طريقة CLs (فيزياء الجسيمات)

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 52 صور
الموسوعة الحرة

في فيزياء الجسيمات ، تُمثل حدود الثقة [ 1 ] طريقة إحصائية لتحديد حدود عليا (تُسمى أيضًا حدود الاستبعاد [ 2 ] ) لمعاملات النموذج ، وهي شكل خاص من تقدير الفترات يُستخدم للمعاملات التي لا تأخذ إلا قيمًا غير سالبة. على الرغم من أن حدود الثقة تُشير إلى مستويات الثقة ، إلا أن "اسم الطريقة مُضلل، لأن منطقة الاستبعاد في حدود الثقة ليست فترة ثقة ." [ 3 ] طُورت هذه الطريقة لأول مرة من قِبل الفيزيائيين العاملين في تجربة LEP في CERN ، ومنذ ذلك الحين استُخدمت في العديد من تجارب فيزياء الطاقة العالية . وهي طريقة إحصائية تكرارية بمعنى أن خصائص الحد تُحدد بواسطة احتمالات الخطأ ، إلا أنها تختلف عن فترات الثقة القياسية في أن مستوى الثقة المُحدد للفترة لا يُساوي احتمال تغطيتها . يرجع سبب هذا الانحراف إلى أن الحدود العليا القياسية المستندة إلى أقوى اختبار تنتج بالضرورة فترات فارغة باحتمالية ثابتة عندما تكون قيمة المعلمة صفرًا، وتعتبر هذه الخاصية غير مرغوب فيها من قبل معظم الفيزيائيين والإحصائيين. [ 4 ]

تتضمن الحدود العليا المُستنتجة باستخدام طريقة حدود الثقة دائمًا القيمة الصفرية للمعامل، وبالتالي فإن احتمال التغطية عند هذه النقطة يكون دائمًا 100%. لا يستند تعريف حدود الثقة إلى أي إطار نظري دقيق للاستدلال الإحصائي ، ولذلك يُوصف أحيانًا بأنه تعريف مخصص . ومع ذلك، فهو يُشابه إلى حد كبير مفاهيم الأدلة الإحصائية [ 5 ] التي اقترحها الإحصائي آلان بيرنباوم .

تعريف

ليكن X عينة عشوائية من توزيع احتمالي ذي معلمة حقيقية غير سالبةθ∈[0،∞){\displaystyle \theta \in [0,\infty )}حد أعلى لمستوى الثقة للمعامل θ ، مع مستوى الثقة1-α′{\displaystyle 1-\alpha '}، هو إحصائية (أي متغير عشوائي قابل للملاحظة )θuص(X){\displaystyle \theta _{up}(X)}والتي تمتلك الخاصية التالية:

تُستخدم المتباينة في التعريف لمراعاة الحالات التي يكون فيها توزيع X منفصلاً ولا يمكن تحقيق المساواة بدقة. إذا كان توزيع X متصلاً، فيجب استبدال ذلك بمساواة. لاحظ أن التعريف يعني أن احتمال التغطيةP(θuص(X)≥θ|θ){\displaystyle \mathbb {P} (\theta _{up}(X)\geq \theta |\theta )}دائمًا ما يكون أكبر من1-α′{\displaystyle 1-\alpha '}.

يمكن وضع تعريف مكافئ من خلال النظر في اختبار فرضية الفرضية الصفرية.ح0:θ=θ0{\displaystyle H_{0}:\theta =\theta _{0}}في مقابل البديلح1:θ=0{\displaystyle H_{1}:\theta =0}ثم البسط في ( 1 )، عند تقييمه عندθ0{\displaystyle \theta _{0}}، تتوافق مع احتمال الخطأ من النوع الأول (α{\displaystyle \alpha }) للاختبار (أي،θ0{\displaystyle \theta _{0}}يتم رفضه عندماθuص(X)<θ0{\displaystyle \theta _{up}(X)<\theta _{0}}) والمقام مرفوعًا للأس (1-β{\displaystyle 1-\beta }معيار الرفضح0{\displaystyle H_{0}}وبالتالي يتطلب ذلك أن تكون النسبةα/(1-β){\displaystyle \alpha /(1-\beta )}سيكون أصغر منα′{\displaystyle \alpha '}يمكن تفسير هذا بشكل بديهي على أنه يعني أنθ0{\displaystyle \theta _{0}}مستبعد لأنهα′{\displaystyle \alpha '}يقل احتمال ملاحظة نتيجة متطرفة مثل X عندماθ0{\displaystyle \theta _{0}}يكون ذلك صحيحًا أكثر مما هو عليه عندما يكون البديلθ=0{\displaystyle \theta =0}هذا صحيح.

عادةً ما يتم حساب الحد الأعلى عن طريق إنشاء إحصائية اختبارqθ(X){\displaystyle q_{\theta }(X)}وإيجاد قيمةθ{\displaystyle \theta }والتي

P(qθ(X)≥qθ*|θ)P(qθ(X)≥qθ*|0)=α′.{\displaystyle {\frac {\mathbb {P} (q_{\theta }(X)\geq q_{\theta }^{*}|\theta )}{\mathbb {P} (q_{\theta }(X)\geq q_{\theta }^{*}|0)}}=\alpha '.}

أينqθ*{\displaystyle q_{\theta }^{*}}هي النتيجة الملاحظة للتجربة.

الاستخدام في فيزياء الطاقة العالية

تم استخدام الحدود العليا المستندة إلى طريقة CLs في العديد من المنشورات للنتائج التجريبية التي تم الحصول عليها في تجارب مسرعات الجسيمات مثل LEP و Tevatron و LHC ، وهي الأكثر بروزًا في عمليات البحث عن جسيمات جديدة.

أصل

استند الدافع الأصلي لـ CLs إلى حساب الاحتمالية الشرطية الذي اقترحه الفيزيائي ج. زيك [ 6 ] لتجربة عد الأحداث. لنفترض أن التجربة تتكون من قياسن{\displaystyle n}الأحداث القادمة من عمليات الإشارة والخلفية، وكلاهما موصوف بتوزيعات بواسون بمعدلات خاصة بهماs{\displaystyle s}وب{\displaystyle b}، أين∼بويس(s+ب){\displaystyle n\sim {\text{بويس}}(s+b)}.ب{\displaystyle b}يُفترض أن يكون معروفًا وs{\displaystyle s}هو المعامل الذي سيتم تقديره من خلال التجربة. الإجراء القياسي لتحديد حد أعلى لـs{\displaystyle s}بالنظر إلى نتيجة تجريبيةن*{\displaystyle n^{*}}يتضمن ذلك استبعاد قيمs{\displaystyle s}والتيP(ن≤ن*|s+ب)≤α{\displaystyle \mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)\leq \alpha }، وهو ما يضمن على الأقل1-α{\displaystyle 1-\alpha }التغطية. لنفترض، على سبيل المثال، حالة حيثب=3{\displaystyle b=3}ون*=0{\displaystyle n^{*}=0}تُلاحَظ الأحداث، ثم يتبين أنs+ب≥3{\displaystyle s+b\geq 3}يتم استبعادها عند مستوى ثقة 95%. لكن هذا يعني أنs≥0{\displaystyle s\geq 0}يتم استبعادها، أي جميع القيم الممكنة لـs{\displaystyle s}يصعب تفسير هذه النتيجة لأن التجربة لا تستطيع أساسًا التمييز بين القيم الصغيرة جدًا لـs{\displaystyle s}من فرضية الخلفية فقط، وبالتالي فإن إعلان استبعاد هذه القيم الصغيرة (لصالح فرضية الخلفية فقط) يبدو غير مناسب. وللتغلب على هذه الصعوبة، اقترح زيك تحديد احتمالية أنن≤ن*{\displaystyle n\leq n^{*}}بناءً على الملاحظة التينب≤ن*{\displaystyle n_{b}\leq n^{*}}، أيننب{\displaystyle n_{b}}يمثل عدد الأحداث الخلفية (غير القابل للقياس). والسبب وراء ذلك هو أنه عندمانب{\displaystyle n_{b}}عندما تكون القيمة صغيرة، يكون الإجراء أكثر عرضة لإنتاج خطأ (أي، فترة لا تغطي القيمة الحقيقية) مقارنةً بما هو عليه عندمانب{\displaystyle n_{b}}واسعة، وتوزيعهانب{\displaystyle n_{b}}هي نفسها مستقلة عنs{\displaystyle s}أي أنه لا ينبغي الإبلاغ عن احتمال الخطأ الإجمالي، بل عن الاحتمال الشرطي بناءً على المعرفة المتوفرة حول عدد الأحداث الخلفية في العينة. هذا الاحتمال الشرطي هو

P(ن≤ن*|نب≤ن*،s+ب)=P(ن≤ن*،نب≤ن*|s+ب)P(نب≤ن*|s+ب)=P(ن≤ن*|s+ب)P(ن≤ن*|ب).{\displaystyle \mathbb {P} (n\leq n^{*}|n_{b}\leq n^{*},s+b)={\frac {\mathbb {P} (n\leq n^{*},n_{b}\leq n^{*}|s+b)}{\mathbb {P} (n_{b}\leq n^{*}|s+b)}}={\frac {\mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)}{\mathbb {P} (n\leq n^{*}|b)}}.}

وهذا يتوافق مع التعريف المذكور أعلاه للاحتمالات الشرطية. تستخدم المساواة الأولى تعريف الاحتمال الشرطي ، وتأتي المساواة الثانية من حقيقة أنه إذان≤ن*⇒نب≤ن*{\displaystyle n\leq n^{*}\Rightarrow n_{b}\leq n^{*}}وعدد الأحداث الخلفية مستقل بحكم التعريف عن قوة الإشارة.

تعميم الحجة الشرطية

يمكن تعميم حجة زيك الشرطية رسميًا لتشمل الحالة العامة. لنفترض أنq(X){\displaystyle q(X)}هي إحصائية اختبار يتم من خلالها اشتقاق فترة الثقة، ولتكن

صθ=P(q(X)>q*|θ){\displaystyle p_{\theta }=\mathbb {P} (q(X)>q^{*}|\theta )}

أينq*{\displaystyle q*}هي النتيجة التي تم رصدها من خلال التجربة. ثمصθ{\displaystyle p_{\theta }}يمكن اعتبارها غير قابلة للقياس (لأنθ{\displaystyle \theta }متغير عشوائي غير معروف، توزيعه منتظم بين 0 و1 بغض النظر عنθ{\displaystyle \theta }إذا كان الاختبار غير متحيز، فإن النتيجة ستكونq*{\displaystyle q*}يشير إلى

صθ≤P(q(X)>q*|0)≡ص0*{\displaystyle p_{\theta }\leq \mathbb {P} (q(X)>q^{*}|0)\equiv p_{0}^{*}}

ومنها، على غرار التكييف علىنب{\displaystyle n_{b}}في الحالة السابقة، نحصل على

P(q(X)≥q*|صθ≤ص0*،θ)=P(q(X)≥q*|θ)P(صθ≤ص0*|θ)=P(q(X)≥q*|θ)ص0*=P(q(X)≥q*|θ)P(q(X)>q*|0).{\displaystyle \mathbb {P} (q(X)\geq q^{*}|p_{\theta }\leq p_{0}^{*},\theta )={\frac {\mathbb {P} (q(X)\geq q^{*}|\theta )}{\mathbb {P} (p_{\theta }\leq p_{0}^{*}|\theta )}}= {\frac {\mathbb {P} (q(X)\geq q^{*}|\theta )}{p_{0}^{*}}}={\frac {\mathbb {P} (q(X)\geq q^{*}|\theta )}{\mathbb {P} (q(X)>q^{*}|0)}}.}

العلاقة بالمبادئ الأساسية

يمكن اعتبار الحجج المذكورة أعلاه متوافقة مع روح مبدأ الشرطية في الاستدلال الإحصائي، على الرغم من أنها تعبر عن مفهوم أعمّ للشرطية لا يتطلب وجود إحصائية مساعدة . مع ذلك، فإن مبدأ الشرطية ، حتى في صيغته الأصلية الأكثر تقييدًا، يستلزم مبدأ الاحتمالية ، وهي نتيجة أثبتها بيرنباوم بشكلٍ شهير . [ 7 ] لا تخضع CLs لمبدأ الاحتمالية ، وبالتالي لا يمكن استخدام هذه الاعتبارات إلا للإشارة إلى المعقولية، وليس إلى الاكتمال النظري من وجهة النظر التأسيسية. (وينطبق الأمر نفسه على أي طريقة إحصائية تكرارية إذا اعتُبر مبدأ الشرطية ضروريًا).

اقترح بيرنباوم نفسه في بحثه المنشور عام 1962 أن نسبة CLsα/(1-β){\displaystyle \alpha /(1-\beta )}ينبغي استخدامها كمقياس لقوة الأدلة الإحصائية التي توفرها اختبارات الدلالة، بدلاً منα{\displaystyle \alpha }بمفرده. وقد نتج هذا عن تطبيق بسيط لمبدأ الاحتمالية : إذا كان من المقرر الإبلاغ عن نتيجة تجربة ما فقط في شكل قرار "قبول" / "رفض"، فإن الإجراء العام يعادل تجربة لها نتيجتان محتملتان فقط، باحتمالاتα{\displaystyle \alpha }،(1-β){\displaystyle (1-\beta )}و1-α{\displaystyle 1-\alpha }،(β){\displaystyle (\beta )}تحتح1،(ح2){\displaystyle H_{1},(H_{2})}نسبة الاحتمال المرتبطة بنتيجة "الرفض"ح1{\displaystyle H_{1}}"لذلك"α/(1-β){\displaystyle \alpha /(1-\beta )}وبالتالي، ينبغي تحديد التفسير الدلالي لهذه النتيجة. (إذ أن نسبة الاحتمال، لاختبار فرضيتين بسيطتين، هي تمثيل موجز لدالة الاحتمال ). من جهة أخرى، إذا أردنا اتباع مبدأ الاحتمال باستمرار، فينبغي استخدام نسبة احتمال النتيجة الأصلية وليسα/(1-β){\displaystyle \alpha /(1-\beta )}مما يجعل أساس هذا التفسير موضع شك. وصف بيرنباوم هذا لاحقًا بأنه "ذو قيمة استدلالية في أحسن الأحوال، وليست جوهرية، لتفسير الأدلة".

يمكن إيجاد نهج أكثر مباشرة يؤدي إلى نتيجة مماثلة في صياغة بيرنباوم لمبدأ الثقة ، والذي، على عكس الصيغة الأكثر شيوعًا، يشير إلى احتمالات الخطأ بنوعيها. وقد ورد ذلك على النحو التالي: [ 8 ]

لا يكون مفهوم الدليل الإحصائي معقولاً إلا إذا وجد "دليلاً قوياً علىح2{\displaystyle H_{2}}ضدح1{\displaystyle H_{1}}باحتمالية ضئيلة(α){\displaystyle (\alpha )}متىح1{\displaystyle H_{1}}هذا صحيح، وباحتمالية أكبر بكثير (1-β) {\displaystyle \ (1-\beta )\ }متىح2{\displaystyle H_{2}}هذا صحيح.

قد يبدو تعريف الثقة هذا متوافقًا ظاهريًا مع تعريف فترات الثقة. مع ذلك، يبقى صحيحًا أن كلا من هذا التعريف والصيغة الأكثر شيوعًا (المرتبطة بنظرية نيمان - بيرسون ) لمبدأ الثقة لا يتوافقان مع مبدأ الاحتمالية، وبالتالي لا يمكن اعتبار أي طريقة إحصائية تكرارية حلًا كاملًا للمشاكل التي تثيرها دراسة الخصائص الشرطية لفترات الثقة.

الحساب في حالة العينة الكبيرة

إذا تحققت شروط انتظام معينة، فإن دالة الاحتمال العامة ستصبح دالة غاوسية في حالة العينات الكبيرة. في هذه الحالة، يكون الحد الأعلى لمستوى الثقة عند مستوى الثقة1-α′{\displaystyle 1-\alpha '}(المستمد من الاختبار الأكثر قوة بشكل موحد ) يتم تقديمه بواسطة [ 9 ]

θuص=θ^+σΦ-1(1-α′Φ(θ^/σ))،{\displaystyle \theta _{up}={\hat {\theta }}+\sigma \Phi ^{-1}(1-\alpha '\Phi ({\hat {\theta }}/\sigma )),}

أينΦ{\displaystyle \Phi }هو التوزيع التراكمي الطبيعي القياسي ،θ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}هو مقدر الاحتمال الأقصى لـθ{\displaystyle \theta }وσ{\displaystyle \sigma }يمثل انحرافها المعياري ؛ ويمكن تقدير هذا الأخير من معكوس مصفوفة معلومات فيشر أو باستخدام مجموعة بيانات "أسيموف" [ 9 ] . وتُعادل هذه النتيجة فترة ثقة بايزية إذا كان التوزيع الاحتمالي المسبق منتظمًا لـθ{\displaystyle \theta }يتم استخدامه.

مراجع

  1. ↑ ريد، أ. ل. (2002). "عرض نتائج البحث: تقنية CL(s)". مجلة الفيزياء G: الفيزياء النووية وفيزياء الجسيمات . 28 (10): 2693-2704 . Bibcode : 2002JPhG...28.2693R . doi : 10.1088/0954-3899/28/10/313 .
  2. ↑ فيزياء الجسيمات في الذكرى المئوية الثالثة لميخائيل لومونوسوف ، ص 13، على كتب جوجل
  3. ↑ أمنون هاريل. "الأساليب الإحصائية في عمليات البحث في أنظمة إدارة المحتوى" (ملف PDF) . indico.cern.ch . تاريخ الاسترجاع: 10 أبريل 2015 .
  4. ↑ مارك ماندلكيرن (2002). "تحديد فترات الثقة للمعلمات المحدودة" . العلوم الإحصائية . 17 (2): 149-159 . doi : 10.1214/ss/1030550859 . JSTOR 3182816 . 
  5. ↑ رونالد ن. جيري (1977). "مفهوم آلان بيرنباوم للأدلة الإحصائية" . سينثيز . 36 (1): 5-13 . doi : 10.1007/bf00485688 . S2CID 46973213 . 
  6. ↑ جي. زيك (1989). "الحدود العليا في التجارب مع الخلفية أو أخطاء القياس" (ملف PDF) . مجلة الأدوات والأساليب النووية في البحوث الفيزيائية، الجزء أ . 277 ( 2-3 ): 608-610 . رمز Bibcode : 1989NIMPA.277..608Z . doi : 10.1016/0168-9002(89)90795-X .
  7. ↑ بيرنباوم، آلان (1962). " حول أسس الاستدلال الإحصائي". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 57 (298): 269-326 . doi : 10.2307/2281640 . JSTOR 2281640. MR 0138176 .  (مع مناقشة.)
  8. ↑ بيرنباوم، آلان (1977). "نظرية نيمان-بيرسون كنظرية قرار، وكنظرية استدلال؛ مع نقد لحجة ليندلي-سافاج لنظرية بايز" . سينثيز . 36 (1): 19-49 . doi : 10.1007/bf00485690 . S2CID 35027844 . 
  9. 1 2 ج. كوان؛ ك. كرانمر؛ إ. غروس؛ أ. فيتيلز (2011). "صيغ تقاربية لاختبارات الفيزياء الجديدة القائمة على الاحتمالية" . المجلة الأوروبية للفيزياء ج . 71 (2): 1554. arXiv : 1007.1727 . Bibcode : 2011EPJC...71.1554C . doi : 10.1140/epjc/s10052-011-1554-0 .

للمزيد من القراءة