الفضاء الفائق

أصغر فضاء فائق هو نقطة لا تحتوي على اتجاهات بوزونية ولا فرميونية. ومن الأمثلة البسيطة الأخرى المستوى الحقيقي ذو الأبعاد n${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، وهو فضاء متجهي يمتد في${\displaystyle n}$اتجاهات حقيقية، بوزونية، ولا توجد اتجاهات فرميونية. فضاء المتجهات${\displaystyle \mathbb {R} ^{0|n}}$، وهو${\displaystyle n}$جبر غراسمان الحقيقي ذو الأبعاد n . الفضاء${\displaystyle \mathbb {R} ^{1|1}}$يُعرف فضاء الأعداد المزدوجة ، الذي قدمه ويليام كليفورد في عام 1873، بأنه فضاء الأعداد الزوجية واتجاه فردي واحد.

ميكانيكا الكم الفائقة التناظر مع${\displaystyle N}$غالباً ما تتم صياغة مفهوم الشحن الفائق في الفضاء الفائق${\displaystyle \mathbb {R} ^{1|2N}}$، والذي يحتوي على اتجاه حقيقي واحد${\displaystyle t}$مرتبط بالوقت و${\displaystyle N}$اتجاهات غراسمان المعقدة التي تمتد بواسطة${\displaystyle \Theta _{i}}$و ${\displaystyle \Theta _{i}^{*}}$، أين${\displaystyle i}$يتراوح من 1 إلى${\displaystyle N}$.

لنأخذ الحالة الخاصة بعين الاعتبار${\displaystyle N=1}$الفضاء الفائق${\displaystyle \mathbb {R} ^{1|2}}$هو فضاء متجهي ثلاثي الأبعاد. لذلك، يمكن كتابة إحداثية معينة على شكل ثلاثية.${\displaystyle (t,\Theta ,\Theta ^{*})}$تشكل الإحداثيات جبرًا فائقًا من نوع لي ، حيث تكون درجة التدرج${\displaystyle t}$هو زوجي وذاك من${\displaystyle \Theta }$و${\displaystyle \Theta ^{*}}$فردي. هذا يعني أنه يمكن تعريف قوس بين أي عنصرين من هذا الفضاء المتجهي، وأن هذا القوس يختزل إلى المبدل على إحداثيين زوجيين، وعلى إحداثي زوجي وآخر فردي، بينما يكون مضادًا للمبدل على إحداثيين فرديين. هذا الفضاء الفائق هو جبر لي فائق تبديلي، مما يعني أن جميع الأقواس المذكورة آنفًا تتلاشى.

${\displaystyle \left[t,t\right]=\left[t,\theta \right]=\left[t,\theta ^{*}\right]=\left\{\theta ,\theta \right\}=\left\{\theta ,\theta ^{*}\right\}=\left\{\theta ^{*},\theta ^{*}\right\}=0}$

أين${\displaystyle [a,b]}$هو مبدل${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$و${\displaystyle \{a,b\}}$هو مضاد التبديل لـ${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$.

يمكن تعريف دوال من هذا الفضاء المتجهي إلى نفسه، وتُسمى هذه الدوال بالحقول الفائقة . تشير العلاقات الجبرية المذكورة أعلاه إلى أنه إذا قمنا بتوسيع حقلنا الفائق كمتسلسلة قوى في${\displaystyle \Theta }$و${\displaystyle \Theta ^{*}}$إذن، سنجد فقط الحدود من الرتبة الصفرية والأولى، لأن${\displaystyle \Theta ^{2}=(\Theta ^{*})^{2}=0}$لذلك، يمكن كتابة الحقول الفائقة كدوال اختيارية لـ${\displaystyle t}$مضروبًا في الحدين الصفري والأول في إحداثيات غراسمان.

${\displaystyle \Phi \left(t,\Theta ,\Theta ^{*}\right)=\phi (t)+\Theta \Psi (t)-\Theta ^{*}\Phi ^{*}(t)+\Theta \Theta ^{*}F(t)}$

الحقول الفائقة، وهي تمثيلات للتناظر الفائق للفضاء الفائق، تعمم مفهوم الموترات ، وهي تمثيلات لمجموعة الدوران للفضاء البوزوني.

يمكن تعريف المشتقات في اتجاهات غراسمان، والتي تأخذ الحد من الرتبة الأولى في توسيع الحقل الفائق إلى الحد من الرتبة الصفرية، ثم تلغي الحد من الرتبة الصفرية. ويمكن اختيار اصطلاحات الإشارة بحيث تحقق المشتقات علاقات التبادل المضاد.

${\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}\,,\Theta \right\}=\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}\,,\Theta ^{*}\right\}=1}$

يمكن تجميع هذه المشتقات في شواحن فائقة.

${\displaystyle Q={\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\Theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\quad {\text{and}}\quad Q^{\dagger }={\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}+i\Theta {\frac {\partial }{\partial t}}}$

تحدد مضادات التبادل الخاصة بها أنها مولدات فرميونية لجبر التناظر الفائق

${\displaystyle \left\{Q,Q^{\dagger }\,\right\}=2i{\frac {\partial }{\partial t}}}$

أين${\displaystyle i}$يمثل حاصل ضرب المشتق الزمني في عامل هاميلتون في ميكانيكا الكم .${\displaystyle Q}$وتتبادل نظائرها المضادة مع نفسها. يتغير التناظر الفائق بتغير معامل التناظر الفائق${\displaystyle \epsilon }$من حقل فائق${\displaystyle \Phi }$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\Phi =(\epsilon ^{*}Q+\epsilon Q^{\dagger })\Phi .}$

يمكننا تقييم هذا التباين باستخدام فعل${\displaystyle Q}$في الملاعب العملاقة

${\displaystyle \left[Q,\Phi \right]=\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\,-i\theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\Phi =\psi +\theta ^{*}\left(F-i{\dot {\phi }}\right)+i\theta \theta ^{*}{\dot {\psi }}.}$

وبالمثل، يمكن تعريف المشتقات المتغيرة على الفضاء الفائق

${\displaystyle D={\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\quad {\text{and}}\quad D^{\dagger }={\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}-i\theta {\frac {\partial }{\partial t}}}$

والتي تتبادل عكسيًا مع الشحنات الفائقة وتفي بجبر التناظر الفائق ذي الإشارة الخاطئة

${\displaystyle \left\{D,D^{\dagger }\right\}=-2i{\frac {\partial }{\partial t}}}$.

حقيقة أن المشتقات المتغيرة تتبادل عكسيًا مع الشحنات الفائقة تعني أن تحويل التناظر الفائق لمشتق متغير لحقل فائق يساوي المشتق المتغير لنفس تحويل التناظر الفائق لنفس الحقل الفائق. وبالتالي، بتعميم المشتق المتغير في الهندسة البوزونية التي تُنشئ موترات من موترات، فإن المشتق المتغير في الفضاء الفائق يُنشئ حقولًا فائقة من حقول فائقة.