المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد n

في الحساب النمطي ، الأعداد الصحيحة الأولية نسبياً (الأعداد الأولية فيما بينها) مع n من المجموعة $\{0,1,\dots ,n-1\}$ تشكل n من الأعداد الصحيحة غير السالبة زمرةً تحت الضرب بتردد n ، تُسمى الزمرة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد n . ويمكن اعتبار عناصر هذه الزمرة، بصورة مكافئة، فئات التطابق ، المعروفة أيضًا بالبواقي بتردد n ، والتي تكون أولية فيما بينها مع n . لذا، يُطلق عليها أيضًا اسم زمرة فئات البواقي الأولية بتردد n . في نظرية الحلقات ، وهي فرع من الجبر المجرد ، تُوصف هذه الزمرة بأنها زمرة الوحدات في حلقة الأعداد الصحيحة بتردد n . وتشير الوحدات هنا إلى العناصر التي لها معكوس ضربي ، وهي في هذه الحلقة تحديدًا العناصر الأولية فيما بينها مع n .

هذه المجموعة، التي يُشار إليها عادةً بـ $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ يُعدّ هذا المفهوم أساسيًا في نظرية الأعداد . ويُستخدم في التشفير ، وتحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية ، واختبار أولية الأعداد . وهو عبارة عن زمرة تبديلية منتهية ، ويُحدد ترتيبها بواسطة دالة أويلر . $|(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n).$ بالنسبة للعدد الأولي n تكون المجموعة دورية ، وبشكل عام يكون من السهل وصف البنية، ولكن لا توجد صيغة عامة بسيطة لإيجاد المولدات معروفة.

بديهيات المجموعة

من السهل إثبات أنه في ظل الضرب، فإن مجموعة فئات التطابق modulo n التي تكون أولية نسبياً مع n تحقق بديهيات المجموعة الأبيلية .

في الواقع، يكون العدد a أوليًا نسبيًا مع n إذا وفقط إذا كان القاسم المشترك الأكبر ( a , n ) يساوي 1. الأعداد الصحيحة في نفس فئة التطابق a ≡ b (mod n ) تحقق الشرط gcd( a , n ) = gcd( b , n ) ؛ وبالتالي يكون أحدهما أوليًا نسبيًا مع n إذا وفقط إذا كان الآخر كذلك. إذن، مفهوم فئات التطابق modulo n التي تكون أولية نسبيًا مع n مُعرَّف جيدًا.

بما أن القاسم المشترك الأكبر ( أ ، ن ) = 1 والقاسم المشترك الأكبر ( ب ، ن ) = 1 يستلزم القاسم المشترك الأكبر ( أب ، ن ) = 1 ، فإن مجموعة الفئات الأولية نسبياً مع ن مغلقة تحت الضرب.

يحترم ضرب الأعداد الصحيحة فئات التطابق؛ أي أن a ≡ a' و b ≡ b' (mod n ) يستلزم ab ≡ a'b' (mod n ) . وهذا يعني أن عملية الضرب تجميعية وتبديلية، وأن فئة العدد 1 هي العنصر المحايد الوحيد في الضرب.

أخيرًا، إذا كان لدينا عدد a ، فإن المعكوس الضربي لـ a بتردد n هو عدد صحيح x يحقق ax ≡ 1 (mod n ) . يوجد هذا المعكوس تحديدًا عندما يكون a أوليًا نسبيًا مع n ، لأنه في هذه الحالة يكون القاسم المشترك الأكبر لـ a و n يساوي 1 ، وبحسب مبرهنة بيزو، يوجد عددان صحيحان x و y يحققان ax + ny = 1. لاحظ أن المعادلة ax + ny = 1 تعني أن x أولي نسبيًا مع n ، لذا فإن المعكوس الضربي ينتمي إلى المجموعة. يمكن إيجاد مثال لحساب x في مقال "المعكوس الضربي النمطي" .

الترميز

مجموعة (فئات التطابق) للأعداد الصحيحة بتردد n مع عمليتي الجمع والضرب هي حلقة . ويرمز لها بـ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ أو $\mathbb {Z} /(n)$ (يشير هذا الرمز إلى حساب خارج قسمة الأعداد الصحيحة على المثالي) $n\mathbb {Z}$ أو $(n)$ يتكون من مضاعفات العدد ن ). خارج نطاق نظرية الأعداد، يُستخدم الترميز الأبسط. $\mathbb {Z} _{n}$ غالباً ما يتم استخدامها، على الرغم من أنه يمكن الخلط بينها وبين الأعداد الصحيحة $p$ -adic عندما يكون n عددًا أوليًا.

يمكن كتابة المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة modulo n ، وهي مجموعة الوحدات في هذه الحلقة، على النحو التالي (بحسب المؤلف). $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },$ $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},$ $\mathrm {U} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ),$ $\mathrm {E} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ (بالنسبة للكلمة الألمانية Einheit ، والتي تُترجم إلى وحدة )، $\mathbb {Z} _{n}^{*}$ أو رموز مشابهة. تستخدم هذه المقالة $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }.$

الترميز $\mathrm {C} _{n}$ يشير إلى المجموعة الدورية من الرتبة n . وهي متماثلة مع مجموعة الأعداد الصحيحة بتردد n تحت عملية الجمع. لاحظ أن $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ أو $\mathbb {Z} _{n}$ قد تشير أيضًا إلى المجموعة التي تخضع لعملية الجمع. على سبيل المثال، المجموعة الضربية $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }$ بالنسبة لعدد أولي p ، تكون المجموعة دورية وبالتالي متماثلة مع المجموعة الجمعية. $\mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z}$ لكن التماثل ليس واضحاً.

بناء

رتبة المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد n هي عدد الأعداد الصحيحة في $\{0,1,\dots ,n-1\}$ أولي نسبيًا مع n . ويُعطى بواسطة دالة أويلر : $|(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n)$ (التسلسل A000010 في OEIS ) . بالنسبة للعدد الأولي p ، $\varphi (p)=p-1$ .

حالة دورية

المجموعة $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ تكون المجموعة دورية إذا وفقط إذا كانت قيمة n تساوي 1 أو 2 أو 4 أو p ^k أو 2 p ^k ، حيث p عدد أولي فردي و k > 0. أما بالنسبة لجميع قيم n الأخرى، فإن المجموعة ليست دورية. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} وقد أثبت غاوس ذلك لأول مرة . ^{[ 4 ]}

هذا يعني أنه بالنسبة لهذه القيم n :

(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{\varphi (n)},

أين

\varphi (p^{k})=\varphi (2p^{k})=p^{k}-p^{k-1}.

بحسب التعريف، تكون المجموعة دورية إذا وفقط إذا كان لها مولد g ؛ أي القوى $g^{0},g^{1},g^{2},\dots ,$ أعطِ جميع البقايا الممكنة modulo n أولية نسبياً مع n (الأولى) $\varphi (n)$ قوى $g^{0},\dots ,g^{\varphi (n)-1}$ (أعطِ كل واحد مرة واحدة بالضبط). مولد لـ $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ يُطلق عليه جذر أولي modulo n . ^{[ 5 ]} إذا كان هناك أي مولد، فإنه يوجد $\varphi (\varphi (n))$ منهم.

قوى العدد 2

بتردد 1، يكون أي عددين صحيحين متطابقين، أي أن هناك فئة تطابق واحدة فقط، [0]، وهي عدد أولي نسبيًا مع 1. لذلك، $(\mathbb {Z} /1\,\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{1}$ هي المجموعة التافهة التي تحتوي على عنصر واحد فقط في φ(1) . ونظرًا لطبيعتها التافهة، يتم تجاهل حالة التطابقات بتردد 1 بشكل عام، ويختار بعض المؤلفين عدم تضمين حالة n = 1 في نصوص النظريات.

بتردد 2، توجد فئة تطابق أولية واحدة فقط، [1]، لذلك $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{1}$ هي المجموعة التافهة .

بتردد 4، توجد فئتان من فئات التطابق الأولي فيما بينهما، [1] و[3]، لذلك $(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2},$ المجموعة الحلقية المكونة من عنصرين.

بتردد 8، توجد أربع فئات تطابق أولية فيما بينها، وهي [1] و[3] و[5] و[7]. مربع كل منها يساوي 1، لذا $(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},$ مجموعة كلاين الرباعية .

Modulo 16 هناك ثمانية فئات تطابق أولية [1]، [3]، [5]، [7]، [9]، [11]، [13] و[15]. $\{\pm 1,\pm 7\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},$ هي المجموعة الفرعية ذات الالتواء من الرتبة 2 (أي أن مربع كل عنصر يساوي 1)، لذا $(\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }$ ليست دورية. قوى العدد 3، $\{1,3,9,11\}$ هي مجموعة فرعية من الرتبة 4، وكذلك قوى العدد 5. $\{1,5,9,13\}.$ هكذا $(\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{4}.$

ينطبق النمط الموضح في 8 و 16 ^{[ 6 ]} على القوى الأعلى 2k ^، k > 2 : $\{\pm 1,2^{k-1}\pm 1\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},$ هي المجموعة الفرعية ذات الالتواء الثنائي، لذا $(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }$ لا يمكن أن تكون دورية، وقوى العدد 3 هي مجموعة فرعية دورية من الرتبة 2k ⁻^{2 ،} لذا:

$(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2^{k-2}}.$

الأعداد المركبة العامة

بحسب النظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية المنتهية ، فإن المجموعة $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ متماثل مع حاصل الضرب المباشر للمجموعات الدورية ذات رتب القوى الأولية.

وبشكل أكثر تحديدًا، تنص نظرية الباقي الصينية ^{[ 7 ]} على أنه إذا $\;\;n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}\dots ,\;$ ثم الخاتم $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ هو الناتج المباشر للحلقات المقابلة لكل عامل من عوامل قوته الأولية:

\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} \dots \;\;

وبالمثل، مجموعة الوحدات $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ هو الناتج المباشر للمجموعات المقابلة لكل عامل من عوامل القوة الأولية:

(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.

لكل قوة عددية أولية فردية $p^{k}$ العامل المقابل $(\mathbb {Z} /{p^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }$ هي المجموعة الدورية من الرتبة $\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}$ ، وهو ما قد يُسهم أيضًا في تكوين مجموعات دورية من رتب قوى الأعداد الأولية. بالنسبة لقوى العدد 2، يكون العامل $(\mathbb {Z} /{2^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }$ لا تكون دورية إلا إذا كانت k = 0 أو 1 أو 2، ولكنها تتحلل إلى مجموعات دورية كما هو موضح أعلاه.

ترتيب المجموعة $\varphi (n)$ هو حاصل ضرب رتب الزمر الدورية في الضرب المباشر. يُعطى أس الزمرة ، أي المضاعف المشترك الأصغر لرتب الزمر الدورية، بواسطة دالة كارمايكل. $\lambda (n)$ (التسلسل A002322 في OEIS ) . بعبارة أخرى، $\lambda (n)$ هو أصغر عدد بحيث يكون لكل عدد عدد أولي نسبيًا مع n ، $a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$ يمسك. يقسم $\varphi (n)$ ويكون مساوياً لها إذا وفقط إذا كانت المجموعة دورية.

مجموعة فرعية من شهود الزور

إذا كان n عددًا مركبًا، فإنه يوجد زمرة جزئية فعلية محتملة من $\mathbb {Z} _{n}^{\times }$ ، والتي تُسمى "مجموعة الشهود الزور"، وتضم حلول المعادلة $x^{n-1}=1$ ، وهي العناصر التي، إذا رُفعت إلى القوة n − 1 ، تُطابق 1 بتردد n . ^{[ 8 ]} تنص نظرية فيرما الصغرى على أنه بالنسبة لـ n = p عدد أولي، تتكون هذه المجموعة من جميع $x\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }$ وبالتالي، بالنسبة لعدد مركب n ، فإن هذه البواقي x تُعتبر "إيجابيات خاطئة" أو "شهادات خاطئة" على أولية n . يُستخدم العدد x = 2 في أغلب الأحيان في هذا الفحص الأساسي لأولية العدد، ويُعدّ n = 341 = 11 × 31 جديرًا بالملاحظة لأن $2^{341-1}\equiv 1\mod 341$ ، و n = 341 هو أصغر عدد مركب يكون فيه x = 2 شاهدًا خاطئًا على أولية العدد. في الواقع، تحتوي المجموعة الفرعية للشهود الخاطئين للعدد 341 على 100 عنصر، وفهرسها 3 داخل المجموعة المكونة من 300 عنصر. $\mathbb {Z} _{341}^{\times }$ .

أمثلة

ن = 9

أصغر مثال يحتوي على مجموعة فرعية غير تافهة من الشهود الزائفين هو 9 = 3 × 3. يوجد 6 بواقي أولية فيما بينها مع 9: 1، 2، 4، 5، 7، 8. بما أن 8 يطابق -1 بتردد 9 ، فإنه يترتب على ذلك أن 8 ^يطابق 1 بتردد 9. إذن، 1 و8 هما نتيجتان إيجابيتان خاطئتان لـ "أولية" 9 (لأن 9 ليس عددًا أوليًا في الواقع). وهما في الحقيقة الوحيدان، لذا فإن المجموعة الفرعية {1، 8} هي مجموعة الشهود الزائفين. تُظهر الحجة نفسها أن n - 1 هو "شاهد زائف" لأي عدد فردي مركب n .

ن = 91

بالنسبة لـ n = 91 (= 7 × 13)، يوجد $\varphi (91)=72$ إذا كانت البواقي أولية نسبياً مع 91، فإن نصفها (أي 36 منها) هي شهود كاذبة على 91، وهي 1، 3، 4، 9، 10، 12، 16، 17، 22، 23، 25، 27، 29، 30، 36، 38، 40، 43، 48، 51، 53، 55، 61، 62، 64، 66، 68، 69، 74، 75، 79، 81، 82، 87، 88، و90، لأنه بالنسبة لهذه القيم من x ، فإن x ⁹⁰ متطابق مع 1 mod 91.

ن = 561

العدد n = 561 (= 3 × 11 × 17) هو عدد كارمايكل ، وبالتالي فإن s ⁵⁶⁰ يطابق 1 بتردد 561 لأي عدد صحيح s أولي نسبيًا مع 561. المجموعة الفرعية للشهود الزائفين، في هذه الحالة، ليست مجموعة فعلية؛ إنها المجموعة الكاملة للوحدات الضربية بتردد 561، والتي تتكون من 320 باقيًا.

أمثلة

يوضح هذا الجدول التحلل الدوري لـ $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ ومجموعة مولدة لـ n ≤ 128. مجموعات التفكيك والتوليد ليست فريدة؛ على سبيل المثال،

$\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbb {Z} /35\mathbb {Z} )^{\times }&\cong (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /7\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{6}\cong \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{3}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{12}\cong (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /13\mathbb {Z} )^{\times }\\&\cong (\mathbb {Z} /52\mathbb {Z} )^{\times }\end{aligned}}$

(لكن $\not \cong \mathrm {C} _{24}\cong \mathrm {C} _{8}\times \mathrm {C} _{3}$ يُبيّن الجدول أدناه أقصر تفكيك (من بينها، يُختار التفكيك الأول معجميًا - وهذا يضمن إدراج المجموعات المتماثلة بنفس التفكيكات). كما تُختار المجموعة المولدة لتكون أقصر ما يمكن، وبالنسبة لـ n ذات الجذر الأولي، يُدرج أصغر جذر أولي بتردد n .

على سبيل المثال، خذ $(\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }$ . ثم $\varphi (20)=8$ وهذا يعني أن رتبة المجموعة هي 8 (أي أن هناك 8 أعداد أقل من 20 وأعداد أولية فيما بينها)؛ $\lambda (20)=4$ يعني ذلك أن رتبة كل عنصر تقسم 4؛ أي أن القوة الرابعة لأي عدد أولي نسبيًا مع 20 تساوي 1 (mod 20). المجموعة {3، 19} تولد الزمرة، مما يعني أن كل عنصر من عناصرها يقسم 4. $(\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }$ وهي من الشكل 3 ^أ × 19 ^ب (حيث أ هي 0 أو 1 أو 2 أو 3، لأن العنصر 3 له رتبة 4، وبالمثل ب هي 0 أو 1، لأن العنصر 19 له رتبة 2).

أصغر جذر بدائي modulo n هو (0 إذا لم يكن هناك جذر)

0, 1, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 3, 5, 2, 0, 0, 7, 5, 0, 2, 7, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 3, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 6, 0, 3, 0, 0, 5, 5, 0, 3, 3, 0, 0, 2, 5, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 7, 0, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 2, 7, 2، 0، 0، 3، 0، 0، 3، 0، ... (التسلسل A046145 في OEIS )

أعداد العناصر في مجموعة توليد دنيا modulo n هي

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1، 3، 2، 1، 2، 3، 1، 2، ... (التسلسل A046072 في OEIS )

الهيكل الجماعي لـ $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$
$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	مجموعة مولدة	$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	مجموعة مولدة	$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	مجموعة مولدة	$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	مجموعة مولدة
1	ج ₁	1	1	0	33	C ₂ × C ₁₀	20	10	2، 10	65	C ₄ × C ₁₂	48	12	2، 12	97	ج ₉₆	96	96	5
2	ج ₁	1	1	1	34	ج ₁₆	16	16	3	66	C ₂ × C ₁₀	20	10	5، 7	98	ج ₄₂	42	42	3
3	ج ₂	2	2	2	35	C ₂ × C ₁₂	24	12	2، 6	67	ج ₆₆	66	66	2	99	C ₂ × C ₃₀	60	30	2، 5
4	ج ₂	2	2	3	36	C ₂ × C ₆	12	6	5، 19	68	C ₂ × C ₁₆	32	16	3,67	100	C ₂ × C ₂₀	40	20	3.99
5	ج ₄	4	4	2	37	ج ₃₆	36	36	2	69	C ₂ × C ₂₂	44	22	2,68	101	C ₁₀₀	100	100	2
6	ج ₂	2	2	5	38	ج ₁₈	18	18	3	70	C ₂ × C ₁₂	24	12	3,69	102	C ₂ × C ₁₆	32	16	5101
7	ج ₆	6	6	3	39	C ₂ × C ₁₂	24	12	2,38	71	ج ₇₀	70	70	7	103	C ₁₀₂	102	102	5
8	C ₂ × C ₂	4	2	3، 5	40	C ₂ × C ₂ × C ₄	16	4	3، 11، 39	72	C ₂ × C ₂ × C ₆	24	6	5، 17، 19	104	C ₂ × C ₂ × C ₁₂	48	12	3، 5، 103
9	ج ₆	6	6	2	41	ج ₄₀	40	40	6	73	ج ₇₂	72	72	5	105	C ₂ × C ₂ × C ₁₂	48	12	2، 29، 41
10	ج ₄	4	4	3	42	C ₂ × C ₆	12	6	5، 13	74	ج ₃₆	36	36	5	106	ج ₅₂	52	52	3
11	ج ₁₀	10	10	2	43	ج ₄₂	42	42	3	75	C ₂ × C ₂₀	40	20	2,74	107	C ₁₀₆	106	106	2
12	C ₂ × C ₂	4	2	5، 7	44	C ₂ × C ₁₀	20	10	3,43	76	C ₂ × C ₁₈	36	18	3، 37	108	C ₂ × C ₁₈	36	18	5107
13	ج ₁₂	12	12	2	45	C ₂ × C ₁₂	24	12	2,44	77	C ₂ × C ₃₀	60	30	2,76	109	ج ₁₀₈	108	108	6
14	ج ₆	6	6	3	46	ج ₂₂	22	22	5	78	C ₂ × C ₁₂	24	12	5، 7	110	C ₂ × C ₂₀	40	20	3109
15	C ₂ × C ₄	8	4	2، 14	47	ج ₄₆	46	46	5	79	ج ₇₈	78	78	3	111	C ₂ × C ₃₆	72	36	2110
16	C ₂ × C ₄	8	4	3، 15	48	C ₂ × C ₂ × C ₄	16	4	5، 7، 47	80	C ₂ × C ₄ × C ₄	32	4	3، 7، 79	112	C ₂ × C ₂ × C ₁₂	48	12	3، 5، 111
17	ج ₁₆	16	16	3	49	ج ₄₂	42	42	3	81	ج ₅₄	54	54	2	113	ج ₁₁₂	112	112	3
18	ج ₆	6	6	5	50	ج ₂₀	20	20	3	82	ج ₄₀	40	40	7	114	C ₂ × C ₁₈	36	18	5,37
19	ج ₁₈	18	18	2	51	C ₂ × C ₁₆	32	16	5,50	83	ج ₈₂	82	82	2	115	C ₂ × C ₄₄	88	44	2114
20	C ₂ × C ₄	8	4	3، 19	52	C ₂ × C ₁₂	24	12	7,51	84	C ₂ × C ₂ × C ₆	24	6	5، 11، 13	116	C ₂ × C ₂₈	56	28	3115
21	C ₂ × C ₆	12	6	2, 20	53	ج ₅₂	52	52	2	85	C ₄ × C ₁₆	64	16	2، 3	117	C ₆ × C ₁₂	72	12	2، 17
22	ج ₁₀	10	10	7	54	ج ₁₈	18	18	5	86	ج ₄₂	42	42	3	118	ج ₅₈	58	58	11
23	ج ₂₂	22	22	5	55	C ₂ × C ₂₀	40	20	2، 21	87	C ₂ × C ₂₈	56	28	2,86	119	C ₂ × C ₄₈	96	48	3118
24	C ₂ × C ₂ × C ₂	8	2	5، 7، 13	56	C ₂ × C ₂ × C ₆	24	6	3، 13، 29	88	C ₂ × C ₂ × C ₁₀	40	10	3، 5، 7	120	C ₂ × C ₂ × C ₂ × C ₄	32	4	7، 11، 19، 29
25	ج ₂₀	20	20	2	57	C ₂ × C ₁₈	36	18	2, 20	89	ج ₈₈	88	88	3	121	C ₁₁₀	110	110	2
26	ج ₁₂	12	12	7	58	ج ₂₈	28	28	3	90	C ₂ × C ₁₂	24	12	7، 11	122	ج ₆₀	60	60	7
27	ج ₁₈	18	18	2	59	ج ₅₈	58	58	2	91	C ₆ × C ₁₂	72	12	2، 3	123	C ₂ × C ₄₀	80	40	7، 83
28	C ₂ × C ₆	12	6	3، 13	60	C ₂ × C ₂ × C ₄	16	4	7، 11، 19	92	C ₂ × C ₂₂	44	22	3,91	124	C ₂ × C ₃₀	60	30	3,61
29	ج ₂₈	28	28	2	61	ج ₆₀	60	60	2	93	C ₂ × C ₃₀	60	30	11، 61	125	C ₁₀₀	100	100	2
30	C ₂ × C ₄	8	4	7، 11	62	ج ₃₀	30	30	3	94	ج ₄₆	46	46	5	126	C ₆ × C ₆	36	6	5، 13
31	ج ₃₀	30	30	3	63	C ₆ × C ₆	36	6	2، 5	95	C ₂ × C ₃₆	72	36	2,94	127	ج ₁₂₆	126	126	3
32	C ₂ × C ₈	16	8	3، 31	64	C ₂ × C ₁₆	32	16	3,63	96	C ₂ × C ₂ × C ₈	32	8	5، 17، 31	128	C ₂ × C ₃₂	64	32	3127

انظر أيضاً

ملحوظات

^ وايسشتاين ، إريك دبليو. “مجموعة الضرب Modulo” . عالم الرياضيات .
↑ "الجذر الأولي - موسوعة الرياضيات" . encyclopediaofmath.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-07-06 .
↑ فينوغرادوف 2003 ، الصفحات 105-121، الفصل السادس: الجذور البدائية والفهارس
↑ جاوس 1986 ، المواد 52-56، 82-891.
↑ فينوغرادوف 2003 ، ص 106.
↑ جاوس 1986 ، المواد 90-91.
↑ يغطي ريزل كل هذا. ريزل 1994 ، الصفحات 267-275 .
↑ إردوش، بول ؛ بوميرانس، كارل (1986). "حول عدد الشهود الزائفين لعدد مركب" . رياضيات الحساب . 46 (173): 259-279 . doi : 10.1090/s0025-5718-1986-0815848-x . Zbl 0586.10003 .

مراجع

تُرجمت كتاب "Disquisitiones Arithmeticae" من اللاتينية الشيشرونية لغوس إلى الإنجليزية والألمانية . وتشمل النسخة الألمانية جميع أبحاثه في نظرية الأعداد: جميع براهين التبادلية التربيعية ، وتحديد إشارة مجموع غاوس ، والبحوث المتعلقة بالتبادلية التربيعية الثنائية ، وملاحظات غير منشورة.

غاوس، كارل فريدريش (1986)، Disquisitiones Arithmeticae (الترجمة الإنجليزية، الطبعة الثانية المصححة) ، ترجمة كلارك، آرثر أ.، نيويورك: سبرينغر ، ISBN 978-0-387-96254-2
غاوس، كارل فريدريش (1965)، دراسات في الحساب العالي (Disquisitiones Arithemeticae وأوراق أخرى في نظرية الأعداد) (ترجمة ألمانية، الطبعة الثانية) ، ترجمة ماسر، هـ.، نيويورك: تشيلسي، ISBN 978-0-8284-0191-3
ريزل، هانز (1994)، الأعداد الأولية وطرق الحاسوب للتحليل إلى عوامل (الطبعة الثانية) ، بوسطن: بيركهاوزر، ISBN 978-0-8176-3743-9
فينوغرادوف، آي إم (2003)، "الفصل السادس: الجذور الأولية والمؤشرات" ، عناصر نظرية الأعداد ، مينولا، نيويورك: منشورات دوفر، ص 105-121 ، ISBN 978-0-486-49530-9

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. “مجموعة الضرب Modulo” . عالم الرياضيات .
وايسشتاين، إريك دبليو. "الجذر الأولي" . عالم الرياضيات .
أداة عبر الإنترنت لحساب جداول المجموعات بشكل تفاعلي من تصميم جون جونز
متتالية OEIS A033948 (الأعداد التي لها جذر أولي (المجموعة الضربية modulo n دورية))
الأعداد n التي يكون فيها حاصل الضرب القياسي n هو حاصل الضرب المباشر لـ k من المجموعات الدورية:


ك	2	3	4	5	6	7	8	9
OEIS	A272592	A272593	A272594	A272595	A272596	A272597	A272598	A272599

[1] وايسشتاين ، إريك دبليو. “مجموعة الضرب Modulo” . عالم الرياضيات .

[2] "الجذر الأولي - موسوعة الرياضيات" . encyclopediaofmath.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-07-06 .

[Vinogradov2003.pp=105-121-3] فينوغرادوف 2003 ، الصفحات 105-121، الفصل السادس: الجذور البدائية والفهارس

[FOOTNOTEGauss1986arts._52–56,_82–891-4] جاوس 1986 ، المواد 52-56، 82-891.

[FOOTNOTEVinogradov2003106-5] فينوغرادوف 2003 ، ص 106.

[FOOTNOTEGauss1986arts._90–91-6] جاوس 1986 ، المواد 90-91.

[7] يغطي ريزل كل هذا. ريزل 1994 ، الصفحات 267-275 .

[8] إردوش، بول ؛ بوميرانس، كارل (1986). "حول عدد الشهود الزائفين لعدد مركب" . رياضيات الحساب . 46 (173): 259-279 . doi : 10.1090/s0025-5718-1986-0815848-x . Zbl 0586.10003 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗