بُعد التنوع الجبري

في الرياضيات ، وتحديداً في الهندسة الجبرية ، يمكن تعريف بُعد التنوع الجبري بطرق متكافئة مختلفة.

بعض هذه التعريفات ذات طبيعة هندسية، بينما بعضها الآخر جبري بحت ويعتمد على الجبر التبادلي . بعضها يقتصر على المتنوعات الجبرية، بينما ينطبق بعضها الآخر على أي مجموعة جبرية . بعضها جوهري، أي مستقل عن أي تضمين للمتنوعة في فضاء أفيني أو إسقاطي ، بينما يرتبط بعضها الآخر بهذا التضمين.

ليكن K حقلاً ، وليكن L ⊇ K امتدادًا مغلقًا جبريًا .

المجموعة الجبرية الأفينية V هي مجموعة الأصفار المشتركة في L ⁿ لعناصر مثالي I في حلقة متعددة الحدود${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$يترك${\displaystyle A=R/I}$ليكن K جبر الدوال متعددة الحدود على V. بُعد V هو أي عدد صحيح مما يلي. لا يتغير هذا البُعد إذا تم توسيع K ، أو إذا استُبدل L بامتداد جبري مغلق آخر لـ K ، أو إذا استُبدل I بمثالي آخر له نفس الأصفار (أي له نفس الجذر ). كما أن البُعد مستقل عن اختيار الإحداثيات؛ بمعنى آخر، لا يتغير إذا _{استُبدلت} xᵢ بتراكيب خطية مستقلة خطيًا منها.

بُعد V هو

• الطول الأقصى${\displaystyle d}$من السلاسل${\displaystyle V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{d}}$من الأنواع الفرعية المتميزة غير الفارغة (غير القابلة للاختزال) من V.

يعمم هذا التعريف خاصية من خصائص بُعد الفضاء الإقليدي أو الفضاء المتجهي . ولذلك، فهو على الأرجح التعريف الذي يقدم أسهل وصف بديهي للمفهوم.

• البعد الكرولي لحلقة الإحداثيات A.​

هذا هو نص التعريف السابق بلغة الجبر التبادلي ، حيث يمثل بُعد كرول أقصى طول للسلاسل${\displaystyle p_{0}\subset p_{1}\subset \ldots \subset p_{d}}$من المُثُل العليا لـ أ .

• البعد الأقصى لكرول للحلقات المحلية عند نقاط V.

يُبين هذا التعريف أن البُعد خاصية محلية إذا${\displaystyle V}$غير قابل للاختزال. إذا${\displaystyle V}$بما أن V غير قابلة للاختزال، يتضح أن جميع الحلقات المحلية عند نقاط V لها نفس بُعد كرول (انظر ^{[ 1 ]} )؛ وبالتالي:

• إذا كانت V متعددة، فإن بُعد كرول للحلقة المحلية عند أي نقطة من V

وهذا يعيد صياغة التعريف السابق بلغة أكثر هندسية.

• البعد الأقصى لفضاءات المتجهات المماسية عند النقاط غير المنفردة لـ V.

يربط هذا بُعد التنوع ببعد المتشعب التفاضلي . وبشكل أدق، إذا عُرِّفَ V على الأعداد الحقيقية، فإن مجموعة نقاطه المنتظمة الحقيقية، إن لم تكن فارغة، هي متشعب تفاضلي له نفس بُعد التنوع والمتشعب.

• إذا كانت V مجموعة متنوعة، فإن بُعد فضاء المتجهات المماسية عند أي نقطة غير شاذة من V.

هذا هو النظير الجبري لحقيقة أن للمتشعب المتصل بُعدًا ثابتًا. ويمكن استنتاج ذلك أيضًا من النتيجة المذكورة أسفل التعريف الثالث، ومن حقيقة أن بُعد الفضاء المماسي يساوي بُعد كرول عند أي نقطة غير شاذة (انظر فضاء زاريسكي المماسي ).

• عدد المستويات الفائقة أو الأسطح الفائقة في الوضع العام والتي يلزم أن يكون لها تقاطع مع V والذي يتم اختزاله إلى عدد محدود غير صفري من النقاط.

هذا التعريف ليس جوهريًا لأنه ينطبق فقط على المجموعات الجبرية المضمنة بشكل صريح في فضاء أفيني أو إسقاطي.

• أقصى طول لتسلسل منتظم في حلقة الإحداثيات A.

هذا هو الترجمة الجبرية للتعريف السابق.

• الفرق بين n والطول الأقصى للتسلسلات المنتظمة الموجودة في I.

هذا هو الترجمة الجبرية لحقيقة أن تقاطع n – d من الأسطح الفائقة العامة هو مجموعة جبرية ذات بُعد d .

• درجة متعددة حدود هيلبرت لـ A.
• درجة مقام متسلسلة هيلبرت لـ A.

يُتيح ذلك، من خلال حساب أساس غروبنر، حساب بُعد المجموعة الجبرية المُعرَّفة بنظام مُعطى من المعادلات متعددة الحدود . علاوة على ذلك، لا يتغير البُعد إذا استُبدلت كثيرات حدود أساس غروبنر بأحادياتها الرئيسية، وإذا استُبدلت هذه الأحاديات الرئيسية بجذورها (الأحاديات الناتجة عن حذف الأسس). لذا: ^{[ 2 ]}

• بُعد كرول لحلقة ستانلي-رايزنر${\displaystyle R/J}$أين${\displaystyle J}$هو الجذر للمثال الأولي لـ${\displaystyle I}$لأي ترتيب أحادي مقبول ( المثالي الأولي لـ${\displaystyle I}$هي مجموعة جميع الحدود الرئيسية لعناصر${\displaystyle I}$).
• بُعد المركب التبسيطي المحدد بواسطة حلقة ستانلي-رايزنر هذه.
• إذا كان I مثاليًا أوليًا (أي V عبارة عن تنوع جبري)، فإن درجة التجاوز على K لحقل كسور A.

وهذا يسمح بإثبات بسهولة أن البعد ثابت تحت التكافؤ الثنائي النسبي .

ليكن V مجموعة جبرية إسقاطية معرفة على أنها مجموعة الأصفار المشتركة لمثالي متجانس I في حلقة متعددة الحدود${\displaystyle R=K[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$على حقل K ، وليكن A = R / I هو الجبر المتدرج لكثيرات الحدود على V.

تنطبق جميع تعريفات القسم السابق، مع تغيير يتمثل في أنه عند ظهور A أو I صراحةً في التعريف، يجب تقليل قيمة البُعد بمقدار واحد. على سبيل المثال، بُعد V أقل بواحد من بُعد كرول لـ A.

بالنظر إلى نظام من المعادلات متعددة الحدود على حقل مغلق جبريًا${\displaystyle K}$، قد يكون من الصعب حساب بُعد المجموعة الجبرية التي تحددها.

بدون مزيد من المعلومات حول النظام، هناك طريقة عملية واحدة فقط، وهي حساب أساس جروبنر واستنتاج درجة مقام سلسلة هيلبرت للمثالي الناتج عن المعادلات.

الخطوة الثانية، وهي عادةً الأسرع، يمكن تسريعها بالطريقة التالية: أولاً، يتم استبدال أساس غروبنر بقائمة أحادياته الرئيسية (يتم ذلك بالفعل لحساب متسلسلة هيلبرت). ثم يتم حساب كل أحادي مثل${\displaystyle {x_{1}}^{e_{1}}\cdots {x_{n}}^{e_{n}}}$يتم استبدالها بضرب المتغيرات الموجودة فيها:${\displaystyle x_{1}^{\min(e_{1},1)}\cdots x_{n}^{\min(e_{n},1)}.}$ثم يكون البعد هو الحجم الأقصى لمجموعة فرعية S من المتغيرات، بحيث لا يعتمد أي من هذه المنتجات للمتغيرات فقط على المتغيرات الموجودة في S.

تُطبَّق هذه الخوارزمية في العديد من أنظمة الجبر الحاسوبي . على سبيل المثال، في برنامج Maple ، تُعرف هذه الخوارزمية بالدالة Groebner[HilbertDimension]، وفي برنامج Macaulay2 ، تُعرف بالدالة dim .

البعد الحقيقي لمجموعة من النقاط الحقيقية، وعادةً ما تكون مجموعة شبه جبرية ، هو بُعد إغلاق زاريسكي الخاص بها . بالنسبة لمجموعة شبه جبرية S ، يكون البعد الحقيقي أحد الأعداد الصحيحة المتساوية التالية: ^{[ 3 ]}

• البعد الحقيقي لـ${\displaystyle S}$هو بُعد إغلاق زاريسكي الخاص به.
• البعد الحقيقي لـ${\displaystyle S}$هو أكبر عدد صحيح${\displaystyle d}$بحيث يكون هناك تماثل شكلي لـ${\displaystyle [0,1]^{d}}$في${\displaystyle S}$.
• البعد الحقيقي لـ${\displaystyle S}$هو أكبر عدد صحيح${\displaystyle d}$بحيث يكون هناك إسقاط لـ${\displaystyle S}$أكثر من${\displaystyle d}$فضاء فرعي ذو أبعاد n مع باطن غير فارغ .

بالنسبة لمجموعة جبرية معرفة على الأعداد الحقيقية (أي معرفة بواسطة كثيرات حدود ذات معاملات حقيقية)، قد يحدث أن يكون البعد الحقيقي لمجموعة نقاطها الحقيقية أصغر من بعدها كمجموعة شبه جبرية. على سبيل المثال، السطح الجبري للمعادلة${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$هو نوع جبري ذو بُعد اثنين، والذي يحتوي على نقطة حقيقية واحدة فقط (0، 0، 0)، وبالتالي فإن بُعده الحقيقي يساوي صفرًا.

يُعدّ حساب البُعد الحقيقي أكثر صعوبة من حساب البُعد الجبري. في حالة السطح الفائق الحقيقي (أي مجموعة الحلول الحقيقية لمعادلة متعددة الحدود واحدة)، توجد خوارزمية احتمالية لحساب بُعده الحقيقي. ^{[ 4 ]}

• البعد (الفضاء المتجهي)
• نظرية الأبعاد (الجبر)
• أبعاد المخطط