توزيع رايلي

رايلي

دالة كثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
حدود	حجم:${\displaystyle \sigma >0}$
يدعم	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
بي دي إف	${\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)}}$
سي دي إف	${\displaystyle 1-e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)}}$
كمية	${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {-2\ln(1-F)}}}$
يقصد	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$
متوسط	${\displaystyle \sigma {\sqrt {2\ln(2)}}}$
وضع	${\displaystyle \sigma }$
التباين	${\displaystyle {\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$
الانحراف	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}}$
زيادة التجانف	${\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}}$
إنتروبيا	${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$
إم جي إف	${\displaystyle 1+\sigma te^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right)}$
ت.ف	${\displaystyle 1-\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right)}$

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، توزيع رايلي هو توزيع احتمالي مستمر للمتغيرات العشوائية ذات القيمة غير السالبة . وحتى إعادة القياس، يتطابق مع توزيع كاي بدرجتين من الحرية . سُمي التوزيع باسم اللورد رايلي ( / ˈr eɪli / ). ^[1 ]

غالبًا ما يُلاحظ توزيع رايلي عندما يكون المقدار الكلي لمتجه في المستوى مرتبطًا بمكوناته الاتجاهية . أحد الأمثلة التي ينشأ فيها توزيع رايلي بشكل طبيعي هو عندما يتم تحليل سرعة الرياح في بعدين . بافتراض أن كل مكون غير مرتبط ، وموزع بشكل طبيعي مع تباين متساوٍ ، ومتوسط ​​صفري ، وهو أمر نادر، فإن سرعة الرياح الكلية ( مقدار المتجه ) ستتميز بتوزيع رايلي. ينشأ مثال ثانٍ للتوزيع في حالة الأعداد المركبة العشوائية التي يتم توزيع مكوناتها الحقيقية والتخيلية بشكل مستقل ومتطابق غاوسي مع تباين متساوٍ ومتوسط ​​صفري. في هذه الحالة، تكون القيمة المطلقة للعدد المركب موزعة رايلي.

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع رايلي هي ^[2]

${\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},\quad x\geq 0,}$

حيث هو معامل مقياس التوزيع. دالة التوزيع التراكمية هي ^[2]${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(x;\sigma )=1-e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}$

ل${\displaystyle x\in [0,\infty ).}$

ضع في اعتبارك المتجه ثنائي الأبعاد الذي يحتوي على مكونات ذات توزيع طبيعي ثنائي المتغيرات ، ومركزها عند الصفر، وتباينات متساوية ، ومستقلة. ثم يكون لهما دوال كثافة ${\displaystyle Y=(U,V)}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle f_{U}(x;\sigma )=f_{V}(x;\sigma )={\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}.}$

ليكن طول . أي أن له دالة توزيع تراكمية ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}.}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )=\iint _{D_{x}}f_{U}(u;\sigma )f_{V}(v;\sigma )\,dA,}$

أين القرص؟ ${\displaystyle D_{x}}$

${\displaystyle D_{x}=\left\{(u,v):{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\leq x\right\}.}$

عند كتابة التكامل المزدوج في الإحداثيات القطبية ، يصبح

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr\,d\theta ={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr.}$

أخيرًا، دالة كثافة الاحتمال لـ هي المشتقة لدالة التوزيع التراكمية الخاصة بها، والتي وفقًا للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل هي ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{X}(x;\sigma )={\frac {d}{dx}}F_{X}(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

وهو توزيع رايلي. ومن السهل التعميم على متجهات ذات أبعاد غير 2. وهناك أيضًا تعميمات عندما يكون للمكونات تباين أو ارتباطات غير متساوية ( توزيع هويت )، أو عندما يتبع المتجه Y توزيع ستيودنت t ثنائي المتغير (انظر أيضًا: توزيع T-squared لفندقنج ). ^[3]

يتم تقديم اللحظات الخام بواسطة:

${\displaystyle \mu _{j}=\sigma ^{j}2^{j/2}\,\Gamma \left(1+{\frac {j}{2}}\right),}$

أين دالة جاما ؟ ${\displaystyle \Gamma (z)}$

متوسط ​​متغير رايلي العشوائي هو كالتالي :

${\displaystyle \mu (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1.253\ \sigma .}$

الانحراف المعياري لمتغير رايلي العشوائي هو:

${\displaystyle \operatorname {std} (X)={\sqrt {\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\sigma \approx 0.655\ \sigma }$

تباين متغير رايلي العشوائي هو :

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}=\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}\approx 0.429\ \sigma ^{2}}$

الوضع هو والحد الأقصى لملف pdf هو${\displaystyle \sigma ,}$

${\displaystyle f_{\max }=f(\sigma ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}e^{-1/2}\approx {\frac {0.606}{\sigma }}.}$

يتم إعطاء الانحراف بواسطة :

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0.631}$

يتم إعطاء التجانف الزائد بواسطة:

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0.245}$

الدالة المميزة تعطى بواسطة:

${\displaystyle \varphi (t)=1-\sigma te^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right]}$

أين هي دالة الخطأ التخيلية . دالة توليد اللحظة تعطى بواسطة ${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)}$

${\displaystyle M(t)=1+\sigma t\,e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right]}$

أين دالة الخطأ ؟ ${\displaystyle \operatorname {erf} (z)}$

يتم إعطاء الإنتروبيا التفاضلية بواسطة ^{[ بحاجة لمصدر ]}

${\displaystyle H=1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$

أين هو ثابت أويلر-ماسكيروني ؟ ${\displaystyle \gamma }$

بالنظر إلى عينة من N متغيرات رايلي العشوائية المستقلة والموزعة بشكل متطابق مع المعلمة ، ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\widehat {\sigma ^{2}}}=\!\,{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}$هو تقدير الاحتمال الأقصى وهو أيضًا غير متحيز .

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}\approx {\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}}$هو مقدر متحيز يمكن تصحيحه من خلال الصيغة

${\displaystyle \sigma ={\widehat {\sigma }}{\frac {\Gamma (N){\sqrt {N}}}{\Gamma \left(N+{\frac {1}{2}}\right)}}={\widehat {\sigma }}{\frac {4^{N}N!(N-1)!{\sqrt {N}}}{(2N)!{\sqrt {\pi }}}}}$^[4] ، حيث c4 هو عامل التصحيح المستخدم لتحيز تقديرات الانحراف المعياري للمتغيرات العشوائية _{الطبيعية} .${\displaystyle ={\frac {\hat {\sigma }}{c_{4}(2N+1)}}}$

لإيجاد الفاصل الزمني للثقة (1 −  α )، أوجد أولاً الحدود حيث: ${\displaystyle [a,b]}$

  ${\displaystyle P\left(\chi _{2N}^{2}\leq a\right)=\alpha /2,\quad P\left(\chi _{2N}^{2}\leq b\right)=1-\alpha /2}$

ثم سوف تقع معلمة المقياس ضمن الحدود

  ${\displaystyle {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{b}}\leq {\widehat {\sigma ^{2}}}\leq {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{a}}}$^[5]

بالنظر إلى المتغير العشوائي U المرسوم من التوزيع المنتظم في الفترة (0، 1)، فإن المتغير

${\displaystyle X=\sigma {\sqrt {-2\ln U}}\,}$

يحتوي على توزيع رايلي مع المعلمة . يتم الحصول على ذلك من خلال تطبيق طريقة أخذ العينات بالتحويل العكسي . ${\displaystyle \sigma }$

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$يكون توزيع رايلي إذا ، حيث و متغيرات عشوائية طبيعية مستقلة . ^[6] وهذا يعطي الدافع لاستخدام الرمز في المعلمة أعلاه لكثافة رايلي.${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$${\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})}$${\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \sigma }$
• حجم المتغير القياسي المركب الموزع بشكل طبيعي z هو توزيع رايلي.${\displaystyle |z|}$
• توزيع كاي مع v  = 2 يعادل توزيع رايلي مع  σ  = 1: ${\displaystyle R(\sigma )\sim \sigma \chi _{2}^{\,}\ .}$
• إذا ، فإن له توزيع مربع كاي مع درجتين من الحرية: ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}$${\displaystyle R^{2}}$${\displaystyle [Q=R(\sigma )^{2}]\sim \sigma ^{2}\chi _{2}^{2}\ .}$
• إذا ، إذن لدينا توزيع جاما مع المعلمات و${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\frac {1}{2\sigma ^{2}}}}$

  ${\displaystyle \left[Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}\right]\sim \Gamma \left(N,{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\right).}$

• توزيع رايس هو تعميم غير مركزي لتوزيع رايلي: .${\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma )=\mathrm {Rice} (0,\sigma )}$
• يؤدي توزيع ويبل مع معامل الشكل k  = 2 إلى توزيع رايلي. ثم يرتبط معامل توزيع رايلي بمعامل مقياس ويبل وفقًا لـ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \lambda =\sigma {\sqrt {2}}.}$
• إذا كان له توزيع أسي ، إذن${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )}$${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\sim \mathrm {Rayleigh} (1/{\sqrt {2\lambda }}).}$
• التوزيع نصف الطبيعي هو المكافئ أحادي البعد لتوزيع رايلي.
• توزيع ماكسويل -بولتزمان هو المعادل ثلاثي الأبعاد لتوزيع رايلي.

يمكن العثور على تطبيق لتقدير σ في التصوير بالرنين المغناطيسي (MRI). نظرًا لأن صور التصوير بالرنين المغناطيسي تُسجل كصور معقدة ولكن غالبًا ما تُرى كصور ذات حجم، فإن بيانات الخلفية موزعة وفقًا لمبدأ رايلي. وبالتالي، يمكن استخدام الصيغة أعلاه لتقدير تباين الضوضاء في صورة التصوير بالرنين المغناطيسي من بيانات الخلفية. ^{[7] [8]}

كما تم استخدام توزيع رايلي في مجال التغذية لربط مستويات المغذيات الغذائية واستجابات الإنسان والحيوان . وبهذه الطريقة، يمكن استخدام المعلمة σ لحساب علاقة الاستجابة للمغذيات. ^[9]

في مجال الباليستيات ، يتم استخدام توزيع رايلي لحساب الخطأ الدائري المحتمل - وهو مقياس لدقة البندقية.

في علم المحيطات الفيزيائي ، يتبع توزيع ارتفاع الموجة الكبير تقريبًا توزيع رايلي. ^[10]

• خطأ دائري محتمل
• تلاشي رايلي
• توزيع خليط رايلي
• توزيع الأرز