التوزيع الطبيعي المعقد

في نظرية الاحتمالات ، تُعرف عائلة التوزيعات الطبيعية المعقدة باسم${\displaystyle {\mathcal {CN}}}$أو${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}}$تُعرّف المتغيرات العشوائية المركبة التي يكون جزءها الحقيقي والخيالي موزعين توزيعًا طبيعيًا مشتركًا . ^{[ 1 ]} تتكون عائلة التوزيع الطبيعي المركب من ثلاثة معلمات: معلمة الموقع μ ، ومصفوفة التغاير.${\displaystyle \Gamma }$ومصفوفة العلاقات​${\displaystyle C}$التوزيع الطبيعي المركب القياسي هو توزيع أحادي المتغير ذو${\displaystyle \mu =0}$،${\displaystyle \Gamma =1}$، و${\displaystyle C=0}$.

تُسمى فئة فرعية مهمة من عائلة التوزيع الطبيعي المركب بالتوزيع الطبيعي المركب المتناظر دائريًا (المركزي)، وهي تتوافق مع حالة مصفوفة العلاقة الصفرية والمتوسط ​​الصفري:${\displaystyle \mu =0}$ و${\displaystyle C=0}$[ ^{2 ]} يتم استخدام هذه الحالة على نطاق واسع في معالجة الإشارات ، حيث يشار إليها أحيانًا باسم " الطبيعي المركب" ^في الأدبيات.

يمكن وصف التوزيع الغاوسي المعقد بثلاثة معلمات: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z}]،\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }]،\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],}$

أين${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }}$يشير إلى منقولة المصفوفة${\displaystyle \mathbf {Z} }$، و${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }}$يشير إلى النقل المترافق . ^{[ 3 ] : ص 504 [ 4 ] : ​​ص 500}

هنا معلمة الموقع${\displaystyle \mu }$هو متجه معقد ذو أبعاد n؛ مصفوفة التغاير${\displaystyle \Gamma }$هيرميتية وغير سالبة تمامًا ؛ ومصفوفة العلاقة أو مصفوفة التغاير الزائف${\displaystyle C}$متناظر . متجه عشوائي طبيعي معقد${\displaystyle \mathbf {Z} }$يمكن الآن الإشارة إليه على النحو التالي$${\displaystyle \mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).}$$علاوة على ذلك، المصفوفات${\displaystyle \Gamma }$و${\displaystyle C}$تكون بحيث تكون المصفوفة

${\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C}$

ويكون أيضًا غير سالب محدد حيث${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$يرمز إلى المرافق المعقد لـ${\displaystyle \Gamma }$[ ^{5 ]​}

أما بالنسبة لأي متجه عشوائي معقد، فإن المصفوفات${\displaystyle \Gamma }$و${\displaystyle C}$يمكن ربطها بمصفوفات التغاير لـ${\displaystyle \mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )}$و${\displaystyle \mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )}$عبر التعبيرات

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}}$

وبالعكس

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}}$

يمكن حساب دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي المعقد على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{bmatrix}}^{\mathrm {H} }{\begin{bmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{bmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{bmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{bmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}}$و${\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-RC}$.

الدالة المميزة للتوزيع الطبيعي المعقد معطاة بواسطة ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},}$

حيث الحجة${\displaystyle w}$هو متجه معقد ذو أبعاد n .

• لو${\displaystyle \mathbf {Z} }$هو متجه عمودي معقد ذو n بُعد،${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$مصفوفة من الرتبة m×n ، و${\displaystyle b}$إذا كان لدينا متجه ثابت ذو m بُعد، فإن التحويل الخطي${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b}$سيتم توزيعها أيضاً بشكل طبيعي معقد:

${\displaystyle Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })}$

• لو${\displaystyle \mathbf {Z} }$إذا كان متجهًا طبيعيًا معقدًا من الرتبة n ، فإن

${\displaystyle 2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)}$

• نظرية النهاية المركزية . إذا${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{T}}$إذا كانت متغيرات عشوائية معقدة مستقلة ومتطابقة التوزيع،

${\displaystyle {\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),}$

أين${\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]}$و${\displaystyle C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]}$.

• يتبع معامل المتغير العشوائي الطبيعي المركب توزيع هويت . ^{[ 6 ]}

• توزيع النسبة الطبيعية المعقدة
• الإحصاءات الاتجاهية §  توزيع المتوسط ​​(الشكل القطبي)
• التوزيع الطبيعي
• التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات (التوزيع الطبيعي المعقد هو توزيع طبيعي ثنائي المتغيرات)
• توزيع كاي تربيع المعمم
• توزيع ويشارت
• متغير عشوائي معقد