اللوغاريتم العشري

في الرياضيات ، يُعرف اللوغاريتم العشري (أو اللوغاريتم القياسي) بأنه اللوغاريتم ذو الأساس 10. ^{[ 1 ]} ويُعرف أيضًا باللوغاريتم العشري ، واللوغاريتم العشري، ولوغاريتم بريغز . سُمي "لوغاريتم بريغز" تكريمًا لعالم الرياضيات البريطاني هنري بريغز الذي ابتكر وطوّر قيم "اللوغاريتم العشري". تاريخيًا، كان يُعرف "اللوغاريتم العشري" باسمه اللاتيني logarithmus decimalis ^{[ 2 ]} أو logarithmus decadis . ^{[ 3 ]}

يُكتب اللوغاريتم العشري رياضيًا على النحو التالي: log( x ) ، ^{[ 4 ]} _أو log10 ( x ) ، ^{[ 5 ]} أو أحيانًا Log( x ) بحرف L كبير ؛ ^{[ a ]} على الآلات الحاسبة ، يُطبع على شكل "log"، ^{[ 6 ]} لكن الرياضيين عادةً ما يقصدون اللوغاريتم الطبيعي (اللوغاريتم ذو الأساس e ≈ 2.71828) وليس اللوغاريتم العشري عند كتابة "log"، لأن اللوغاريتم الطبيعي - على عكس ما يوحي به اسم اللوغاريتم العشري - هو اللوغاريتم الأكثر استخدامًا في الرياضيات البحتة. ^{[ 7 ]}

قبل أوائل سبعينيات القرن العشرين، لم تكن الآلات الحاسبة الإلكترونية المحمولة متوفرة، وكانت الآلات الحاسبة الميكانيكية القادرة على الضرب ضخمة الحجم، باهظة الثمن، وغير متوفرة على نطاق واسع. بدلاً من ذلك، استُخدمت جداول اللوغاريتمات العشرية في العلوم والهندسة والملاحة، عندما تتطلب الحسابات دقة أكبر مما يمكن تحقيقه باستخدام المسطرة الحاسبة . من خلال تحويل الضرب والقسمة إلى جمع وطرح، تجنب استخدام اللوغاريتمات عمليات الضرب والقسمة الشاقة والمعرضة للأخطاء التي تُجرى باستخدام الورقة والقلم. ^{[ 1 ]} ولأن اللوغاريتمات كانت مفيدة للغاية، فقد أُدرجت جداول اللوغاريتمات العشرية في ملاحق العديد من الكتب المدرسية. كما تضمنت كتيبات الرياضيات والملاحة جداول لوغاريتمات الدوال المثلثية أيضًا. ^{[ 8 ]} للاطلاع على تاريخ هذه الجداول، انظر جدول اللوغاريتمات .

تُوضع الأرقام على مساطر المسطرة الحاسبة بمسافات تتناسب مع الفروق بين لوغاريتماتها. وبجمع المسافة من 1 إلى 2 على المقياس السفلي مع المسافة من 1 إلى 3 على المقياس العلوي، يمكن تحديد أن 2 × 3 = 6 بسرعة .

من الخصائص المهمة للوغاريتمات العشرية، والتي تجعلها مفيدة للغاية في العمليات الحسابية، أن لوغاريتمات الأعداد الأكبر من 1 والتي تختلف بمعامل قوة للعدد 10 لها جميعًا نفس الجزء الكسري . يُعرف هذا الجزء الكسري باسم المانتسا . ^{[ ب ]} وبالتالي، لا تحتاج جداول اللوغاريتمات إلا إلى إظهار الجزء الكسري. عادةً ما تُدرج جداول اللوغاريتمات العشرية المانتسا، لأربعة أو خمسة منازل عشرية أو أكثر، لكل عدد في نطاق معين، على سبيل المثال من 1000 إلى 9999.

يمكن حساب الجزء الصحيح، المسمى بالخاصية ، ببساطة عن طريق عدّ عدد المنازل التي يجب تحريك الفاصلة العشرية فيها، بحيث تكون مباشرةً إلى يمين أول رقم معنوي. على سبيل المثال، يُعطى لوغاريتم العدد 120 بالحساب التالي:

${\displaystyle \log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.}$

يُمكن إيجاد الرقم الأخير (0.07918) - الجزء الكسري أو المانتيسا من اللوغاريتم العشري للعدد 120 - في الجدول الموضح. ويُشير موقع الفاصلة العشرية في العدد 120 إلى أن الجزء الصحيح من اللوغاريتم العشري للعدد 120، وهو الخاصية المميزة، يساوي  2.

بتطبيق هذا المنطق، يمكن ملاحظة أن${\displaystyle \log _{10}(120)=2.07918}$،${\displaystyle \log _{10}(12)=1.07918}$، و${\displaystyle \log _{10}(1.2)=0.07918.}$

تُعرف اللوغاريتمات العشرية أحيانًا باسم "لوغاريتمات بريغز" نسبةً إلى هنري بريغز ،  عالم الرياضيات البريطاني من القرن السابع عشر. في عامي 1616 و1617، زار بريغز جون نابيير في إدنبرة ، مخترع ما يُعرف الآن باللوغاريتمات الطبيعية (الأساس e )، لاقتراح تعديل على لوغاريتمات نابيير. خلال هذه الاجتماعات، تم الاتفاق على التعديل الذي اقترحه بريغز؛ وبعد عودته من زيارته الثانية، نشر أول مجموعة من لوغاريتماته.

نظرًا لأن اللوغاريتمات العشرية كانت الأكثر فائدة في العمليات الحسابية، فقد كان المهندسون يكتبون عادةً " log( x ) " عندما يقصدون log ₁₀ ( x ) . أما علماء الرياضيات، فكانوا يكتبون " log( x ) " عندما يقصدون log _e ( x ) للوغاريتم الطبيعي. واليوم، لا تزال كلتا الطريقتين مستخدمتين. ولأن الآلات الحاسبة الإلكترونية المحمولة مصممة من قبل المهندسين وليس علماء الرياضيات، فقد أصبح من المعتاد استخدامها وفقًا لطريقة المهندسين. لذا، فإن استخدام " ln( x ) " عند كتابة اللوغاريتم الطبيعي ربما يكون قد ازداد شيوعًا بفضل اختراع الآلات الحاسبة الإلكترونية نفسه الذي قلل من استخدام "اللوغاريتمات العشرية" بشكل كبير.

لتبديد هذا الغموض، توصي مواصفة ISO 80000 بكتابة log _e ( x ) على شكل ln( x ) ، بينما يُكتب log ₁₀ ( x ) على شكل lg( x ) ، وهو ما يُستخدم للأسف للوغاريتم ذي الأساس 2 في CLRS و Sedgwick ودليل شيكاغو للأسلوب . ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

 يمكن حساب القيمة العددية للوغاريتم ذي الأساس 10 باستخدام المتطابقات التالية: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad }$ أو ${\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad }$ أو ${\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{B}(x)}{\log _{B}(10)}}\quad }$

باستخدام اللوغاريتمات لأي أساس متاح${\displaystyle \,B~.}$

حيث توجد إجراءات لتحديد القيمة العددية للوغاريتم ذي الأساس e (انظر اللوغاريتم الطبيعي §  الحساب الفعال ) واللوغاريتم ذي الأساس 2 (انظر خوارزميات حساب اللوغاريتمات الثنائية ).

مشتق اللوغاريتم ذي الأساس b هو بحيث ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}}$،

لذلك${\displaystyle {d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}\approx {0.4343 \over x}}$(4 أرقام معنوية ).

• اللوغاريتم الثنائي
• الكولوغاريتم
• ديسيبل
• المقياس اللوغاريتمي
• اللوغاريتم النابيراني
• الجزء ذو الدلالة (ويسمى أيضاً الجزء الكسري)

• أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران. (1983) [يونيو 1964]. دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد  55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛  الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
• موسر، مايكل (2009). هندسة الصوتيات: مقدمة في التحكم بالضوضاء . سبرينغر. ص  448. ISBN 978-3-540-92722-8.
• بوليانين، أندريه ديميترييفيتش؛ مانجيروف، ألكسندر فلاديميروفيتش (2007) [27-11-2006]. دليل الرياضيات للمهندسين والعلماء . مطبعة سي آر سي . ص  9. ISBN 978-1-58488-502-3.