مجموعة الكم المدمجة

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 40 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعتبر المجموعات الكمومية المدمجة تعميمات للمجموعات المدمجة ، حيث يكون التبادليج*{\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}يتم تعميم جبر الدوال المركبة المتصلة على مجموعة مضغوطة إلى بنية مجردة على مجموعة أحادية غير تبديلية بالضرورةج*{\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}الجبر - الذي يلعب دور "جبر الدوال المركبة المستمرة على المجموعة الكمومية المدمجة". [ 1 ]

ينبع الدافع الأساسي لهذه النظرية من التشبيه التالي: يشكل فضاء الدوال ذات القيم المركبة على فضاء طوبولوجي هاوسدورف متراص جبرًا تبديليًا من نوع C*. من جهة أخرى، وبحسب نظرية جيلفاند ، فإن الجبر التبديلي من نوع C* متماثل مع جبر الدوال المتصلة ذات القيم المركبة على فضاء طوبولوجي هاوسدورف متراص، ويُحدد الفضاء الطوبولوجي بشكل فريد بواسطة جبر C* حتى التشاكل التام .

قدّم إس. إل. وورونوفيتش [ 2 ] مفهومًا هامًا يُعرف باسم الزمر الكمومية المصفوفية المدمجة ، والتي أطلق عليها في البداية اسم الزمر الزائفة المدمجة . الزمر الكمومية المصفوفية المدمجة هي هياكل مجردة تُعطى فيها "الدوال المتصلة" على الهيكل بواسطة عناصر من جبر C*. هندسة الزمرة الكمومية المصفوفية المدمجة هي حالة خاصة من الهندسة غير التبادلية .

التركيبة

بالنسبة لمجموعة طوبولوجية متراصة ، G ، يوجد تماثل جبري من النوع C*

Δ:ج(جي)→ج(جي)⊗ج(جي){\displaystyle \Delta :C(G)\to C(G)\otimes C(G)}

حيث C ( G ) ⊗ C ( G ) هو الحد الأدنى لضرب الموتر الجبري C* - وهو إكمال ضرب الموتر الجبري لـ C ( G ) و C ( G ) - بحيث

Δ(و)(x،y)=و(xy){\displaystyle \Delta (f)(x,y)=f(xy)}

للجميعو∈ج(جي){\displaystyle f\in C(G)}ولجميعx،y∈جي{\displaystyle x,y\in G}، أين

(و⊗ز)(x،y)=و(x)ز(y){\displaystyle (f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)}

للجميعو،ز∈ج(جي){\displaystyle f,g\in C(G)}وكل شيءx،y∈جي{\displaystyle x,y\in G}يوجد أيضًا تطبيق ضربي خطي

κ:ج(جي)→ج(جي){\displaystyle \kappa :C(G)\to C(G)}،

بحيث

κ(و)(x)=و(x-1){\displaystyle \kappa (f)(x)=f(x^{-1})}

للجميعو∈ج(جي){\displaystyle f\in C(G)}وكل شيءx∈جي{\displaystyle x\in G}. من الناحية الدقيقة، هذا لا يجعل C ( G ) جبر هوبف ، إلا إذا كانت G منتهية.

من ناحية أخرى، يمكن استخدام تمثيل محدود الأبعاد لـ G لتوليد جبر فرعي *- لـ C ( G ) وهو أيضًا جبر هوبف *-. على وجه التحديد، إذا

ز↦(uأناج(ز))أنا،ج{\displaystyle g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}}

إذا كان تمثيلاً ذا أبعاد n لـ G ، فإن

uأناج∈ج(جي){\displaystyle u_{ij}\in C(G)}

لكل i و j و

Δ(uأناج)=∑كuأناك⊗uكج{\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}}

لكل i و j . ويترتب على ذلك أن الجبر *-المولد بواسطةuأناج{\displaystyle u_{ij}}لكل i و j وκ(uأناج){\displaystyle \kappa (u_{ij})}لكل i و j ، فإن الجبر النجمي هوبف: يتم تحديد الوحدة المشتركة بواسطة

ϵ(uأناج)=دلتاأناج{\displaystyle \epsilon (u_{ij})=\delta _{ij}}

للجميعأنا،ج{\displaystyle i,j}(أيندلتاأناج{\displaystyle \delta _{ij}}(حيث δ هي دلتا كرونكر )، و κ هي النقطة المقابلة ، والوحدة معطاة بواسطة

1=∑كu1كκ(uك1)=∑كκ(u1ك)uك1.{\displaystyle 1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.}

مجموعات الكم المصفوفية المدمجة

كتعميم، تُعرَّف المجموعة الكمومية المصفوفية المدمجة على أنها زوج ( C , u ) ، حيث C هي جبر C* و

u=(uأناج)أنا،ج=1،...،ن{\displaystyle u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}

هي مصفوفة عناصرها في C بحيث

  • الجبر الفرعي *-، C 0 ، من C ، والذي يتم توليده بواسطة عناصر المصفوفة u ، كثيف في C ؛
  • يوجد تشاكل جبري من نوع C*، يُسمى الضرب المشترك، Δ  : C → C ⊗ C (حيث C ⊗ C هو حاصل الضرب الموتري الجبري من نوع C* - إكمال حاصل الضرب الموتري الجبري لـ C و C ) بحيث
∀أنا،ج:Δ(uأناج)=∑كuأناك⊗uكج؛{\displaystyle \forall i,j:\qquad \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj};}
  • توجد دالة خطية مضادة للضرب، تسمى المعكوس، κ  : C 0 → C 0 بحيثκ(κ(v*)*)=v{\displaystyle \kappa (\kappa (v*)*)=v}للجميعv∈ج0{\displaystyle v\in C_{0}}و∑كκ(uأناك)uكج=∑كuأناكκ(uكج)=دلتاأناجأنا،{\displaystyle \sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,}حيث I هو العنصر المحايد للمجموعة C. وبما أن κ مضاد للضرب، فإن κ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) لجميعv،w∈ج0{\displaystyle v,w\in C_{0}}.

نتيجةً للاستمرارية، فإن الضرب المشترك على C هو عملية تجميعية مشتركة.

بشكل عام، C عبارة عن جبر ثنائي، و C 0 عبارة عن جبر هوبف *-.

بشكل غير رسمي، يمكن اعتبار C بمثابة الجبر * للدوال المركبة المستمرة على مجموعة المصفوفة الكمومية المدمجة، ويمكن اعتبار u بمثابة تمثيل محدود الأبعاد لمجموعة المصفوفة الكمومية المدمجة.

مجموعات الكم المدمجة

بالنسبة للجبر C* A و B الذي يعمل على فضاءات هيلبرت H و K على التوالي، يتم تعريف الحد الأدنى من حاصل الضرب الموتري على أنه إكمال المعيار لحاصل الضرب الموتري الجبري A ⊗ B في B ( H ⊗ K ) ؛ ويرمز أيضًا إلى إكمال المعيار بـ A ⊗ B.

تُعرَّف المجموعة الكمومية المدمجة [ 3 ] [ 4 ] على أنها زوج ( C , Δ) ، حيث C عبارة عن جبر C* أحادي و

  • Δ  : C → C ⊗ C هو تماثل أحادي *- يحقق (Δ ⊗ id) Δ = (id ⊗ Δ) Δ ؛
  • المجموعات {( C ⊗ 1) Δ( C )} و {(1 ⊗ C ) Δ( C )} كثيفة في C ⊗ C .

التمثيلات

يُعطى تمثيل المجموعة الكمومية للمصفوفات المدمجة بواسطة تمثيل مشترك لجبر هوبف* [ 5 ]. علاوة على ذلك، يُطلق على التمثيل v اسم تمثيل وحدوي إذا كانت مصفوفة v وحدوية، أو بصورة مكافئة، إذا

∀أنا،ج:κ(vأناج)=vجأنا*.{\displaystyle \forall i,j:\qquad \kappa (v_{ij})=v_{ji}^{*}.}

مثال

مثال على مجموعة المصفوفة الكمومية المدمجة هو SU μ (2) ، [ 6 ] حيث يكون المعامل μ عددًا حقيقيًا موجبًا.

التعريف الأول

SU μ (2) = ( C (SU μ (2)), u ) ، حيث C (SU μ (2)) هي الجبر C* المولد بواسطة α و γ ، مع مراعاة

γγ*=γ*γ، αγ=μγα، αγ*=μγ*α، αα*+μγ*γ=α*α+μ-1γ*γ=أنا،{\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,\ \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,\ \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,}

و

u=(αγ-γ*α*)،{\displaystyle u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}

بحيث يتم تحديد عملية الضرب المشترك بواسطةΔ(α)=α⊗α-γ⊗γ*،Δ(γ)=α⊗γ+γ⊗α*{\displaystyle \Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\gamma \otimes \gamma ^{*},\Delta (\gamma )=\alpha \otimes \gamma +\gamma \otimes \alpha ^{*}}ويتم تحديد المعكوس بواسطةκ(α)=α*،κ(γ)=-μ-1γ،κ(γ*)=-μγ*،κ(α*)=α{\displaystyle \kappa (\alpha )=\alpha ^{*},\kappa (\gamma )=-\mu ^{-1}\gamma ,\kappa (\gamma ^{*})=-\mu \gamma ^{*},\kappa (\alpha ^{*})=\alpha }لاحظ أن u هو تمثيل، ولكنه ليس تمثيلًا وحدويًا . u مكافئ للتمثيل الوحدوي

v=(αμγ-1μγ*α*).{\displaystyle v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).}

التعريف الثاني

SU μ (2) = ( C (SU μ (2)), w ) ، حيث C (SU μ (2)) هي الجبر C* المولد بواسطة α و β ، مع مراعاة

ββ*=β*β، αβ=μβα، αβ*=μβ*α، αα*+μ2β*β=α*α+β*β=أنا،{\displaystyle \beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,\ \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,\ \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,}

و

w=(αμβ-β*α*)،{\displaystyle w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}

بحيث يتم تحديد عملية الضرب المشترك بواسطةΔ(α)=α⊗α-μβ⊗β*،Δ(β)=α⊗β+β⊗α*{\displaystyle \Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\mu \beta \otimes \beta ^{*},\Delta (\beta )=\alpha \otimes \beta +\beta \otimes \alpha ^{*}}ويتم تحديد المعكوس بواسطةκ(α)=α*،κ(β)=-μ-1β،κ(β*)=-μβ*{\displaystyle \kappa (\alpha )=\alpha ^{*},\kappa (\beta )=-\mu ^{-1}\beta ,\kappa (\beta ^{*})=-\mu \beta ^{*}}،κ(α*)=α{\displaystyle \kappa (\alpha ^{*})=\alpha }لاحظ أن w تمثيل وحدوي. يمكن تحديد التحققات من خلال مساواةγ=μβ{\displaystyle \gamma ={\sqrt {\mu }}\beta }.

حالة الحد الأقصى

إذا كان μ = 1 ، فإن SU μ (2) يساوي المجموعة المدمجة الملموسة SU(2) .

مراجع

  1. ↑ بانيكا، تيو (2023). مقدمة في المجموعات الكمومية . سبرينغر. ISBN 978-3-031-23816-1.
  2. ↑ وورونوفيتش، إس إل "مجموعات المصفوفات الزائفة المدمجة"، مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية 111 (1987)، 613-665
  3. ↑ وورونوفيتش، إس إل "المجموعات الكمومية المدمجة". ملاحظات من https://www.fuw.edu.pl/~slworono/PDF-y/CQG3.pdf
  4. ↑ فان دايل، أ. ومايس، آن. "ملاحظات حول المجموعات الكمومية المدمجة"، arXiv:math/9803122
  5. ↑ تمثيل مشترك لجبر مشترك متجانس A عبارة عن مصفوفة مربعة
    v=(vأناج)أنا،ج=1،...،ن{\displaystyle v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}
    مع عناصر في A (بحيث يكون v ∈ M( n , A ) ) بحيث
    ∀أنا،ج:Δ(vأناج)=∑ك=1نvأناك⊗vكج{\displaystyle \forall i,j:\qquad \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}}
    ∀أنا،ج:ϵ(vأناج)=دلتاأناج.{\displaystyle \forall i,j:\qquad \epsilon (v_{ij})=\delta _{ij}.}
  6. ↑ van Daele, A. and Wang, S. "Universal quantum groups" Int. J. Math. (1996), 255-263.