مصفوفة محددة

أن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة حقيقية متناظرة${\displaystyle M}$يُقال إنها موجبة تمامًا إذا${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0}$لجميع القيم غير الصفرية${\displaystyle \mathbf {x} }$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$رسميا، $${\displaystyle M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$$

أن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة حقيقية متناظرة${\displaystyle M}$يُقال إنها شبه موجبة أو غير سالبة إذا${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0}$للجميع${\displaystyle \mathbf {x} }$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$رسميا، $${\displaystyle M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$$

أن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة حقيقية متناظرة${\displaystyle M}$يُقال إنها سلبية محددة إذا${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} <0}$لجميع القيم غير الصفرية${\displaystyle \mathbf {x} }$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$رسميا، $${\displaystyle M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} <0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$$

أن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة حقيقية متناظرة${\displaystyle M}$يُقال إنها شبه محددة سلبية أو غير محددة إيجابية إذا${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0}$للجميع${\displaystyle \mathbf {x} }$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$رسميا، $${\displaystyle M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$$

أن${\displaystyle n\times n}$المصفوفة الحقيقية المتناظرة التي ليست شبه موجبة ولا شبه سالبة تسمى غير محددة .

تتضمن التعريفات التالية جميعها المصطلح${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} .}$لاحظ أن هذا العدد هو دائمًا عدد حقيقي لأي مصفوفة مربعة هيرميتية${\displaystyle M.}$

أن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة هيرميتية معقدة${\displaystyle M}$يُقال إنها موجبة تمامًا إذا${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}$لجميع القيم غير الصفرية${\displaystyle \mathbf {z} }$في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$رسميا،

${\displaystyle M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$

أن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة هيرميتية معقدة${\displaystyle M}$يُقال إنها شبه محددة موجبة أو غير محددة سالبة إذا${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0}$للجميع${\displaystyle \mathbf {z} }$في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$رسميا،

${\displaystyle M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$

أن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة هيرميتية معقدة${\displaystyle M}$يُقال إنها سلبية محددة إذا${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0}$لجميع القيم غير الصفرية${\displaystyle \mathbf {z} }$في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$رسميا،

${\displaystyle M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$

أن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة هيرميتية معقدة${\displaystyle M}$يُقال إنها شبه محددة سلبية أو غير محددة إيجابية إذا${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0}$للجميع${\displaystyle \mathbf {z} }$في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$رسميا،

${\displaystyle M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$

أن${\displaystyle n\times n}$المصفوفة المعقدة الهرميتية التي ليست شبه موجبة ولا شبه سالبة تسمى غير محددة .

بما أن كل مصفوفة حقيقية هي أيضًا مصفوفة مركبة، فإن تعريفات "التحديد" للفئتين يجب أن تتفق.

بالنسبة للمصفوفات المعقدة، فإن التعريف الأكثر شيوعًا يقول أن${\displaystyle M}$تكون موجبة تمامًا إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$حقيقي وموجب لكل متجه عمودي مركب غير صفري${\displaystyle \mathbf {z} .}$ هذا الشرط يعني أن${\displaystyle M}$هيرميتية (أي أن منقولتها تساوي مرافقها)، لأن${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$وبما أنها حقيقية، فإنها تساوي منقولها المرافق${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M^{*}\mathbf {z} }$لكل${\displaystyle \mathbf {z} ,}$وهذا يعني${\displaystyle M=M^{*}.}$

بحسب هذا التعريف، فإن المصفوفة الحقيقية موجبة التحديد${\displaystyle M}$هيرميتية، وبالتالي متناظرة؛ و${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} }$تكون موجبة لجميع متجهات الأعمدة الحقيقية غير الصفرية${\displaystyle \mathbf {z} .}$ لكن الشرط الأخير وحده لا يكفي لـ${\displaystyle M}$أن تكون موجبة تمامًا. على سبيل المثال، إذا $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}},}$$

ثم لأي متجه حقيقي${\displaystyle \mathbf {z} }$مع إدخالات${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$لدينا${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} =\left(a+b\right)a+\left(-a+b\right)b=a^{2}+b^{2},}$وهو أمر إيجابي دائمًا إذا${\displaystyle \mathbf {z} }$ليست صفرًا. ومع ذلك، إذا${\displaystyle \mathbf {z} }$هو المتجه المركب ذو المدخلات 1 و ⁠${\displaystyle i}$، يحصل المرء

$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}1&-i\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+i&1-i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=2+2i.}$$

وهو أمر غير حقيقي. لذلك،${\displaystyle M}$ليست موجبة-محددة.

من ناحية أخرى، بالنسبة للمصفوفة الحقيقية المتناظرة${\displaystyle M,}$الشرط "${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} >0}$لجميع المتجهات الحقيقية غير الصفرية${\displaystyle \mathbf {z} }$" يشير إلى أن${\displaystyle M}$هو موجب-محدد بالمعنى المركب.

إذا كانت المصفوفة هيرميتية${\displaystyle M}$يكتب المرء أحيانًا أنها شبه محددة إيجابية${\displaystyle M\succeq 0}$وإذا${\displaystyle M}$يكتب المرء إيجابياً ومحدداً${\displaystyle M\succ 0.}$للدلالة على ذلك${\displaystyle M}$يكتب المرء أنه سلبي شبه محدد${\displaystyle M\preceq 0}$وللدلالة على ذلك${\displaystyle M}$يكتب المرء أنه سلبي تمامًا${\displaystyle M\prec 0.}$

يُستمد هذا الترميز من التحليل الوظيفي حيث تُعرّف المصفوفات شبه الموجبة المحددة المؤثرات الموجبة . إذا كانت مصفوفتان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$مُرضٍ${\displaystyle B-A\succeq 0,}$يمكننا تعريف ترتيب جزئي غير صارم${\displaystyle B\succeq A}$أي أنه انعكاسي ، وغير متناظر ، ومتعدٍ ؛ إلا أنه ليس ترتيبًا كليًا ، كما${\displaystyle B-A,}$بشكل عام، قد يكون غير محدد. لاحظ أيضًا أن${\displaystyle \succeq }$و${\displaystyle \succ }$لا تحقق هذه العلاقات التوافق المعتاد بين علاقات الترتيب الجزئي غير الصارمة والصارمة ، لأن${\displaystyle B\succeq A\land B\neq A}$لا يعني ذلك${\displaystyle B\succ A}$.

هناك طريقة تدوين بديلة شائعة وهي${\displaystyle M\geq 0,}$${\displaystyle M>0,}$${\displaystyle M\leq 0,}$و${\displaystyle M<0}$تُستخدم هذه الرموز للمصفوفات شبه الموجبة والموجبة المحددة، والمصفوفات شبه السالبة المحددة والسالبة المحددة، على التوالي. قد يكون هذا مُربكًا، حيث تُشار أحيانًا إلى المصفوفات غير السالبة (أو المصفوفات غير الموجبة) بهذه الطريقة أيضًا.

التفكيك ليس فريدًا: إذا${\displaystyle M=B^{*}B}$بالنسبة للبعض${\displaystyle k\times n}$مصفوفة${\displaystyle B}$وإذا${\displaystyle Q}$هل أي نظام وحدوي${\displaystyle k\times k}$المصفوفة (المعنى)${\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}=I}$)، ثم${\displaystyle M=B^{*}B=B^{*}Q^{*}QB=A^{*}A}$ل${\displaystyle A=QB.}$

مع ذلك، هذه هي الطريقة الوحيدة التي يمكن أن يختلف بها تحليلان: التحليل فريد حتى التحويلات الوحدوية . بتعبير أدق، إذا${\displaystyle A}$هو${\displaystyle k\times n}$المصفوفة و${\displaystyle B}$هو${\displaystyle \ell \times n}$مصفوفة بحيث${\displaystyle A^{*}A=B^{*}B,}$ ثم هناك${\displaystyle \ell \times k}$مصفوفة${\displaystyle Q}$بأعمدة متعامدة (بمعنى${\displaystyle Q^{*}Q=I_{k\times k}}$) بحيث${\displaystyle B=QA.}$^{[ 5 ]} عندما${\displaystyle \ell =k}$هذا يعنى${\displaystyle Q}$هو نظام وحدوي .

لهذا البيان تفسير هندسي بديهي في الحالة الحقيقية: لنفترض أن أعمدة${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$لتكن المتجهات${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$و${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}$ المصفوفة الوحدوية الحقيقية هي مصفوفة متعامدة ، تصف تحويلاً صلباً (تساوي قياس الفضاء الإقليدي).${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$) مع الحفاظ على النقطة 0 (أي الدوران والانعكاس ، بدون إزاحة). لذلك، فإن الضرب النقطي${\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}}$و${\displaystyle b_{i}\cdot b_{j}}$تكون متساوية إذا وفقط إذا كان هناك تحويل جامد لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$تحويل المتجهات${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ل${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$(ومن 0 إلى 0).

مصفوفة هيرميتية${\displaystyle M}$تكون المصفوفة شبه موجبة إذا وفقط إذا كانت هناك مصفوفة شبه موجبة${\displaystyle B}$ (بخاصة${\displaystyle B}$هيرميتية، لذلك${\displaystyle B^{*}=B}$مُرضٍ${\displaystyle M=BB.}$هذه المصفوفة${\displaystyle B}$فريد من نوعه، ^{[ 6 ]} ويسمى الجذر التربيعي غير السالب لـ${\displaystyle M,}$ويُشار إليه بـ${\displaystyle B=M^{\frac {1}{2}}.}$ متى${\displaystyle M}$موجبة محددة، وكذلك${\displaystyle M^{\frac {1}{2}},}$ولذلك يُطلق عليه أيضًا الجذر التربيعي الموجب لـ${\displaystyle M.}$

لا ينبغي الخلط بين الجذر التربيعي غير السالب وأنواع التفكيك الأخرى.${\displaystyle M=B^{*}B.}$ يستخدم بعض المؤلفين اسم الجذر التربيعي و${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}}$لأي تفكيك من هذا القبيل، أو على وجه التحديد لتفكيك تشوليسكي ، أو أي تفكيك من الشكل${\displaystyle M=BB;}$ يستخدمه البعض الآخر فقط للجذر التربيعي غير السالب.

لو${\displaystyle M\succ N\succ 0}$ثم${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}\succ N^{\frac {1}{2}}\succ 0.}$

مصفوفة هيرميتية شبه موجبة محددة${\displaystyle M}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle M=LL^{*},}$أين${\displaystyle L}$هو مثلث سفلي ذو قطر غير سالب (أو ما يعادله)${\displaystyle M=B^{*}B}$أين${\displaystyle B=L^{*}}$(هي مثلثية علوية)؛ هذا هو تحليل تشوليسكي . إذا${\displaystyle M}$إذا كانت موجبة تمامًا، فإن قطر${\displaystyle L}$تكون القيمة موجبة ويكون تحليل تشوليسكي فريدًا. على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle L}$إذا كان الشكل مثلثًا سفليًا بقطر غير سالب،${\displaystyle LL^{*}}$هي شبه موجبة. يُعد تحليل تشوليسكي مفيدًا بشكل خاص لإجراء حسابات عددية فعالة. وهناك تحليل وثيق الصلة به وهو تحليل LDL .${\displaystyle M=LDL^{*},}$أين${\displaystyle D}$قطري و${\displaystyle L}$هو مثلثي أحادي منخفض .

أي${\displaystyle 2n\times 2n}$مصفوفة حقيقية هيرميتية موجبة محددة${\displaystyle M}$يمكن تحويلها إلى مصفوفات قطرية باستخدام المصفوفات التبادلية (الحقيقية). وبشكل أدق، تضمن نظرية ويليامسون وجود المصفوفات التبادلية.${\displaystyle S\in \mathbf {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$وموجب حقيقي قطري${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$بحيث${\displaystyle SMS^{T}=D\oplus D}$.

للمصفوفات المربعة العشوائية${\displaystyle M,}$${\displaystyle N}$نكتب${\displaystyle M\geq N}$لو${\displaystyle M-N\geq 0}$أي،${\displaystyle M-N}$هي شبه موجبة. وهذا يُعرّف ترتيبًا جزئيًا على مجموعة جميع المصفوفات المربعة. ويمكن تعريف ترتيب جزئي صارم بالمثل.${\displaystyle M>N.}$يُطلق على هذا الترتيب اسم ترتيب لوونر .

كل مصفوفة موجبة التحديد قابلة للعكس، ومعكوسها موجب التحديد أيضًا. ^{[ 9 ]} إذا${\displaystyle M\geq N>0}$ثم${\displaystyle N^{-1}\geq M^{-1}>0.}$^{[ 10 ]} علاوة على ذلك، وبحسبنظرية الحد الأدنى والحد الأقصى، فإنرقم kلـ${\displaystyle M}$أكبر من أو يساوي أكبر قيمة ذاتية رقم k لـ${\displaystyle N.}$

لو${\displaystyle M}$موجب محدد و${\displaystyle r>0}$إذا كان عددًا حقيقيًا،${\displaystyle rM}$موجبة تمامًا. ^{[ 11 ]}

• لو${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$إذا كانت موجبة تمامًا، فإن المجموع${\displaystyle M+N}$وهي أيضًا موجبة تمامًا. ^{[ 11 ]}
• لو${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$إذا كانت شبه موجبة، فإن المجموع${\displaystyle M+N}$وهي أيضًا شبه محددة موجبة.
• لو${\displaystyle M}$موجب-محدد و${\displaystyle N}$إذا كانت موجبة شبه محددة، فإن المجموع${\displaystyle M+N}$وهي أيضًا موجبة تمامًا.

• لو${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$إذا كانت موجبة تمامًا، فإن نواتج الضرب${\displaystyle MNM}$و${\displaystyle NMN}$وهي أيضًا موجبة تمامًا. إذا${\displaystyle MN=NM,}$ثم${\displaystyle MN}$وهي أيضًا موجبة تمامًا.
• لو${\displaystyle M}$إذا كانت شبه موجبة،${\displaystyle A^{*}MA}$تكون شبه موجبة لأي مصفوفة (قد تكون مستطيلة)${\displaystyle A.}$لو${\displaystyle M}$موجب محدد و${\displaystyle A}$إذا كان لديه رتبة عمود كاملة، فـ${\displaystyle A^{*}MA}$موجبة تمامًا. ^{[ 12 ]}

المدخلات القطرية${\displaystyle m_{ii}}$تكون عناصر المصفوفة شبه الموجبة المحددة حقيقية وغير سالبة. ونتيجة لذلك ، فإن أثرها ،${\displaystyle \operatorname {tr} (M)\geq 0.}$علاوة على ذلك، ^{[ 13 ]} بما أن كل مصفوفة فرعية رئيسية (على وجه الخصوص، 2×2) هي شبه موجبة، $${\displaystyle \left|m_{ij}\right|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\quad \forall i,j}$$ وبالتالي، عندما${\displaystyle n\geq 1,}$$${\displaystyle \max _{i,j}\left|m_{ij}\right|\leq \max _{i}m_{ii}}$$

أن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة هيرميتية${\displaystyle M}$تكون موجبة تمامًا إذا كانت تحقق متباينات الأثر التالية: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \operatorname {tr} (M)>0\quad \mathrm {and} \quad {\frac {(\operatorname {tr} (M))^{2}}{\operatorname {tr} (M^{2})}}>n-1.}$$

ومن النتائج المهمة الأخرى أنه بالنسبة لأي${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$المصفوفات شبه الموجبة المحددة،${\displaystyle \operatorname {tr} (MN)\geq 0.}$ويتبع ذلك كتابة${\displaystyle \operatorname {tr} (MN)=\operatorname {tr} (M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}).}$المصفوفة${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}}$هي شبه موجبة وبالتالي لها قيم ذاتية غير سالبة، ومجموعها، أي أثرها، يكون غير سالب أيضًا.

لو${\displaystyle M,N\geq 0,}$بالرغم من${\displaystyle MN}$ليس بالضرورة أن يكون حاصل ضرب هادامارد شبه موجب ،${\displaystyle M\circ N\geq 0}$(غالباً ما تُسمى هذه النتيجة بنظرية شور للضرب ). ^{[ 15 ]}

فيما يتعلق بضرب هادامارد لمصفوفتين شبه موجبتين${\displaystyle M=(m_{ij})\geq 0,}$${\displaystyle N\geq 0,}$هناك تفاوتان ملحوظان:

• عدم المساواة عند أوبنهايم:${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}.}$^{[ 16 ]}
• ${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(M)\det(N).}$^{[ 17 ]}

لو${\displaystyle M,N\geq 0,}$بالرغم من${\displaystyle MN}$ليس بالضرورة أن يكون موجبًا شبه محدد، منتج كرونكر${\displaystyle M\otimes N\geq 0.}$

لو${\displaystyle M,N\geq 0,}$بالرغم من${\displaystyle MN}$ليس بالضرورة أن يكون شبه محدد موجب، الضرب الداخلي لفروبينيوس${\displaystyle M:N\geq 0}$(لانكستر-تيسمنتسكي، نظرية المصفوفات ، ص  218).

مجموعة المصفوفات المتناظرة شبه الموجبة المحددة محدبة . أي، إذا${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$إذا كانت شبه موجبة، فإنه لأي${\displaystyle \alpha }$بين 0 و 1 ،${\displaystyle \alpha M+\left(1-\alpha \right)N}$وهي أيضًا شبه موجبة. لأي متجه${\displaystyle \mathbf {x} }$: $${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\left(\alpha M+\left(1-\alpha \right)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {x} \geq 0.}$$

تضمن هذه الخاصية أن مسائل البرمجة شبه المحددة تتقارب إلى حل أمثل عالميًا.

إيجابية التحديد للمصفوفة${\displaystyle A}$يعبر عن أن الزاوية${\displaystyle \theta }$بين أي متجه${\displaystyle \mathbf {x} }$وصورتها${\displaystyle A\mathbf {x} }$هو دائماً${\displaystyle -\pi /2<\theta <+\pi /2:}$

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }}={\frac {\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }},\theta =\theta (\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )\equiv {\widehat {\left(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} \right)}}\equiv }$$الزاوية بين${\displaystyle \mathbf {x} }$و${\displaystyle A\mathbf {x} .}$

1. لو${\displaystyle M}$هي مصفوفة توبليتز متناظرة ، أي أن عناصرها${\displaystyle m_{ij}}$يتم تقديمها كدالة لفروق مؤشراتها المطلقة:${\displaystyle m_{ij}=h(|i-j|),}$وعدم المساواة الصارمة${\textstyle \sum _{j\neq 0}\left|h(j)\right|<h(0)}$ثم يمسك${\displaystyle M}$موجبة تمامًا .
2. يترك${\displaystyle M>0}$و${\displaystyle N}$هيرميتي. إذا${\displaystyle MN+NM\geq 0}$(على التوالي،${\displaystyle MN+NM>0}$) ثم${\displaystyle N\geq 0}$(على التوالي،${\displaystyle N>0}$). ^{[ 18 ]}
3. لو${\displaystyle M>0}$إذا كان حقيقياً، فهناك${\displaystyle \delta >0}$بحيث${\displaystyle M>\delta I,}$أين${\displaystyle I}$هي مصفوفة الوحدة .
4. لو${\displaystyle M_{k}}$يشير إلى الرائد${\displaystyle k\times k}$صغير،${\displaystyle \det \left(M_{k}\right)/\det \left(M_{k-1}\right)}$يمثل المحور رقم k أثناء عملية تحليل LU .
5. تكون المصفوفة سالبة التحديد إذا كان المحدد الرئيسي الرئيسي من الرتبة k سالبًا عندما${\displaystyle k}$غريب، وإيجابي عندما${\displaystyle k}$متساوٍ.
6. لو${\displaystyle M}$إذا كانت مصفوفة حقيقية موجبة محددة، فإنه يوجد عدد حقيقي موجب${\displaystyle m}$بحيث يكون لكل متجه${\displaystyle \mathbf {v} ,}$${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {v} \geq m\|\mathbf {v} \|_{2}^{2}.}$
7. تكون المصفوفة الهرميتية شبه موجبة إذا وفقط إذا كانت جميع محدداتها الرئيسية غير سالبة. ومع ذلك، لا يكفي النظر إلى المحددات الرئيسية الرائدة فقط، كما هو الحال في المصفوفة القطرية ذات العناصر 0 و -1  .

إيجابي${\displaystyle 2n\times 2n}$يمكن تعريف المصفوفة أيضًا بواسطة كتل : $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$$

حيث كل كتلة${\displaystyle n\times n,}$بتطبيق شرط الإيجابية، يترتب على ذلك مباشرة ما يلي:${\displaystyle A}$و${\displaystyle D}$هم من المنعزلين، و${\displaystyle C=B^{*}.}$