حلقة السلسلة

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 2 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تكون الحلقة التبديلية R سلسلة إذا كان لأي زوج من المثاليّات الأولية p و q ، أي سلسلتين متزايدتين تمامًا

p = p 0 ⊂ p 1 ⊂ ... ⊂ p n = q

تُحتوى المُثُل الأولية في سلاسل قصوى متزايدة تمامًا من p إلى q ذات طول (محدود) متساوٍ. في حالة هندسية، حيث يتناقص بُعد التنوع الجبري المرتبط بمُثُل أولي كلما ازداد حجم المُثُل الأولي، فإن طول هذه السلسلة n عادةً ما يكون الفرق في الأبعاد.

تُسمى الحلقة حلقية شاملة إذا كانت جميع الجبريات المولدة بشكل نهائي فوقها حلقات سلاسلية.

كلمة "catenary" مشتقة من الكلمة اللاتينية catena ، والتي تعني "سلسلة".

توجد سلسلة التضمينات التالية.

الحلقات السلسلية الشاملة ⊃ حلقات كوهين-ماكولي ⊃ حلقات غورنشتاين ⊃ حلقات التقاطع الكامل ⊃ الحلقات المحلية المنتظمة

صيغة الأبعاد

لنفترض أن A نطاق نوثري و B نطاق يحتوي على A ومولد توليدًا منتهيًا على A. إذا كان P مثاليًا أوليًا في B و p تقاطعه مع A ، فإن

ارتفاع(P)≤ارتفاع(ص)+درجة الحرارة الانتقاليةأ(ب)-درجة الحرارة الانتقاليةκ(ص)(κ(P)).{\displaystyle {\text{height}}(P)\leq {\text{height}}(p)+{\text{tr.deg.}}_{A}(B)-{\text{tr.deg.}}_{\kappa (p)}(\kappa (P)).}

تنص صيغة الأبعاد للحلقات السلسلية الشاملة على أن المساواة تتحقق إذا كانت A سلسلية شاملة. هنا، κ( P ) هو حقل البقايا لـ P، و tr.deg. تعني درجة التجاوز (لحقول القسمة). في الواقع، عندما لا تكون A سلسلية شاملة، ولكنب=أ[x1،...،xن]{\displaystyle B=A[x_{1},\dots ,x_{n}]}إذاً، فإن المساواة تتحقق أيضاً. [ 1 ]

أمثلة

جميع الحلقات النويثرية تقريبًا التي تظهر في الهندسة الجبرية هي حلقات متصلة شاملة. وعلى وجه الخصوص، الحلقات التالية هي حلقات متصلة شاملة:

حلقة ذات شكل سلسلي ولكن ليس بشكل شامل

من الصعب إيجاد أمثلة لحلقات نوثرية لا تكون سلسلية بشكل عام. وقد اكتشف ماسايوشي ناجاتا ( 1956 ، 1962 ، صفحة 203، المثال 2) أول مثال من هذا القبيل، حيث وجد نطاقًا محليًا نوثريًا ثنائي الأبعاد سلسليًا ولكنه ليس سلسليًا بشكل عام. 

مثال ناجاتا هو كما يلي. اختر حقلاً k ومتسلسلة قوى رسمية z = Σ i > 0 a i x i في الحلقة S لمتسلسلات القوى الرسمية في x على k بحيث يكون z و x مستقلين جبريًا.

عرّف z 1 = z و z i +1 = z i /x– a i .

ليكن R الحلقة (غير النويثرية) المولدة بواسطة x وجميع العناصر z i .

ليكن m المثالي ( x )، وليكن n المثالي المُوَلَّد بواسطة x – 1 وجميع العناصر zi . كلاهما مثاليان أعظميان في R ، مع حقول متبقية متماثلة مع k . الحلقة المحلية Rm هي حلقة محلية منتظمة ذات بُعد 1 ( يستند برهان ذلك إلى حقيقة أن z و x مستقلان جبريًا)، والحلقة المحلية Rn هي حلقة محلية نوثرية منتظمة ذات بُعد 2.

ليكن B موضع R بالنسبة لجميع العناصر التي ليست في m أو n . عندئذٍ B هي حلقة شبه محلية نوثرية ثنائية الأبعاد مع مثاليين أقصى، mB (من ارتفاع 1) و nB (من ارتفاع 2).

ليكن I الجذر الجاكوبسوني للحلقة B ، ولتكن A = k + I. الحلقة A هي مجال محلي ذو بُعد 2 ومثالي أقصى I ، لذا فهي حلقة سلسلة لأن جميع المجالات المحلية ثنائية الأبعاد هي حلقات سلسلة. الحلقة A هي حلقة نوثرية لأن B حلقة نوثرية وهي وحدة نمطية منتهية على A. مع ذلك، فإن A ليست حلقة سلسلة شاملة، لأنه لو كانت كذلك لكان للمثالي mB للحلقة B نفس ارتفاع mB ∩ A وفقًا لصيغة بُعد الحلقات السلسلة الشاملة، لكن ارتفاع المثال الأخير يساوي بُعد A = 2.

إن مثال ناجاتا هو أيضًا حلقة شبه ممتازة ، لذا فهو يعطي مثالًا على حلقة شبه ممتازة ليست حلقة ممتازة .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ هوشستر، ميل (شتاء 2014)، "محاضرة 8 يناير 2014" (ملف PDF) ، محاضرات حول الإغلاق التكاملي، ونظرية بريانسون-سكودا، ومواضيع ذات صلة في الجبر التبادلي ، جامعة ميشيغان
  • هـ. ماتسومورا، الجبر التبادلي 1980 ISBN 0-8053-7026-9.
  • ناغاتا، ماسايوشي (1956)، "حول مسألة السلسلة للمثاليّات الأولية" ، مجلة ناغويا للرياضيات ، 10 : 51-64 ، doi : 10.1017/S0027763000000076 ، MR 0078974 ، S2CID 122444738  
  • ناغاتا، ماسايوشي (1962)، الحلقات المحلية ، سلسلة إنترساينس في الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  13، نيويورك-لندن: إنترساينس للنشر، قسم من جون وايلي وأولادهأعيد طبعه بواسطة دار نشر آر إي كريجر (1975) ISBN 0-88275-228-6

انظر أيضاً