دالة كارمايكل

في نظرية الأعداد ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، تُعرَّف دالة كارمايكل $λ$ $($ $n$ $)$ لعدد صحيح موجب $n$ بأنها أصغر عدد صحيح موجب $m$ بحيث

a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}

ينطبق هذا على كل عدد صحيح $أولي$ نسبيًا مع $n$ . جبريًا، $λ$ $($ $n$ $)$ هو أس المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد $n$ . ولأن هذه المجموعة أبيلية منتهية ، فلا بد من وجود عنصر رتبته تساوي الأس $λ$ $($ $n$ $)$ . يُسمى هذا العنصر جذرًا أوليًا من نوع $λ$ بتردد $n$ .

دالة كارمايكل $λ$ : $λ$ $($ $n$ $)$ لـ $1 \leq$ $n$ $\leq 1000$ (مقارنة بدالة أويلر $φ$ )

سميت دالة كارمايكل على اسم عالم الرياضيات الأمريكي روبرت كارمايكل الذي عرّفها في عام 1910. ^{[ 1 ]} وهي تُعرف أيضًا باسم دالة كارمايكل λ ، ودالة المعامل المختزلة ، ودالة الأس الأقل عالمية .

رتبة المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد $n$ هي $φ$ $($ $n$ $)$ ، حيث $φ$ هي دالة أويلر . وبما أن رتبة أي عنصر في مجموعة منتهية تقسم رتبة المجموعة، فإن $λ$ $($ $n$ $)$ تقسم $φ$ $($ $n$ $)$ . يقارن الجدول التالي أول 36 قيمة لـ $λ$ $($ $n$ $)$ (المتتالية A002322 في OEIS ) و $φ$ $($ $n$ $)$ (مُظللة بالخط العريض إذا كانت مختلفة؛ القيم $n$ التي تجعلها مختلفة مُدرجة في (المتتالية A033949 في OEIS ) ).

$ن$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36
$λ (n)$	1	1	2	2	4	2	6	2	6	4	10	2	12	6	4	4	16	6	18	4	6	10	22	2	20	12	18	6	28	4	30	8	10	16	12	6
$φ (n)$	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28	8	30	16	20	16	24	12

أمثلة عددية

$ن = 5.$ مجموعة الأعداد الأصغر من 5 والأعداد الأولية فيما بينها هي ${1، 2، 3، 4$ }. بالتالي، فإن دالة أويلر لها القيمة $φ$ $(5) = 4$ ، وقيمة دالة كارمايكل، $λ$ $(5)$ ، يجب أن تكون قاسمًا للعدد 4. القاسم 1 لا يحقق تعريف دالة كارمايكل لأن $a^{1}\not \equiv 1{\pmod {5}}$ باستثناء $a\equiv 1{\pmod {5}}$ ولا ينطبق ذلك على الرقم 2 أيضاً، لأن $2^{2}\equiv 3^{2}\equiv 4\not \equiv 1{\pmod {5}}$ وبالتالي فإن $λ$ $(5) = 4.$ في الواقع، $1^{4}\equiv 2^{4}\equiv 3^{4}\equiv 4^{4}\equiv 1{\pmod {5}}$ . كل من 2 و 3 هما جذور $λ$ أولية modulo 5 وأيضًا جذور أولية modulo 5.
$ن = 8.$ مجموعة الأعداد الأصغر من 8 والأعداد الأولية فيما بينها هي ${1، 3، 5، 7}$ . بالتالي، $φ$ $(8) = 4،$ ويجب $أن يكون λ$ $(8)$ قاسمًا للعدد 4. في الواقع $، λ$ $(8) = 2$ لأن $1^{2}\equiv 3^{2}\equiv 5^{2}\equiv 7^{2}\equiv 1{\pmod {8}}$ الجذور الأولية $لـ λ$ بتردد 8 هي 3 و 5 و 7. لا توجد جذور أولية بتردد 8.

تكرار $λ$ $($ $n$ $)$

يمكن التعبير عن دالة لامدا لكارمايكل لقوة عدد أولي بدلالة دالة أويلر. أي عدد ليس 1 أو قوة عدد أولي يمكن كتابته بشكل فريد كحاصل ضرب قوى عددية أولية مختلفة، وفي هذه الحالة يكون $λ$ لحاصل الضرب هو المضاعف المشترك الأصغر لـ $λ$ لقوى الأعداد الأولية. تحديدًا، يُعطى $λ$ $($ $n$ $) بالعلاقة التكرارية التالية:$

\lambda (n)={\begin{cases}\varphi (n)&{\text{if }}n{\text{ is 1, 2, 4, or an odd prime power,}}\\{\tfrac {1}{2}}\varphi (n)&{\text{if }}n=2^{r},\ r\geq 3,\\\operatorname {lcm} {\Bigl (}\lambda (n_{1}),\lambda (n_{2}),\ldots ,\lambda (n_{k}){\Bigr )}&{\text{if }}n=n_{1}n_{2}\ldots n_{k}{\text{ where }}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}{\text{ are powers of distinct primes.}}\end{cases}}

دالة أويلر لقوة عدد أولي، أي عدد $p$ $r$ حيث $p$ عدد أولي و $r$ $\geq 1$ ، تُعطى بالصيغة التالية:

\varphi (p^{r}){=}p^{r-1}(p-1).

نظريات كارمايكل

أثبت كارمايكل نظريتين تُثبتان معًا أنه إذا تم اعتبار $λ$ $($ $n$ $)$ كما هو مُعرَّف في العلاقة التكرارية للقسم السابق، فإنه يُحقق الخاصية المذكورة في المقدمة، وهي أنه أصغر عدد صحيح موجب $m$ بحيث $a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$ لكل $عدد$ أولي نسبيًا مع $n$ .

النظرية 1 - إذا كان $العدد a$ أوليًا نسبيًا مع $العدد n،$ فإن $a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$ [ ²^]

هذا يعني أن رتبة كل عنصر من عناصر المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد $n$ تقسم $λ$ $($ $n$ $)$ . ويسمي كارمايكل العنصر $a$ الذي يحقق الشرط التالي: $a^{\lambda (n)}$ هو أصغر قوة لعدد $متطابق$ مع 1 (mod $n$ ) لجذر لامدا أولي modulo n . ^{[ 3 ]} (لا ينبغي الخلط بين هذا وبين الجذر الأولي modulo $n$ ، الذي يشير إليه كارمايكل أحيانًا باسم الجذر الأولي). $\varphi$ (-root modulo $n$ .)

النظرية 2 - لكل عدد صحيح موجب $n،$ يوجد جذر أولي من نوع $λ$ بتردد $n$ . علاوة على ذلك، إذا كان $g$ جذرًا من هذا النوع، فإنه يوجد $\varphi (\lambda (n))$ الجذور الأولية من نوع $λ$ التي تتطابق مع قوى $g$ . ^{[ 4 ]}

إذا كانت $g$ أحد الجذور الأولية من نوع $λ$ التي تضمنها النظرية، فإن $g^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$ لا يوجد حلول صحيحة موجبة $m$ أقل من $λ$ $($ $n$ $)$ ، مما يدل على أنه لا يوجد عدد صحيح موجب $m$ $<$ $λ$ $($ $n$ $)$ بحيث $a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$ لكل $عدد$ أولي نسبيًا مع $n$ .

لا يعني البيان الثاني من النظرية 2 أن جميع الجذور الأولية من الرتبة $λ$ بتردد $n$ متطابقة مع قوى جذر واحد $g$ . ^{[ 5 ]} على سبيل المثال، إذا كان $n$ $= 15$ ، فإن $λ$ $($ $n$ $) = 4$ بينما $\varphi (n)=8$ و $\varphi (\lambda (n))=2$ يوجد أربعة جذور أولية من نوع $λ$ بتردد 15، وهي 2 و7 و8 و13 . $1\equiv 2^{4}\equiv 8^{4}\equiv 7^{4}\equiv 13^{4}$ الجذران 2 و8 متطابقان مع قوى بعضهما البعض، والجذران 7 و13 متطابقان مع قوى بعضهما البعض، لكن لا 7 ولا 13 متطابقان مع أي قوة من قوى 2 أو 8، والعكس صحيح. أما العناصر الأربعة الأخرى للمجموعة الضربية بتردد 15، فهي 1 و4 (التي تحقق...). $4\equiv 2^{2}\equiv 8^{2}\equiv 7^{2}\equiv 13^{2}$ )، 11، و 14، ليست جذور $λ$ بدائية modulo 15.

كمثال معاكس، إذا كان $n$ $= 9$ ، فإن $\lambda (n)=\varphi (n)=6$ و $\varphi (\lambda (n))=2$ يوجد جذران أوليان من نوع $λ$ بتردد 9، وهما 2 و5، كل منهما متطابق مع القوة الخامسة للآخر. وهما أيضاً أوليان. $\varphi$ -جذور باقي قسمتها على 9.

خصائص دالة كارمايكل

في هذا القسم، عدد صحيح $n$ يقبل القسمة على عدد صحيح غير صفري $m$ إذا كان هناك عدد صحيح $k$ بحيث $n=km$ . يُكتب هذا على النحو التالي

m\mid n.

نتيجة لصغر قيمة $λ$ $($ $n$ $)$

لنفترض أن $a$ $m$ $\equiv 1 (mod$ $n$ $)$ لجميع الأعداد $a$ الأولية فيما بينها مع $n$ . إذن $λ$ $($ $n$ $) |$ $m$ .

البرهان: إذا كان $m$ $=$ $kλ$ $($ $n$ $) +$ $r$ حيث $0 \leq$ $r$ $<$ $λ$ $($ $n$ $)$ ، فإن

a^{r}=1^{k}\cdot a^{r}\equiv \left(a^{\lambda (n)}\right)^{k}\cdot a^{r}=a^{k\lambda (n)+r}=a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}

لكل عدد $أولي$ نسبيًا مع $n$ . ويترتب على ذلك أن $r = 0$ لأن $r$ $<$ $λ$ $($ $n$ $)$ و $λ$ $($ $n$ $)$ هو أصغر أس موجب يتحقق عنده التطابق لكل $عدد$ أولي نسبيًا مع $n$ .

$λ (n)$ يقسم $φ$ $($ $n$ $)$

هذا ما يُستنتج من نظرية الزمر الأولية ، لأن أس أي زمرة منتهية يجب أن يقسم رتبة الزمرة. $λ$ $($ $n$ $)$ هو أس الزمرة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد $n،$ بينما $φ$ $($ $n$ $)$ هي رتبة تلك الزمرة. وبالتحديد، يجب أن يتساوى الأسان في الحالات التي تكون فيها الزمرة الضربية دورية لوجود جذر أولي ، وهو ما ينطبق على قوى الأعداد الأولية الفردية.

وبالتالي يمكننا اعتبار نظرية كارمايكل بمثابة تحسين لنظرية أويلر .

قابلية القسمة

a\,|\,b\Rightarrow \lambda (a)\,|\,\lambda (b)

دليل.

بحسب التعريف، لأي عدد صحيح $k$ مع $\gcd(k,b)=1$ (وبالتالي أيضاً) $\gcd(k,a)=1$ لدينا ذلك $b\,|\,(k^{\lambda (b)}-1)$ وبالتالي $a\,|\,(k^{\lambda (b)}-1)$ وهذا يثبت أن $k^{\lambda (b)}\equiv 1{\pmod {a}}$ لكل $k$ عدد أولي نسبيًا مع $a$ . وبناءً على نتيجة الحد الأدنى التي تم إثباتها أعلاه، لدينا $\lambda (a)\,|\,\lambda (b)$ .

تعبير

لكل عددين صحيحين موجبين $a$ و $b،$ يكون ذلك صحيحاً.

\lambda (\mathrm {lcm} (a,b))=\mathrm {lcm} (\lambda (a),\lambda (b))

.

هذه نتيجة مباشرة لتكرار وظيفة كارمايكل.

طول الدورة الأسية

لو $r_{\mathrm {max} }=\max _{i}\{r_{i}\}$ هو أكبر أس في التحليل إلى العوامل الأولية $n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ من $n$ ، ثم لجميع $a$ (بما في ذلك تلك التي ليست أولية نسبياً مع $n$ ) وجميع $r$ $\geq$ $r$ $max$ ،

a^{r}\equiv a^{\lambda (n)+r}{\pmod {n}}.

على وجه الخصوص، بالنسبة لـ $n$ الخالية من المربعات ( $r$ $max$ $= 1$ )، لكل $a$ لدينا

a\equiv a^{\lambda (n)+1}{\pmod {n}}.

القيمة المتوسطة

لأي قيمة $n$ $\geq 16$ : ^[⁶^]^[⁷^]

{\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}\lambda (i)={\frac {n}{\ln n}}e^{B(1+o(1))\ln \ln n/(\ln \ln \ln n)}

(يُطلق عليها تقريب إردوش فيما يلي) مع الثابت

B:=e^{-\gamma }\prod _{p\in \mathbb {P} }\left({1-{\frac {1}{(p-1)^{2}(p+1)}}}\right)\approx 0.34537

و $γ$ $\approx 0.57721$ ، ثابت أويلر-ماسكيروني .

يُقدّم الجدول التالي لمحة عامة عن أول $226 - 1 = 67108863$ قيمة لدالة $λ$ ، لكل من المتوسط الدقيق وتقريبه بواسطة Erdős.

$بالإضافة إلى ذلك ،$ تُقدَّم لمحة عامة عن قيم "اللوغاريتم على اللوغاريتم" التي يسهل الوصول إليها LoL ( $n) : = ln λ (n) / ln n مع$

$LoL(n) > ⁠ 4 / 5 ⁠ \Leftrightarrow λ (n) > n ⁠ 4 / 5 ⁠$ .

هناك، إدخال الجدول في الصف رقم 26 في العمود

$نسبة الضحك > 4 / 5 \leftarrow$ 60.49

يشير ذلك إلى أن 60.49% (≈40,000,000 ) $من$ الأعداد الصحيحة 1 $\leq$ $n$ ≤ $67108863$ لها $λ$ $($ $n$ $) >$ $n$ $⁠$ $4$ $/$ $5$ $⁠$ مما يعني أن غالبية $قيم λ$ أسية في طول $l$ $:= log$ $2$ $($ $n$ $)$ للمدخل $n$ ، أي

\left(2^{\frac {4}{5}}\right)^{l}=2^{\frac {4l}{5}}=\left(2^{l}\right)^{\frac {4}{5}}=n^{\frac {4}{5}}.

$ν$	$n = 2 ν - 1$	مجموع $\sum _{i\leq n}\lambda (i)$	متوسط ${\tfrac {1}{n}}\sum _{i\leq n}\lambda (i)$	متوسط إردوش	المتوسط الدقيق	متوسط $لعبة League of Legends$	نسبة $الضحك$ > 4 / 5	نسبة $الضحك$ > 7 / 8
5	31	270	8.709677	68.643	7.8813	0.678244	41.94	35.48
6	63	964	15.301587	61.414	4.0136	0.699891	38.10	30.16
7	127	3574	28.141732	86.605	3.0774	0.717291	38.58	27.56
8	255	12994	50.956863	138.190	2.7119	0.730331	38.82	23.53
9	511	48032	93.996086	233.149	2.4804	0.740498	40.90	25.05
10	1023	178816	174.795699	406.145	2.3235	0.748482	41.45	26.98
11	2047	662952	323.865169	722.526	2.2309	0.754886	42.84	27.70
12	4095	2490948	608.290110	1304.810	2.1450	0.761027	43.74	28.11
13	8191	9382764	1145.496765	2383.263	2.0806	0.766571	44.33	28.60
14	16383	35504586	2167.160227	4392.129	2.0267	0.771695	46.10	29.52
15	32767	134736824	4111.967040	8153.054	1.9828	0.776437	47.21	29.15
16	65535	513758796	7839.456718	15225.43	1.9422	0.781064	49.13	28.17
17	131071	1964413592	14987.40066	28576.97	1.9067	0.785401	50.43	29.55
18	262143	7529218208	28721.79768	53869.76	1.8756	0.789561	51.17	30.67
19	524287	28935644342	55190.46694	101930.9	1.8469	0.793536	52.62	31.45
20	1048575	111393101150	106232.8409	193507.1	1.8215	0.797351	53.74	31.83
21	2097151	429685077652	204889.9090	368427.6	1.7982	0.801018	54.97	32.18
22	4194303	1660388309120	395867.5158	703289.4	1.7766	0.804543	56.24	33.65
23	8388607	6425917227352	766029.1187	1345633	1.7566	0.807936	57.19	34.32
24	16777215	24906872655990	1484565.386	2580070	1.7379	0.811204	58.49	34.43
25	33554431	96666595865430	2880889.140	4956372	1.7204	0.814351	59.52	35.76
26	67108863	375619048086576	5597160.066	9537863	1.7041	0.817384	60.49	36.73

الفاصل الزمني السائد

لجميع الأعداد $N$ وجميع الأعداد الصحيحة الموجبة $n$ $\leq$ $N باستثناء$ $o$ $($ $N$ $)$ ^[⁸^] (الأغلبية "السائدة"):

\lambda (n)={\frac {n}{(\ln n)^{\ln \ln \ln n+A+o(1)}}}

مع الثابت ^{[ 7 ]}

A:=-1+\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\ln p}{(p-1)^{2}}}\approx 0.2269688

الحدود الدنيا

لأي عدد كبير بما فيه الكفاية $N$ ولأي $Δ \geq (ln ln N) 3$ ، يوجد على الأكثر

N\exp \left(-0.69(\Delta \ln \Delta )^{\frac {1}{3}}\right)

الأعداد الصحيحة الموجبة $n$ $\leq N$ بحيث $λ$ $($ $n$ $) \leq$ $ne$ $-Δ$ . ^[⁹^]

الحد الأدنى للطلب

لأي متتالية $n$ $1$ $<$ $n$ $2$ $<$ $n$ $3$ $< \dots من الأعداد الصحيحة$ $الموجبة$ ، وأي ثابت $0 <$ $c$ $<$ $1$ $/$ $ln 2$ $،$ وأي $i$ كبير بما فيه الكفاية : ^[¹⁰^]^[¹¹^]

\lambda (n_{i})>\left(\ln n_{i}\right)^{c\ln \ln \ln n_{i}}.

القيم الصغيرة

بالنسبة لثابت $c$ وأي قيمة موجبة كبيرة بما فيه الكفاية $A$ ، يوجد عدد صحيح $n$ $>$ $A$ بحيث ^[¹¹^]

\lambda (n)<\left(\ln A\right)^{c\ln \ln \ln A}.

علاوة على ذلك، فإن $n$ من الشكل

n=\mathop {\prod _{q\in \mathbb {P} }} _{(q-1)|m}q

لبعض الأعداد الصحيحة الخالية من المربعات $m$ $< (ln$ $A$ $)$ $c$ $ln ln ln$ $A$ . ^[¹⁰^]

صورة الوظيفة

مجموعة قيم دالة كارمايكل لها دالة عد ^{[ 12 ]}

{\frac {x}{(\ln x)^{\eta +o(1)}}},

أين

\eta =1-{\frac {1+\ln \ln 2}{\ln 2}}\approx 0.08607

الاستخدام في علم التشفير

تُعد دالة كارمايكل مهمة في علم التشفير نظرًا لاستخدامها في خوارزمية تشفير RSA .

برهان النظرية 1

بالنسبة لـ $n$ $=$ $p$ ، وهو عدد أولي، فإن النظرية 1 تعادل نظرية فيرما الصغرى :

a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}\qquad {\text{for all }}a{\text{ coprime to }}p.

بالنسبة للقوى الأولية $p$ $r$ ، $r$ $> 1$ ، إذا

a^{p^{r-1}(p-1)}=1+hp^{r}

إذا كان هذا صحيحًا لعدد صحيح $h$ ، فإن رفع كلا الطرفين إلى القوة $p$ يعطي

a^{p^{r}(p-1)}=1+h'p^{r+1}

بالنسبة لعدد صحيح آخر $h'$ وبالاستقراء يترتب على ذلك أن $a^{\varphi (p^{r})}\equiv 1{\pmod {p^{r}}}$ لكل $عدد$ أولي نسبيًا مع $p$ ، وبالتالي مع $p$ $r$ . وهذا يثبت النظرية لـ $n$ $= 4$ أو أي قوة عدد أولي فردي.

تحسين النتيجة لقوى أعلى من العدد اثنين

بالنسبة $لعدد أولي نسبيًا مع (قوى) العدد 2$ $،$ لدينا $a$ $= 1 + 2$ $h²$ لعدد صحيح $h²$ $.$ ثم،

a^{2}=1+4h_{2}(h_{2}+1)=1+8{\binom {h_{2}+1}{2}}=:1+8h_{3}

،

أين $h_{3}$ هو عدد صحيح. عندما يكون $r = 3$ ، يُكتب هذا

a^{2^{r-2}}=1+2^{r}h_{r}.

تربيع كلا الطرفين يعطي

a^{2^{r-1}}=\left(1+2^{r}h_{r}\right)^{2}=1+2^{r+1}\left(h_{r}+2^{r-1}h_{r}^{2}\right)=:1+2^{r+1}h_{r+1},

أين $h_{r+1}$ عدد صحيح. ويترتب على ذلك بالاستقراء أن

a^{2^{r-2}}=a^{{\frac {1}{2}}\varphi (2^{r})}\equiv 1{\pmod {2^{r}}}

للجميع $r\geq 3$ وكلها $أعداد$ أولية مشتركة مع $2^{r}$ [ ¹³^]

الأعداد الصحيحة التي لها عوامل أولية متعددة

بحسب نظرية التحليل الفريد ، يمكن كتابة أي $عدد n$ $> 1$ بطريقة فريدة على النحو التالي:

n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}

حيث $p$ $1$ $<$ $p$ $2$ $< ... <$ $p$ $k$ أعداد أولية، و $r$ $1$ $،$ $r$ $2$ $، ... ،$ $rk$ $أعداد$ صحيحة موجبة. تُثبت نتائج قوى الأعداد الأولية أنه، بالنسبة لـ $1\leq j\leq k$ ،

a^{\lambda \left(p_{j}^{r_{j}}\right)}\equiv 1{\pmod {p_{j}^{r_{j}}}}\qquad {\text{for all }}a{\text{ coprime to }}n{\text{ and hence to }}p_{i}^{r_{i}}.

ويترتب على ذلك أن

a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {p_{j}^{r_{j}}}}\qquad {\text{for all }}a{\text{ coprime to }}n,

حيث، كما هو موضح في التكرار،

\lambda (n)=\operatorname {lcm} {\Bigl (}\lambda \left(p_{1}^{r_{1}}\right),\lambda \left(p_{2}^{r_{2}}\right),\ldots ,\lambda \left(p_{k}^{r_{k}}\right){\Bigr )}.

يستنتج المرء من نظرية الباقي الصينية أن

a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}\qquad {\text{for all }}a{\text{ coprime to }}n.

انظر أيضاً

رقم كارمايكل

ملحوظات

↑ كارمايكل، روبرت دانيال (1910). "ملاحظة حول دالة جديدة في نظرية الأعداد" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 16 (5): 232-238 . doi : 10.1090/S0002-9904-1910-01892-9 .
↑ كارمايكل (1914) ص 40
↑ كارمايكل (1914) ص 54
↑ كارمايكل (1914) ص 55
↑ كارمايكل (1914) ص 56
^ النظرية 3 في اردوس (1991)
1 2 ساندور وكريستيسي (2004) ص.194
^ نظرية 2 في اردوس (1991) 3. النظام العادي. (ص 365)
↑ النظرية 5 في فريدلاندر (2001)
1 2 النظرية 1 في إردوس (1991)
1 2 ساندور وكريستيسي (2004) ص.193
↑ فورد، كيفن؛ لوكا، فلوريان؛ بوميرانس، كارل (27 أغسطس 2014). "صورة دالة لامدا لكارمايكل ". الجبر ونظرية الأعداد . 8 (8): 2009-2026 . arXiv : 1408.6506 . doi : 10.2140/ant.2014.8.2009 . S2CID 50397623 .
↑ كارمايكل (1914) ص 38-39

مراجع

إردوس, بول ; بوميرانس, كارل ; شموتز، اريك (1991). "وظيفة لامدا كارمايكل" . اكتا الحساب . 58 (4): 363-385 . دوى : 10.4064 / أأ-58-4-363-385 . ISSN 0065-1036 . السيد 1121092 . زبل 0734.11047 .
فريدلاندر، جون ب .؛ بوميرانس، كارل؛ شبارلينسكي، إيغور إي. (2001). "دورة مولد الطاقة والقيم الصغيرة لدالة كارمايكل" . رياضيات الحساب . 70 (236): 1591-1605 ، 1803-1806 . doi : 10.1090/s0025-5718-00-01282-5 . ISSN 0025-5718 . MR 1836921. Zbl 1029.11043 .
ساندور، جوزيف؛ كرستيسي، بوريسلاف (2004). دليل نظرية الأعداد II . دوردريخت: كلوير أكاديمي. ص 32 – 36، 193 – 195. ISBN 978-1-4020-2546-4. Zbl 1079.11001 .
كارمايكل، روبرت د. [1914]. نظرية الأعداد في مشروع غوتنبرغ

[1] كارمايكل، روبرت دانيال (1910). "ملاحظة حول دالة جديدة في نظرية الأعداد" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 16 (5): 232-238 . doi : 10.1090/S0002-9904-1910-01892-9 .

[2] كارمايكل (1914) ص 40

[3] كارمايكل (1914) ص 54

[4] كارمايكل (1914) ص 55

[5] كارمايكل (1914) ص 56

[6] النظرية 3 في اردوس (1991)

[HBII194-7] 1 2 ساندور وكريستيسي (2004) ص.194

[8] نظرية 2 في اردوس (1991) 3. النظام العادي. (ص 365)

[9] النظرية 5 في فريدلاندر (2001)

[Theorem_1_in_Erdős_(1991)-10] 1 2 النظرية 1 في إردوس (1991)

[HBII193-11] 1 2 ساندور وكريستيسي (2004) ص.193

[12] فورد، كيفن؛ لوكا، فلوريان؛ بوميرانس، كارل (27 أغسطس 2014). "صورة دالة لامدا لكارمايكل ". الجبر ونظرية الأعداد . 8 (8): 2009-2026 . arXiv : 1408.6506 . doi : 10.2140/ant.2014.8.2009 . S2CID 50397623 .

[13] كارمايكل (1914) ص 38-39

[ 1 ]

2

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[

[

[

[

[

[ 12 ]

13

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗