نظرية الباقي الصينية

لنفترض أن x و y كلاهما حلان لجميع التطابقات. بما أن x و y يعطيان نفس الباقي عند قسمتهما على nᵢ _، فإن الفرق بينهما x − y يكون من مضاعفات كل nᵢ _. وبما أن nᵢ أعداد أولية فيما بينها ، فإن حاصل ضربها _N يقسم x − y أيضًا ، وبالتالي فإن x و y متطابقان بتردد N. إذا افترضنا أن x و y غير سالبين وأقل من N (كما في النص الأول من النظرية)، فإن الفرق بينهما قد يكون من مضاعفات N فقط إذا كان x = y .

الخريطة

${\displaystyle x{\bmod {N}}\mapsto (x{\bmod {n}}_{1},\ldots ,x{\bmod {n}}_{k})}$

تُحوّل هذه الدالة فئات التطابق بتردد N إلى متواليات من فئات التطابق بتردد nᵢ _. يُثبت برهان التفرد أن هذه الدالة أحادية . ولأن مجال هذه الدالة ومجالها المقابل لهما نفس عدد العناصر، فإن الدالة شاملة أيضًا ، مما يُثبت وجود الحل.

هذا البرهان بسيط للغاية، لكنه لا يُقدّم أي طريقة مباشرة لحساب الحل. علاوة على ذلك، لا يمكن تعميمه على حالات أخرى يُمكن تعميم البرهان التالي عليها.

يمكن إثبات الوجود من خلال بناء صريح لـ x . ^{[ 16 ]} يمكن تقسيم هذا البناء إلى خطوتين، أولاً حل المشكلة في حالة وجود معيارين، ثم توسيع هذا الحل إلى الحالة العامة عن طريق الاستقراء على عدد المعايير.

لا يتطلب بناء الحل استخدام الاستقراء الرياضي على عدد المعاملات. مع ذلك، يتطلب هذا البناء المباشر حسابات أكثر تعقيدًا مع الأعداد الكبيرة، مما يجعله أقل كفاءة وأقل استخدامًا. ومع ذلك، يُعدّ استيفاء لاغرانج حالة خاصة من هذا البناء، ويُطبّق على كثيرات الحدود بدلًا من الأعداد الصحيحة.

يترك${\displaystyle N_{i}=N/n_{i}}$يكون ناتج ضرب جميع المعاملات باستثناء معامل واحد. كما هو الحال في${\displaystyle n_{i}}$هي أعداد أولية فيما بينها،${\displaystyle N_{i}}$و${\displaystyle n_{i}}$هي أعداد أولية فيما بينها. وبالتالي تنطبق متطابقة بيزو ، وتوجد أعداد صحيحة.${\displaystyle M_{i}}$و${\displaystyle m_{i}}$بحيث

${\displaystyle M_{i}N_{i}+m_{i}n_{i}=1.}$

حل نظام التطابقات هو

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{k}a_{i}M_{i}N_{i}.}$

في الواقع، كما${\displaystyle N_{j}}$هو مضاعف لـ${\displaystyle n_{i}}$ل${\displaystyle i\neq j,}$ لدينا

${\displaystyle x\equiv a_{i}M_{i}N_{i}\equiv a_{i}(1-m_{i}n_{i})\equiv a_{i}{\pmod {n_{i}}},}$

لكل${\displaystyle i.}$

من السهل التحقق مما إذا كانت قيمة x تمثل حلاً: يكفي حساب باقي قسمة x على كل _عدد صحيح n . وبالتالي، لإيجاد الحل، يكفي التحقق تباعاً من الأعداد الصحيحة من 0 إلى N حتى إيجاد الحل.

على الرغم من بساطتها، إلا أن هذه الطريقة غير فعّالة للغاية. ففي المثال البسيط المذكور هنا، يجب فحص 40 عددًا صحيحًا (بما في ذلك الصفر ) لإيجاد الحل، وهو 39. هذه خوارزمية ذات زمن أسي ، لأن حجم المدخلات، حتى عامل ثابت، يساوي عدد أرقام العدد N ، ومتوسط ​​عدد العمليات من رتبة N.

لذلك، نادراً ما تُستخدم هذه الطريقة، سواء في الحسابات المكتوبة بخط اليد أو على أجهزة الكمبيوتر.

يمكن تسريع عملية البحث عن الحل بشكل كبير باستخدام الغربلة. بالنسبة لهذه الطريقة، نفترض، دون فقدان للعمومية ، أن${\displaystyle 0\leq a_{i}<n_{i}}$(وإلا لكان يكفي استبدال كل${\displaystyle a_{i}}$ببقية تقسيمها بواسطة${\displaystyle n_{i}}$وهذا يعني أن الحل ينتمي إلى المتتابعة الحسابية.

${\displaystyle a_{1},a_{1}+n_{1},a_{1}+2n_{1},\ldots }$

عن طريق اختبار قيم هذه الأرقام بتردد${\displaystyle n_{2},}$يجد المرء في النهاية حلاً${\displaystyle x_{2}}$من بين التطابقين الأولين. إذن، ينتمي الحل إلى المتتابعة الحسابية.

${\displaystyle x_{2},x_{2}+n_{1}n_{2},x_{2}+2n_{1}n_{2},\ldots }$

اختبار قيم هذه الأرقام بتردد${\displaystyle n_{3},}$والاستمرار حتى يتم اختبار كل معامل يؤدي في النهاية إلى الحل.

تكون هذه الطريقة أسرع إذا تم ترتيب المعاملات تنازليًا حسب القيمة، أي إذا${\displaystyle n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}.}$في هذا المثال، نحصل على الحساب التالي. نبدأ بدراسة الأعداد التي تُطابق 4 بتردد 5 (أكبر تردد مطلق)، وهي: 4، 9 = 4 + 5 ، 14 = 9 + 5 ، ... لكل عدد منها، نحسب الباقي مضروبًا في 4 (ثاني أكبر تردد مطلق) حتى نحصل على عدد يُطابق 3 بتردد 4. بعد ذلك، يمكننا المتابعة بإضافة 20 = 5 × 4 في كل خطوة، وحساب البواقي فقط مضروبة في 3. وهذا يُعطي

4 mod 4 → 0. استمر

٤ + ٥ = ٩ mod ٤ → ١. تابع

9 + 5 = 14 mod 4 → 2. تابع

١٤ + ٥ = ١٩ mod ٤ → ٣. حسنًا، تابع بحساب الباقي modulo ٣ وإضافة ٥ × ٤ = ٢٠ في كل مرة

19 mod 3 → 1. تابع

19 + 20 = 39 mod 3 → 0. حسنًا، هذه هي النتيجة.

تُعدّ هذه الطريقة فعّالة للحسابات اليدوية ذات حاصل ضرب المعاملات غير الكبير. إلا أنها أبطأ بكثير من الطرق الأخرى عند حساب حاصل ضرب المعاملات الكبير جدًا. ورغم أنها أسرع بكثير من البحث المنهجي، إلا أن تعقيدها الزمني يتضاعف أُسّيًا ، ولذلك لا تُستخدم على الحواسيب.

يُظهر برهان الوجود البنّاء أنه في حالة وجود معيارين ، يمكن الحصول على الحل عن طريق حساب معاملات بيزو للمعيارين، متبوعًا ببعض عمليات الضرب والجمع والاختزال modulo${\displaystyle n_{1}n_{2}}$(للحصول على نتيجة في الفترة الزمنية)${\displaystyle (0,n_{1}n_{2}-1)}$بما أن معاملات بيزو يمكن حسابها باستخدام خوارزمية إقليدس الموسعة ، فإن الحساب بأكمله، على الأكثر، له تعقيد زمني تربيعي من الدرجة الثانية.${\displaystyle O((s_{1}+s_{2})^{2}),}$أين${\displaystyle s_{i}}$يشير إلى عدد أرقام${\displaystyle n_{i}.}$

بالنسبة لأكثر من معيارين، تسمح طريقة المعيارين باستبدال أي تطابقين بتطابق واحد بتردد حاصل ضرب المعيارين. يؤدي تكرار هذه العملية في النهاية إلى حل ذي تعقيد زمني تربيعي بالنسبة لعدد أرقام حاصل ضرب جميع المعايير. لا يعتمد هذا التعقيد الزمني التربيعي على ترتيب إعادة تجميع المعايير. يمكن إعادة تجميع المعيارين الأولين، ثم إعادة تجميع المعيار الناتج مع المعيار التالي، وهكذا. هذه الاستراتيجية هي الأسهل تطبيقًا، ولكنها تتطلب أيضًا حسابات أكثر تتضمن أعدادًا كبيرة.

تتمثل استراتيجية أخرى في تقسيم المعاملات إلى أزواج يكون ناتج ضربها متقاربًا قدر الإمكان، وتطبيق طريقة المعاملين بالتوازي على كل زوج، ثم التكرار بعدد من المعاملات يُقسم تقريبًا على اثنين. تتيح هذه الطريقة سهولة موازاة الخوارزمية. كذلك، إذا استُخدمت خوارزميات سريعة (أي خوارزميات تعمل في زمن شبه خطي ) للعمليات الأساسية، فإن هذه الطريقة توفر خوارزمية للحساب بأكمله تعمل في زمن شبه خطي.

في المثال الحالي (الذي يحتوي على ثلاثة معاملات فقط)، تكون الاستراتيجيتان متطابقتين وتعملان على النحو التالي.

هوية بيزو للرقمين 3 و 4 هي

${\displaystyle 1\times 4+(-1)\times 3=1.}$

بوضع هذا في الصيغة المعطاة لإثبات الوجود، نحصل على

${\displaystyle 0\times 1\times 4+3\times (-1)\times 3=-9}$

لحل المعادلتين التطابقيتين الأوليين، تُحسب الحلول الأخرى بإضافة أي مضاعف للعدد 3 × 4 = 12 إلى -9 . يمكن الاستمرار باستخدام أي من هذه الحلول، لكن الحل 3 = -9 + 12 أصغر ( بالقيمة المطلقة ) وبالتالي يُرجّح أن يؤدي إلى حساب أسهل.

متطابقة بيزو للعددين 5 و 3 × 4 = 12 هي

${\displaystyle 5\times 5+(-2)\times 12=1.}$

بتطبيق الصيغة نفسها مرة أخرى، نحصل على حل للمشكلة:

${\displaystyle 5\times 5\times 3+12\times (-2)\times 4=-21.}$

أما الحلول الأخرى فتُحصل عليها بإضافة أي مضاعف لـ 3 × 4 × 5 = 60 ، وأصغر حل موجب هو −21 + 60 = 39 .

يمكن إعادة كتابة نظام التطابقات الذي تم حله بواسطة نظرية الباقي الصينية كنظام من المعادلات الديوفانتية الخطية :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}+x_{1}n_{1}\\&\vdots \\x&=a_{k}+x_{k}n_{k},\end{aligned}}}$

حيث تكون الأعداد الصحيحة المجهولة${\displaystyle x}$و${\displaystyle x_{i}.}$لذا، يمكن استخدام أي طريقة عامة لحل هذه الأنظمة لإيجاد حل لنظرية الباقي الصينية، مثل اختزال مصفوفة النظام إلى صيغة سميث أو صيغة هيرميت . مع ذلك، وكما هو معتاد عند استخدام خوارزمية عامة لمسألة أكثر تحديدًا، فإن هذا النهج أقل كفاءة من طريقة القسم السابق، القائمة على الاستخدام المباشر لهوية بيزو .

تُعدّ عملية استيفاء لاغرانج حالة خاصة من نظرية الباقي الصينية لكثيرات الحدود . ولتوضيح ذلك، نعتبر k من كثيرات الحدود أحادية المعامل من الدرجة الأولى:

${\displaystyle P_{i}(X)=X-x_{i}.}$

تكون الأعداد أولية فيما بينها إذا كانت${\displaystyle x_{i}}$جميعها مختلفة. أما باقي التقسيم حسب${\displaystyle P_{i}(X)}$من متعدد الحدود${\displaystyle P(X)}$يكون${\displaystyle P(x_{i})}$، وفقًا لنظرية باقي كثير الحدود .

والآن، لنبدأ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$لتكن ثوابت (كثيرات حدود من الدرجة 0) في${\displaystyle K.}$يؤكد كل من استيفاء لاغرانج ونظرية الباقي الصينية وجود متعددة حدود فريدة${\displaystyle P(X),}$من درجة أقل من${\displaystyle k}$بحيث

${\displaystyle P(x_{i})=A_{i},}$

لكل${\displaystyle i.}$

إن صيغة لاغرانج للاستيفاء هي بالضبط نتيجة بناء الحل المذكور أعلاه في هذه الحالة. بتعبير أدق، لنفترض

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(X)&=\prod _{i=1}^{k}(X-x_{i})\\[6pt]Q_{i}(X)&={\frac {Q(X)}{X-x_{i}}}.\end{aligned}}}$

التحلل الجزئي للكسور لـ${\displaystyle {\frac {1}{Q(X)}}}$يكون

${\displaystyle {\frac {1}{Q(X)}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{Q_{i}(x_{i})(X-x_{i})}}.}$

في الواقع، باختزال الطرف الأيمن إلى قاسم مشترك، نحصل على

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{Q_{i}(x_{i})(X-x_{i})}}={\frac {1}{Q(X)}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {Q_{i}(X)}{Q_{i}(x_{i})}},}$

ويكون البسط مساوياً للواحد، باعتباره متعدد حدود من الدرجة الأقل من${\displaystyle k,}$والتي تأخذ القيمة واحد لـ${\displaystyle k}$قيم مختلفة لـ${\displaystyle X.}$

باستخدام الصيغة العامة المذكورة أعلاه، نحصل على صيغة لاغرانج للاستيفاء:

${\displaystyle P(X)=\sum _{i=1}^{k}A_{i}{\frac {Q_{i}(X)}{Q_{i}(x_{i})}}.}$

الاستيفاء الهيرميتي هو تطبيق لنظرية الباقي الصينية لكثيرات الحدود أحادية المتغير، والتي قد تتضمن معاملات من درجات عشوائية (استيفاء لاغرانج يتضمن فقط معاملات من الدرجة الأولى).

تتمثل المشكلة في إيجاد متعددة حدود بأقل درجة ممكنة، بحيث تأخذ متعددة الحدود ومشتقاتها الأولى قيمًا معينة عند بعض النقاط الثابتة.

بتعبير أدق، دع${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$يكون${\displaystyle k}$عناصر المجال الأرضي${\displaystyle K,}$و، لـ${\displaystyle i=1,\ldots ,k,}$يترك${\displaystyle a_{i,0},a_{i,1},\ldots ,a_{i,r_{i}-1}}$لتكن قيم الأول${\displaystyle r_{i}}$مشتقات متعددة الحدود المطلوبة عند${\displaystyle x_{i}}$(بما في ذلك المشتقة الصفرية، وهي قيمة متعددة الحدود نفسها). تكمن المشكلة في إيجاد متعددة حدود${\displaystyle P(X)}$بحيث تأخذ مشتقتها من الرتبة j القيمة${\displaystyle a_{i,j}}$في${\displaystyle x_{i},}$ل${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$و${\displaystyle j=0,\ldots ,r_{j}.}$

لنفترض متعددة الحدود

${\displaystyle P_{i}(X)=\sum _{j=0}^{r_{i}-1}{\frac {a_{i,j}}{j!}}(X-x_{i})^{j}.}$

هذه هي متعددة حدود تايلور من الرتبة${\displaystyle r_{i}-1}$في${\displaystyle x_{i}}$، من متعدد الحدود المجهول${\displaystyle P(X).}$لذلك، يجب أن يكون لدينا

${\displaystyle P(X)\equiv P_{i}(X){\pmod {(X-x_{i})^{r_{i}}}}.}$

وعلى العكس من ذلك ، فإن أي متعددة حدود${\displaystyle P(X)}$الذي يفي بهذه المتطلبات${\displaystyle k}$التطابقات، على وجه الخصوص، تتحقق من أي${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$

${\displaystyle P(X)=P_{i}(X)+o(X-x_{i})^{r_{i}-1}}$

لذلك${\displaystyle P_{i}(X)}$هي متعددة حدود تايلور من الدرجة${\displaystyle r_{i}-1}$في${\displaystyle x_{i}}$، إنه،${\displaystyle P(X)}$يحل هذا الحل مشكلة استيفاء هيرميت الأولية. وتنص نظرية الباقي الصينية على أنه يوجد متعدد حدود واحد فقط من درجة أقل من مجموع${\displaystyle r_{i},}$وهو ما يفي بهذه الشروط${\displaystyle k}$التطابقات.

توجد عدة طرق لحساب الحل${\displaystyle P(X).}$يمكن استخدام الطريقة الموضحة في بداية القسم §  حول حلقات كثيرات الحدود أحادية المتغير والمجالات الإقليدية . كما يمكن استخدام الإنشاءات الواردة في القسم §  الوجود (البرهان البنائي) أو القسم §  الوجود (البرهان المباشر) .

يترك${\displaystyle I_{1},I_{2},\dots ,I_{k}}$لتكن مثاليات ثنائية الجانب أولية فيما بينها${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{k}I_{i}=0,}$و

${\displaystyle \varphi :R\to (R/I_{1})\times \cdots \times (R/I_{k})}$

ليكن التشاكل المعرف أعلاه.${\displaystyle f_{i}=(0,\ldots ,1,\ldots ,0)}$كن عنصرًا من${\displaystyle (R/I_{1})\times \cdots \times (R/I_{k})}$جميع مكوناتها تساوي صفرًا باستثناء المكون رقم i الذي يساوي واحدًا ، و${\displaystyle e_{i}=\varphi ^{-1}(f_{i}).}$

ال${\displaystyle e_{i}}$هي عناصر مركزية متساوية القوة ومتعامدة ثنائياً ؛ وهذا يعني، على وجه الخصوص، أن${\displaystyle e_{i}^{2}=e_{i}}$و${\displaystyle e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}=0}$لكل i و j . علاوة على ذلك، يكون لدى المرء${\textstyle e_{1}+\cdots +e_{n}=1,}$و${\displaystyle I_{i}=R(1-e_{i}).}$

^{باختصار، فإن} نظرية الباقي الصينية المعممة هذه هي التكافؤ بين إعطاء مثاليات ثنائية الجانب أولية فيما بينها مع تقاطع صفري، وإعطاء عناصر متساوية القوة مركزية ومتعامدة ثنائياً مجموعها يساوي 1. ^[ 20 ^]

تم استخدام نظرية الباقي الصينية لإنشاء ترقيم غودل للتسلسلات ، وهو أمر متضمن في إثبات نظريات عدم اكتمال غودل .

تستخدم خوارزمية تحويل فورييه السريع للعوامل الأولية ( وتسمى أيضًا خوارزمية جود-توماس) نظرية الباقي الصينية لتقليل حساب تحويل فورييه السريع ذي الحجم${\displaystyle n_{1}n_{2}}$لحساب تحويلين سريعين لفورييه بأحجام أصغر${\displaystyle n_{1}}$و${\displaystyle n_{2}}$(شريطة أن${\displaystyle n_{1}}$و${\displaystyle n_{2}}$(أعداد أولية فيما بينها).

تستخدم معظم تطبيقات RSA نظرية الباقي الصينية أثناء توقيع شهادات HTTPS وأثناء فك التشفير.

يمكن استخدام نظرية الباقي الصينية في مشاركة الأسرار ، والتي تقوم على توزيع مجموعة من الحصص بين مجموعة من الأشخاص الذين يمكنهم، مجتمعين (دون أن يتمكن أي منهم بمفرده)، استعادة سر معين من هذه الحصص. تُمثَّل كل حصة بتطابق، وحل نظام التطابقات باستخدام نظرية الباقي الصينية هو السر المراد استعادته. تستخدم مشاركة الأسرار باستخدام نظرية الباقي الصينية ، إلى جانب هذه النظرية، متواليات خاصة من الأعداد الصحيحة تضمن استحالة استعادة السر من مجموعة حصص ذات عدد عناصر أقل من حد معين .

يمكن اعتبار تقنيات حل غموض المدى المستخدمة مع رادار التردد النبضي المتوسط ​​حالة خاصة من نظرية الباقي الصينية.

بالنظر إلى دالة شاملة${\displaystyle \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m}$بالنسبة للمجموعات الأبيلية المنتهية ، يمكننا استخدام نظرية الباقي الصينية لتقديم وصف كامل لأي تطبيق من هذا القبيل. أولاً وقبل كل شيء، تعطي النظرية التشاكلات

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Z} /n&\cong \mathbb {Z} /p_{n_{1}}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{n_{i}}^{a_{i}}\\\mathbb {Z} /m&\cong \mathbb {Z} /p_{m_{1}}^{b_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{m_{j}}^{b_{j}}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \{p_{m_{1}},\ldots ,p_{m_{j}}\}\subseteq \{p_{n_{1}},\ldots ,p_{n_{i}}\}}$بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة لأي خريطة مستحثة

${\displaystyle \mathbb {Z} /p_{n_{k}}^{a_{k}}\to \mathbb {Z} /p_{m_{l}}^{b_{l}}}$

انطلاقاً من عملية الإسقاط الشاملة الأصلية، لدينا${\displaystyle a_{k}\geq b_{l}}$و${\displaystyle p_{n_{k}}=p_{m_{l}},}$لأن بالنسبة لزوج من الأعداد الأولية${\displaystyle p,q}$، وهي التطبيقات الشاملة الوحيدة غير الصفرية

${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{a}\to \mathbb {Z} /q^{b}}$

يمكن تعريفها إذا${\displaystyle p=q}$و${\displaystyle a\geq b}$.

تعتبر هذه الملاحظات محورية لبناء حلقة الأعداد الصحيحة المنتهية ، والتي تُعطى كحد عكسي لجميع هذه التطبيقات.

نظرية ديديكيند حول الاستقلال الخطي للخصائص. ليكن M أحاديًا و k مجالًا تكامليًا ، يُنظر إليه كأحادي من خلال دراسة عملية الضرب على k . عندئذٍ ، _تكون أي عائلة منتهية ( fᵢ ₎ ᵢ _{∈ I} من تشاكلات الأحاديات المتميزة fᵢ : M → k مستقلة خطيًا . بعبارة أخرى، كل عائلة ( αᵢ ) _{ᵢ ∈ I من} العناصر αᵢ _∈ k التي _تحقق    

${\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha _{i}f_{i}=0}$

يجب أن يكون مساوياً للعائلة ( 0) _{i ∈ I.}

البرهان. لنفترض أولًا أن k حقل ، وإلا ، نستبدل المجال التكاملي k بحقل خارج القسمة الخاص به ، ولن يتغير شيء. يمكننا تمديد تشاكلات المونويد fᵢ _: M → k خطيًا إلى تشاكلات جبر k- ، Fᵢ : _k [ M ] → k ، حيث k [ M ] هي حلقة المونويد لـ M على k . عندئذٍ، وبسبب الخطية، يتحقق الشرط   

${\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha _{i}f_{i}=0,}$

العائد

${\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha _{i}F_{i}=0.}$

بعد ذلك، بالنسبة لـ i و j ∈ I ؛ i ≠ j، فإن الدالتين الخطيتين من الرتبة k ، وهما F _i  : k [ M ] → k و F _j  : k [ M ] → k، ليستا متناسبتين. وإلا لكانت f _i و f _j متناسبتين أيضًا، وبالتالي متساويتين، لأنهما، بوصفهما تشاكلات أحادية، تحققان الشرط: f _i (1) = 1 = f _j (1) ، وهو ما يناقض فرضية أنهما مختلفتان.      

لذلك، فإن النواتين Ker F _i و Ker F _j متميزتان. وبما أن k [ M ]/Ker F _i ≅ F _i ( k [ M ]) = k حقل، فإن Ker F _i مثالي أعظمي في k [ M ] لكل i في I. ولأنهما متميزتان وأعظميتان، فإن المثاليتين Ker F _i و Ker F _j أوليتان فيما بينهما عندما i ≠ j . وتعطينا نظرية الباقي الصينية (للحلقات العامة) تماثلاً.

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi :k[M]/K&\to \prod _{i\in I}k[M]/\mathrm {Ker} F_{i}\\\phi (x+K)&=\left(x+\mathrm {Ker} F_{i}\right)_{i\in I}\end{aligned}}}$

أين

${\displaystyle K=\prod _{i\in I}\mathrm {Ker} F_{i}=\bigcap _{i\in I}\mathrm {Ker} F_{i}.}$

وبالتالي، الخريطة

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi :k[M]&\to \prod _{i\in I}k[M]/\mathrm {Ker} F_{i}\\\Phi (x)&=\left(x+\mathrm {Ker} F_{i}\right)_{i\in I}\end{aligned}}}$

هي دالة شاملة. في ظل التشاكلات k [ M ]/Ker Fi → Fi ( _k [ M ]) = k ، _فإن التطبيق Φ يتوافق مع :

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi :k[M]&\to \prod _{i\in I}k\\\psi (x)&=\left[F_{i}(x)\right]_{i\in I}\end{aligned}}}$

الآن،

${\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha _{i}F_{i}=0}$

العائد

${\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha _{i}u_{i}=0}$

لكل متجه ( uᵢ _{) ᵢ ∈ I} في صورة التطبيق ψ . بما أن ψ تطبيق شامل، فهذا يعني أن

${\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha _{i}u_{i}=0}$

لكل متجه

${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}k.}$

وبالتالي، فإن ( α _i ) _{i ∈ I} = (0) _{i ∈ I} . QED.