مشعب مغلق

في الرياضيات ، يُعرَّف الفضاء المغلق بأنه فضاءٌ بلا حدود ويكون متراصاً . أما الفضاء المفتوح ، فهو فضاءٌ بلا حدود ويحتوي على مكونات غير متراصة فقط .

المثال الوحيد المتصل أحادي البعد هو الدائرة . الكرة ، والسطح الحلقي ، وزجاجة كلاين كلها فضاءات ثنائية الأبعاد مغلقة. الفضاء الإسقاطي الحقيقي RPⁿ هو فضاء مغلق ذو n بُعد. الفضاء الإسقاطي المركب CPⁿ هو فضاء مغلق ذو 2n بُعد. ^[ 1 ^{] الخط ليس مغلقًا} لأنه ليس متراصًا. القرص المغلق هو فضاء ثنائي الأبعاد متراص، ولكنه ليس مغلقًا لأنه له حدود.

كل مشعب مغلق هو عبارة عن انكماش جوار إقليدي، وبالتالي يحتوي على مجموعات تماثل مولدة بشكل نهائي. ^{[ 2 ]}

لو${\displaystyle M}$هي فضاء متعدد الشعب مغلق ومتصل ذو n بُعد، مجموعة التماثل من الرتبة n${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$يكون${\displaystyle \mathbb {Z} }$أو صفر اعتمادًا على ما إذا${\displaystyle M}$قابل للتوجيه أم لا. ^{[ 3 ]} علاوة على ذلك، فإن المجموعة الفرعية الالتوائية لمجموعة التماثل (n-1)${\displaystyle H_{n-1}(M;\mathbb {Z} )}$هو 0 أو${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$وذلك بحسب ما إذا${\displaystyle M}$قابل للتوجيه أم لا. وينتج هذا عن تطبيق نظرية المعامل العام . ^{[ 4 ]}

يترك${\displaystyle R}$لتكن حلقة تبديلية.${\displaystyle R}$قابل للتوجيه${\displaystyle M}$مع فئة أساسية${\displaystyle [M]\in H_{n}(M;R)}$الخريطة${\displaystyle D:H^{k}(M;R)\to H_{nk}(M;R)}$محدد بواسطة${\displaystyle D(\alpha )=[M]\cap \alpha }$هو تماثل لجميع قيم k. هذه هي ثنائية بوانكاريه . ^{[ 5 ]} على وجه الخصوص، كل مشعب مغلق هو${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$قابل للتوجيه. لذلك يوجد دائمًا تماثل. ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\cong H_{nk}(M;\mathbb {Z} _{2})}$.

بالنسبة للمتشعب المتصل، فإن مصطلح "مفتوح" يُعادل "بلا حدود وغير متراص"، أما بالنسبة للمتشعب المنفصل، فإن مصطلح "مفتوح" أقوى. على سبيل المثال، الاتحاد المنفصل لدائرة وخط هو متشعب غير متراص لأن الخط غير متراص، ولكنه ليس متشعبًا مفتوحًا لأن الدائرة (أحد مكوناته) متراصة.

تُعرّف معظم الكتب المتشعب عمومًا بأنه فضاء متماثل موضعيًا مع الفضاء الإقليدي (إلى جانب بعض الشروط التقنية الأخرى)، وبالتالي، وفقًا لهذا التعريف، لا يشمل المتشعب حدوده عندما يكون مُضمّنًا في فضاء أكبر. مع ذلك، لا يشمل هذا التعريف بعض الأشكال الأساسية كالقرص المغلق ، لذا يُعرّف بعض المؤلفين المتشعب أحيانًا بحدود ، ويستخدمون مصطلح "متشعب" دون الإشارة إلى الحدود. ولكن عادةً، يُمكن استخدام مصطلح "متشعب مضغوط" (مضغوط بالنسبة لبنيته الطوبولوجية) كمرادف للمتشعب المغلق إذا ما استُخدم التعريف المعتاد للمتشعب.

إن مفهوم المتشعب المغلق لا يرتبط بمفهوم المجموعة المغلقة . فالخط هو مجموعة جزئية مغلقة من المستوى، وهو متشعب، ولكنه ليس متشعبًا مغلقًا.

يمكن أن يشير مفهوم " الكون المغلق " إلى أن الكون عبارة عن فضاء مغلق، ولكنه على الأرجح يشير إلى أن الكون عبارة عن فضاء ذي انحناء ريتشي موجب ثابت .

• متعدد الاستخدامات

• مايكل سبيفاك : مقدمة شاملة في الهندسة التفاضلية. المجلد الأول. الطبعة الثالثة مع تصحيحات. دار النشر Publish or Perish، هيوستن، تكساس، 2005، رقم ISBN 0-914098-70-5.
• ألين هاتشر ، الطوبولوجيا الجبرية. مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، 2002.