خاتم غورنشتاين

في الجبر التبادلي ، تُعرَّف حلقة غورنشتاين المحلية بأنها حلقة نوثرية محلية تبادلية R ذات بُعد حقني محدود كوحدة نمطية R. توجد العديد من الشروط المكافئة، بعضها مذكور أدناه، والتي تشير غالبًا إلى أن حلقة غورنشتاين ذاتية التناظر بمعنى ما.

قدّم غروتينديك حلقات غورنشتاين في ندوته عام 1961 (نُشرت في هارتشورن 1967 ) . ويُشتق الاسم من خاصية الازدواجية للمنحنيات المستوية المفردة التي درسها غورنشتاين ( 1952 ) (الذي كان يُصرّح بأنه لا يفهم تعريف حلقة غورنشتاين ^{[ 1 ]} ). وقد درس ماكولي (1934) وسير (1961) وباس (1963) الحالة الصفرية الأبعاد، ونشروا مفهوم حلقات غورنشتاين. 

حلقات فروبينيوس هي نظائر غير تبادلية لحلقات غورنشتاين ذات الأبعاد الصفرية. أما مخططات غورنشتاين فهي النسخة الهندسية من حلقات غورنشتاين.

بالنسبة للحلقات المحلية في العصر النويثري، توجد سلسلة التضمينات التالية.

الحلقات السلسلية الشاملة ⊃ حلقات كوهين-ماكولي ⊃ حلقات غورنشتاين ⊃ حلقات التقاطع الكامل ⊃ الحلقات المحلية المنتظمة

حلقة غورنشتاين هي حلقة نوثرية تبديلية بحيث يكون كل موضع عند مثالي أولي حلقة غورنشتاين محلية، كما هو مُعرَّف أدناه. وتُعتبر حلقة غورنشتاين على وجه الخصوص حلقة كوهين-ماكولي .

إحدى الخصائص الأساسية هي: أن الحلقة المحلية النويثرية R ذات البعد الصفري (أو ما يكافئها، R ذات الطول المحدود كوحدة نمطية R ) هي حلقة غورنشتاين إذا وفقط إذا كان Hom _R ( k , R ) ذا بعد 1 كفضاء متجهي k ، حيث k هو حقل البواقي لـ R. وبصورة مكافئة، فإن _R لها قاعدة بسيطة كوحدة نمطية R. [ ^{2 ] وبشكل} أعم، فإن الحلقة المحلية النويثرية R هي حلقة غورنشتاين إذا وفقط إذا وُجدت متتالية منتظمة a ₁ ,..., an في المثالي الأعظمي لـ R بحيث تكون حلقة القسمة R /( a ₁ ,..., an ₎ حلقة غورنشتاين ذات بعد صفري.

على سبيل المثال، إذا كانت R جبرًا متدرجًا تبادليًا على حقل k بحيث يكون لـ R بُعد محدود كفضاء متجهي k ، R = k ⊕ R ₁ ⊕ ... ⊕ R _m ، فإن R يكون غورنشتاين إذا وفقط إذا حقق ازدواجية بوانكاريه ، مما يعني أن الجزء المتدرج العلوي R _m له بُعد 1 وأن ​​حاصل الضرب R _a × R _{m − a} → R _m هو اقتران مثالي لكل a . ^{[ 3 ]}

تفسير آخر لخاصية غورنشتاين كنوع من الازدواجية، ليس بالضرورة للحلقات المتدرجة ، هو: بالنسبة للحقل F ، فإن الجبر التبادلي F- الجبر R ذو البعد المحدود كفضاء متجهي F (وبالتالي ذو البعد الصفري كحلقة) يكون غورنشتاين إذا وفقط إذا كان هناك تطبيق خطي F - e : R → F بحيث يكون الشكل الثنائي الخطي المتناظر ( x , y )  := e ( xy ) على R ( كفضاء متجهي F ) غير منحل . ^{[ 4 ]}

بالنسبة لحلقة محلية تبادلية نوثرية ( R ، m ، k ) ذات بُعد كرول n ، فإن ما يلي متكافئ: ^{[ 5 ]}

• يتمتع R ببعد حقني محدود كوحدة نمطية R ؛
• R لها بُعد حقني n كوحدة نمطية R ؛
• مجموعة إكست${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$لـ i ≠ n بينما${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$لبعض i > n ؛
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$لكل i < n و${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;}$
• R هي حلقة غورنشتاين ذات أبعاد n .

تُسمى الحلقة R (ليس بالضرورة تبديلية) حلقة غورنشتاين إذا كان لها بُعد حقني محدود، سواءً كوحدة نمطية يسارية أو يمينية . وإذا كانت R حلقة محلية، يُقال إنها حلقة غورنشتاين محلية.

• كل حلقة تقاطع كاملة محلية ، وخاصة كل حلقة محلية منتظمة ، هي حلقة غورنشتاين.
• الحلقة R = k [ x , y , z ]/( x², y², xz, yz, z² − xy ) ^هي حلقة غورنشتاين صفرية الأبعاد ، وليست حلقة ^تقاطع كاملة . ^بتفصيل أكثر: يُعطى أساس R كفضاء متجهي k بالصيغة التالية :${\displaystyle \{1,x,y,z,z^{2}\}.}$R هي حلقة غورنشتاين لأن قاعدتها لها بُعد 1 كفضاء متجهي k ، يمتد بواسطة z² ^. وبدلاً من ذلك، يمكن ملاحظة أن R تحقق ازدواجية بوانكاريه عند النظر إليها كحلقة متدرجة حيث x و y و z جميعها من نفس الدرجة. وأخيرًا، R ليست تقاطعًا كاملاً لأن لها 3 مولدات ومجموعة علاقات دنيا من 5 (وليس 3).

• الحلقة R = k [ x , y ]/( x² ^, y² , xy ) هي حلقة كوهين- ^ماكولي ذات بُعد صفري ، وليست حلقة غورنشتاين. بتفصيل أكثر: يُعطى أساس R كفضاء متجهي k بالصيغة التالية:${\displaystyle \{1,x,y\}.}$R ليس غورنشتاين لأن القاعدة لها بُعد 2 (وليس 1) كفضاء متجه k ، يمتد بواسطة x و y .

• تكون الحلقة المحلية النويثرية غورنشتاين إذا وفقط إذا كان إكمالها غورنشتاين. ^{[ 6 ]}

• الوحدة النمطية الأساسية لحلقة غورنشتاين المحلية R متماثلة مع R. من الناحية الهندسية، يترتب على ذلك أن المركب الثنائي القياسي لمخطط غورنشتاين X على حقل ما هو ببساطة حزمة خطية (تُعتبر مركبًا من الدرجة -dim( X ))؛ تُسمى هذه الحزمة الخطية بالحزمة الأساسية لـ X. باستخدام الحزمة الأساسية، تأخذ ثنائية سير نفس الشكل لمخططات غورنشتاين كما في الحالة الملساء .

في سياق الحلقات المتدرجة R ، يكون النموذج الكنسي لحلقة غورنشتاين R متماثلاً مع R مع بعض إزاحة الدرجة. ^{[ 7 ]}

• بالنسبة لحلقة غورنشتاين المحلية ( R , m , k ) ذات البعد n ، تأخذ ثنائية غروتينديك المحلية الشكل التالي. ^{[ 8 ]} ليكن E ( k ) الغلاف الحقني لحقل البقايا k كوحدة نمطية R. عندئذٍ، لأي وحدة نمطية R مولدة نهائيًا M وعدد صحيح i ، تكون مجموعة التماثل المحلي${\displaystyle H_{m}^{i}(M)}$هو مزدوج لـ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{ni}(M,R)}$بمعنى أن:

${\displaystyle H_{m}^{i}(M)\cong \operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Ext} _{R}^{ni}(M,R),E(k)).}$

• أظهر ستانلي أنه بالنسبة لجبر متدرج تبادلي مولد نهائيًا R على حقل k بحيث يكون R مجالًا تكامليًا ، فإن خاصية غورنشتاين تعتمد فقط على خاصية كوهين-ماكولي بالإضافة إلى متسلسلة هيلبرت

${\displaystyle f(t)=\sum \nolimits _{j}\dim _{k}(R_{j})t^{j}.}$

بمعنى آخر، يكون المجال المتدرج R مجال غورنشتاين إذا وفقط إذا كان مجال كوهين-ماكولي وكانت متسلسلة هيلبرت متناظرة بالمعنى التالي:

${\displaystyle f\left({\tfrac {1}{t}}\right)=(-1)^{n}t^{s}f(t)}$

لبعض الأعداد الصحيحة ^s ، حيث n هو بُعد R. ^{[ 9} ]

• ليكن ( R , m , k ) حلقة محلية نوثرية ذات بُعد تضمين مشترك c ، أي أن c = dim _k ( m / m² ) − dim( ^R ) . هندسيًا، ينطبق هذا على حلقة محلية لمخطط فرعي ذي بُعد مشترك c في مخطط منتظم. بالنسبة لـ c ≥ 2، أثبت سير أن R هي حلقة غورنشتاين إذا وفقط إذا كانت تقاطعًا كاملًا . ^{[ 10 ]} كما توجد نظرية بنية لحلقات غورنشتاين ذات بُعد مشترك 3 بدلالة بفافيان لمصفوفة متناظرة معكوسة، من قِبل بوخسباوم وإيزنبد. [ 11 ] ^{في عام 2011} ، وسّع مايلز ريد نظرية البنية هذه لتشمل حالة البُعد المشترك 4. ^{[ 12 ]}

• باس ، هايمان (1963)، “في كل مكان لحلقات جورنشتاين”، Mathematische Zeitschrift ، 82 : 8–28 ، CiteSeerX 10.1.1.152.1137 ، دوى : 10.1007 / BF01112819 ، ISSN 0025-5874 ، MR 0153708   
• برونز، وينفريد؛ هيرتسوغ، يورغن (1993)، حلقات كوهين-ماكولي ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  39، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-41068-7MR 1251956​ 
• أيزنبد، ديفيد (1995)، الجبر التبادلي مع نظرة نحو الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  150، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-5350-1 ، ISBN 978-0-387-94268-1MR 1322960​ 
• غورنشتاين، دانيال (1952)، "نظرية حسابية للمنحنيات المستوية المرافقة"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 72 : 414-436 ، doi : 10.2307/1990710 ، ISSN 0002-9947 ، JSTOR 1990710 ، MR 0049591   
• "حلقة غورنشتاين" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• هارتشورن، روبن (1967)، علم التماثل المحلي. ندوة ألقاها أ. غروتينديك، جامعة هارفارد، خريف 1961 ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  41، برلين-نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، MR 0224620 
• هونيك، كريج (1999)، "هايمان باس والانتشار: حلقات غورنشتاين"، الجبر، نظرية K، المجموعات، والتعليم ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، ص 55-78 ، arXiv : math/0209199 ، doi : 10.1090/conm/243/03686 ، MR 1732040  
• لام، تسيت يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  189، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 ، ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 
• ماكولاي، فرانسيس سويربي (1934)، "الجبر الحديث والمثاليات متعددة الحدود"، وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج ، 30 (1): 27-46 ، رمز Bibcode : 1934PCPS...30...27M ، doi : 10.1017/S0305004100012354 ، ISSN 0305-0041 ، JFM 60.0096.02  
• ماتسومورا، هيديوكي (1989)، نظرية الحلقات التبادلية ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-36764-6، MR 0879273 
• ريد، مايلز (نوفمبر 2011)، جونغكاي ألفريد تشين (محرر)، غورنشتاين في البعد المشترك 4 - نظرية البنية العامة (ملف PDF) ، دراسات متقدمة في الرياضيات البحتة، المجلد  65: الهندسة الجبرية في شرق آسيا - تايبيه 2011، الصفحات 201-227 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 25-12-2024 ، تم استرجاعه بتاريخ 04-05-2024 
• سيري، جان بيير (1961)، Sur les Modules Projectifs ، Séminaire Dubreil. الجبر ونظرية الأسماء، المجلد.  14، ص 1 – 16 
• ستانلي، ريتشارد ب. (1978)، "دوال هيلبرت للجبر المتدرج"، التقدم في الرياضيات ، 28 (1): 57-83 ، doi : 10.1016/0001-8708(78)90045-2 ، MR 0485835