سبب هذا الانحراف إلى أن الحدود العليا القياسية المستندة إلى أقوى اختبار تنتج بالضرورة فترات فارغة باحتمالية ثابتة عندما تكون قيمة المعلمة صفرًا، وتعتبر هذه الخاصية غير مرغوب فيها من قبل معظم الفيزيائيين والإحصائيين. ^{[ 4 ]}

تتضمن الحدود العليا المُستنتجة باستخدام طريقة حدود الثقة دائمًا القيمة الصفرية للمعامل، وبالتالي فإن احتمال التغطية عند هذه النقطة يكون دائمًا 100%. لا يستند تعريف حدود الثقة إلى أي إطار نظري دقيق للاستدلال الإحصائي ، ولذلك يُوصف أحيانًا بأنه تعريف مخصص . ومع ذلك، فهو يُشابه إلى حد كبير مفاهيم الأدلة الإحصائية ^{[ 5 ]} التي اقترحها الإحصائي آلان بيرنباوم .

ليكن X عينة عشوائية من توزيع احتمالي ذي معلمة حقيقية غير سالبة${\displaystyle \theta \in [0,\infty )}$حد أعلى لمستوى الثقة للمعامل θ ، مع مستوى الثقة${\displaystyle 1-\alpha '}$، هو إحصائية (أي متغير عشوائي قابل للملاحظة )${\displaystyle \theta _{up}(X)}$والتي تمتلك الخاصية التالية:

${\displaystyle {\frac {\mathbb {P} (\theta _{up}(X)<\theta |\theta )}{\mathbb {P} (\theta _{up}(X)<\theta |0)}}\leq \alpha '{\text{ لجميع }}\theta .}$

1

The inequality is used in the definition to account for cases where the distribution of X is discrete and an equality can not be achieved precisely. If the distribution of X is continuous then this should be replaced by an equality. Note that the definition implies that the coverage probability${\displaystyle \mathbb {P} (\theta _{up}(X)\geq \theta |\theta )}$ is always larger than ${\displaystyle 1-\alpha '}$.

An equivalent definition can be made by considering a hypothesis test of the null hypothesis ${\displaystyle H_{0}:\theta =\theta _{0}}$ against the alternative ${\displaystyle H_{1}:\theta =0}$. Then the numerator in (1), when evaluated at ${\displaystyle \theta _{0}}$, correspond to the type-I error probability (${\displaystyle \alpha }$) of the test (i.e., ${\displaystyle \theta _{0}}$ is rejected when ${\displaystyle \theta _{up}(X)<\theta _{0}}$) and the denominator to the power (${\displaystyle 1-\beta }$). The criterion for rejecting ${\displaystyle H_{0}}$ thus requires that the ratio ${\displaystyle \alpha /(1-\beta )}$ will be smaller than ${\displaystyle \alpha '}$. This can be interpreted intuitively as saying that ${\displaystyle \theta _{0}}$ is excluded because it is ${\displaystyle \alpha '}$ less likely to observe such an extreme outcome as X when ${\displaystyle \theta _{0}}$ is true than it is when the alternative ${\displaystyle \theta =0}$ is true.

The calculation of the upper limit is usually done by constructing a test statistic${\displaystyle q_{\theta }(X)}$ and finding the value of ${\displaystyle \theta }$ for which

${\displaystyle {\frac {\mathbb {P} (q_{\theta }(X)\geq q_{\theta }^{*}|\theta )}{\mathbb {P} (q_{\theta }(X)\geq q_{\theta }^{*}|0)}}=\alpha '.}$

where ${\displaystyle q_{\theta }^{*}}$ is the observed outcome of the experiment.

Upper limits based on the CLs method were used in numerous publications of experimental results obtained at particle accelerator experiments such as LEP, the Tevatron and the LHC, most notable in the searches for new particles.

The original motivation for CLs was based on a conditional probability calculation suggested by physicist G. Zech^[6] for an event counting experiment. Suppose an experiment consists of measuring ${\displaystyle n}$ events coming from signal and background processes, both described by Poisson distributions with respective rates ${\displaystyle s}$ and ${\displaystyle b}$, namely ${\displaystyle n\sim {\text{بويس}}(s+b)}$. ${\displaystyle b}$ is assumed to be known and ${\displaystyle s}$ is the parameter to be estimated by the experiment. The standard procedure for setting an upper limit on ${\displaystyle s}$ given an experimental outcome ${\displaystyle n^{*}}$ consists of excluding values of ${\displaystyle s}$ for which ${\displaystyle \mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)\leq \alpha }$, which guarantees at least ${\displaystyle 1-\alpha }$ coverage. Consider, for example, a case where ${\displaystyle b=3}$ and ${\displaystyle n^{*}=0}$ events are observed, then one finds that ${\displaystyle s+b\geq 3}$ is excluded at 95% confidence level. But this implies that ${\displaystyle s\geq 0}$ is excluded, namely all possible values of ${\displaystyle s}$. Such a result is difficult to interpret because the experiment cannot essentially distinguish very small values of ${\displaystyle s}$ from the background-only hypothesis, and thus declaring that such small values are excluded (in favor of the background-only hypothesis) seems inappropriate. To overcome this difficulty Zech suggested conditioning the probability that ${\displaystyle n\leq n^{*}}$ on the observation that ${\displaystyle n_{b}\leq n^{*}}$, where ${\displaystyle n_{b}}$يمثل عدد الأحداث الخلفية (غير القابل للقياس). والسبب وراء ذلك هو أنه عندما${\displaystyle n_{b}}$عندما تكون القيمة صغيرة، يكون الإجراء أكثر عرضة لإنتاج خطأ (أي، فترة لا تغطي القيمة الحقيقية) مقارنةً بما هو عليه عندما${\displaystyle n_{b}}$واسعة، وتوزيعها${\displaystyle n_{b}}$هي نفسها مستقلة عن${\displaystyle s}$أي أنه لا ينبغي الإبلاغ عن احتمال الخطأ الإجمالي، بل عن الاحتمال الشرطي بناءً على المعرفة المتوفرة حول عدد الأحداث الخلفية في العينة. هذا الاحتمال الشرطي هو

${\displaystyle \mathbb {P} (n\leq n^{*}|n_{b}\leq n^{*},s+b)={\frac {\mathbb {P} (n\leq n^{*},n_{b}\leq n^{*}|s+b)}{\mathbb {P} (n_{b}\leq n^{*}|s+b)}}={\frac {\mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)}{\mathbb {P} (n\leq n^{*}|b)}}.}$

وهذا يتوافق مع التعريف المذكور أعلاه للاحتمالات الشرطية. تستخدم المساواة الأولى تعريف الاحتمال الشرطي ، وتأتي المساواة الثانية من حقيقة أنه إذا${\displaystyle n\leq n^{*}\Rightarrow n_{b}\leq n^{*}}$وعدد الأحداث الخلفية مستقل بحكم التعريف عن قوة الإشارة.

يمكن اعتبار الحجج المذكورة أعلاه متوافقة مع روح مبدأ الشرطية في الاستدلال الإحصائي، على الرغم من أنها تعبر عن مفهوم أعمّ للشرطية لا يتطلب وجود إحصائية مساعدة . مع ذلك، فإن مبدأ الشرطية ، حتى في صيغته الأصلية الأكثر تقييدًا، يستلزم مبدأ الاحتمالية ، وهي نتيجة أثبتها بيرنباوم بشكلٍ شهير . ^{[ 7 ]} لا تخضع CLs لمبدأ الاحتمالية ، وبالتالي لا يمكن استخدام هذه الاعتبارات إلا للإشارة إلى المعقولية، وليس إلى الاكتمال النظري من وجهة النظر التأسيسية. (وينطبق الأمر نفسه على أي طريقة إحصائية تكرارية إذا اعتُبر مبدأ الشرطية ضروريًا).

اقترح بيرنباوم نفسه في بحثه المنشور عام 1962 أن نسبة CLs${\displaystyle \alpha /(1-\beta )}$ينبغي استخدامها كمقياس لقوة الأدلة الإحصائية التي توفرها اختبارات الدلالة، بدلاً من${\displaystyle \alpha }$بمفرده. وقد نتج هذا عن تطبيق بسيط لمبدأ الاحتمالية : إذا كان من المقرر الإبلاغ عن نتيجة تجربة ما فقط في شكل قرار "قبول" / "رفض"، فإن الإجراء العام يعادل تجربة لها نتيجتان محتملتان فقط، باحتمالات${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle (1-\beta )}$و${\displaystyle 1-\alpha }$،${\displaystyle (\beta )}$تحت${\displaystyle H_{1},(H_{2})}$نسبة الاحتمال المرتبطة بنتيجة "الرفض"${\displaystyle H_{1}}$"لذلك"${\displaystyle \alpha /(1-\beta )}$وبالتالي، ينبغي تحديد التفسير الدلالي لهذه النتيجة. (إذ أن نسبة الاحتمال، لاختبار فرضيتين بسيطتين، هي تمثيل موجز لدالة الاحتمال ). من جهة أخرى، إذا أردنا اتباع مبدأ الاحتمال باستمرار، فينبغي استخدام نسبة احتمال النتيجة الأصلية وليس${\displaystyle \alpha /(1-\beta )}$مما يجعل أساس هذا التفسير موضع شك. وصف بيرنباوم هذا لاحقًا بأنه "ذو قيمة استدلالية في أحسن الأحوال، وليست جوهرية، لتفسير الأدلة".

يمكن إيجاد نهج أكثر مباشرة يؤدي إلى نتيجة مماثلة في صياغة بيرنباوم لمبدأ الثقة ، والذي، على عكس الصيغة الأكثر شيوعًا، يشير إلى احتمالات الخطأ بنوعيها. وقد ورد ذلك على النحو التالي: ^{[ 8 ]}

لا يكون مفهوم الدليل الإحصائي معقولاً إلا إذا وجد "دليلاً قوياً على${\displaystyle H_{2}}$ضد${\displaystyle H_{1}}$باحتمالية ضئيلة${\displaystyle (\alpha )}$متى${\displaystyle H_{1}}$هذا صحيح، وباحتمالية أكبر بكثير${\displaystyle \ (1-\beta )\ }$متى${\displaystyle H_{2}}$هذا صحيح.

قد يبدو تعريف الثقة هذا متوافقًا ظاهريًا مع تعريف فترات الثقة. مع ذلك، يبقى صحيحًا أن كلا من هذا التعريف والصيغة الأكثر شيوعًا (المرتبطة بنظرية نيمان - بيرسون ) لمبدأ الثقة لا يتوافقان مع مبدأ الاحتمالية، وبالتالي لا يمكن اعتبار أي طريقة إحصائية تكرارية حلًا كاملًا للمشاكل التي تثيرها دراسة الخصائص الشرطية لفترات الثقة.

إذا تحققت شروط انتظام معينة، فإن دالة الاحتمال العامة ستصبح دالة غاوسية في حالة العينات الكبيرة. في هذه الحالة، يكون الحد الأعلى لمستوى الثقة عند مستوى الثقة${\displaystyle 1-\alpha '}$(المستمد من الاختبار الأكثر قوة بشكل موحد ) يتم تقديمه بواسطة ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \theta _{up}={\hat {\theta }}+\sigma \Phi ^{-1}(1-\alpha '\Phi ({\hat {\theta }}/\sigma )),}$

أين${\displaystyle \Phi }$هو التوزيع التراكمي الطبيعي القياسي ،${\displaystyle {\hat {\theta }}}$هو مقدر الاحتمال الأقصى لـ${\displaystyle \theta }$و${\displaystyle \sigma }$يمثل انحرافها المعياري ؛ ويمكن تقدير هذا الأخير من معكوس مصفوفة معلومات فيشر أو باستخدام مجموعة بيانات "أسيموف" ^{[ 9 ]} . وتُعادل هذه النتيجة فترة ثقة بايزية إذا كان التوزيع الاحتمالي المسبق منتظمًا لـ${\displaystyle \theta }$يتم استخدامه.

• Leon Jay Gleser (2002). "[Setting Confidence Intervals for Bounded Parameters]: Comment". Statistical Science. 17 (2): 161–163. doi:10.1214/ss/1030550859. JSTOR 3182818.
• Fraser, D. A. S.; Reid N.; Wong, A. C. M. (2004). "Inference for bounded parameters". Phys. Rev. D. 69 (3) 033002. arXiv:physics/0303111. Bibcode:2004PhRvD..69c3002F. doi:10.1103/PhysRevD.69.033002. S2CID 18947032.
• Robert D. Cousins (2011). "Negatively Biased Relevant Subsets Induced by the Most-Powerful One-Sided Upper Confidence Limits for a Bounded Physical Parameter". arXiv:1109.2023 [physics.data-an].

• The Particle Data Group (PDG) review of statistical methods