مجموعة كريمونا

في الهندسة الثنائية النسبية ، تُعرف مجموعة كريمونا ، التي سُميت نسبةً إلى لويجي كريمونا ، بأنها مجموعة التشاكلات الثنائية النسبية لـ${\displaystyle n}$فضاء إسقاطي ذو أبعاد على حقل${\displaystyle k}$تُعرف أيضًا باسم تحولات كريمونا . ويُشار إليها بـ${\displaystyle Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))}$،${\displaystyle Bir(\mathbb {P} ^{n}(k))}$أو${\displaystyle Cr_{n}(k)}$.

قدّم عالم الرياضيات الإيطالي لويجي كريمونا ( 1863 ، 1865 ) مجموعة كريمونا . ^{[ 1 ]} وبالنظر إلى الماضي، يُعتبر عالم الرياضيات البريطاني إسحاق نيوتن مؤسس "نظرية تحويلات كريمونا"، إذ طوّر " بنيته العضوية " لإجراء تحويلات ثنائية نسبية على المستوى الإسقاطي، وطبّقها لحلّ حالات التفرد المنحني، وذلك قبل كريمونا بنحو قرنين. ^{[ 2 ] [ 3 ]} كما ساهمت عالمة الرياضيات هيلدا فيبي هدسون في هذا المجال خلال القرن العشرين. ^{[ 4 ]} 

تُعرف مجموعة كريمونا بشكل طبيعي بمجموعة التماثل الذاتي${\displaystyle \mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))}$من مجال الدوال الكسرية في${\displaystyle n}$غير محدد على${\displaystyle k}$هنا، الحقل${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$هو امتداد متعالٍ خالص لـ${\displaystyle k}$بدرجة التجاوز${\displaystyle n}$.

المجموعة الخطية العامة الإسقاطية${\displaystyle \mathrm {PGL} _{n+1}}$يحتوي على${\displaystyle Cr_{n}}$يتساوى الاثنان فقط عندما${\displaystyle n=0}$أو${\displaystyle n=1}$وفي هذه الحالة، يجب أن يكون كل من بسط ومقام التحويل خطيًا. ^{[ 5 ]}

كان سؤال فيديريكو إنريكيس الذي طال أمده يتعلق ببساطة مجموعة كريمونا. وقد تمت الإجابة عليه الآن إلى حد كبير. ^{[ 6 ]}

في بعدين، أظهر ماكس نوثر وغيدو كاستلنوفو أن مجموعة كريومونا المعقدة تتولد بواسطة التحويل التربيعي القياسي${\displaystyle [x:y:z]\mapsto [yz:zx:xy]}$، جنبا إلى جنب مع${\displaystyle \mathrm {PGL} (3,ك)}$على الرغم من وجود بعض الجدل حول صحة براهينهم، فقد قدم جيزاتولين (1983) مجموعة كاملة من العلاقات لهذه المولدات . ولا يزال هيكل هذه المجموعة غير مفهوم تمامًا، على الرغم من وجود العديد من الجهود المبذولة لإيجاد عناصر أو مجموعات فرعية منها.

• أظهر كانتات ولامي (2010) أنه بالنسبة لحقل مغلق جبريًا${\displaystyle k}$المجموعة${\displaystyle Cr_{2}(k)}$الأمر ليس بسيطاً .
• أظهر بلانك (2010) أن طوبولوجيا زاريسكي بسيطة من الناحية الطوبولوجية . ^{[ أ ]}
• للاطلاع على المجموعات الفرعية المنتهية لمجموعة كريمونا، انظر دولجاتشيف وإيسكوفسكيخ (2009) .
• قام زيمرمان (2018) بحساب التحويل الأبلي لـ${\displaystyle Cr_{2}(\mathbb {R} )}$ومن هذا تستنتج أنه لا يوجد نظير لنظرية نوثر-كاستلنوفو في هذا السياق. ^{[ 6 ]}

يُعدّ كلٌّ من التفاف جيزر والتفاف بيرتيني من الالتفافات غير الخطية الكلاسيكية لمجموعة كريمونا المستوية. ^{[ 7 ] [ 8 ]} وهما ينشآن من سطوح ديل بيزو من الدرجة 2 والدرجة 1 على التوالي.

يتم الحصول على التفاف جيزر عن طريق تفجير سبع نقاط من${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$في الوضع العام، مما ينتج عنه سطح ديل بيزو${\displaystyle S}$من الدرجة الثانية. النظام الخطي المضاد للكانونية${\displaystyle |-K_{S}|}$يُعرّف الغطاء المزدوج${\displaystyle S\to \mathbb {P} ^{2}}$متفرعة على مستوى رباعي أملس، وتحويل السطح هو التفاف جيزر. ^{[ 9 ] [ 8 ]} عبر الانهيار${\displaystyle S\to \mathbb {P} ^{2}}$يصبح هذا انقلابًا ثنائيًا منطقيًا للمستوى. كلاسيكيًا، إذا${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{7}}$هي النقاط الأساسية السبع، ثم نقطة عامة${\displaystyle x}$يتم إرسالها إلى النقطة الأساسية التاسعة لحزمة المنحنيات التكعيبية التي تمر عبر${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{7},x}$[ ^{7 ] [ 8 ]} التحويل الناتج عن كريمونا له درجة ^{8. [ 8 ]}

وبالمثل، فإن تفجير ثماني نقاط من${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$في الوضع العام، ينتج سطح ديل بيزو من الدرجة 1. النظام الخطي${\displaystyle |-2K_{S}|}$يُعرّف الغطاء المزدوج للمخروط الرباعي في${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$وتحويل سطحها هو التفاف بيرتيني. ^{[ 9 ] [ 8 ]} من الناحية الكلاسيكية المستوية، إذا${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{8}}$إذا كانت هذه هي النقاط الأساسية، فعندئذٍ بالنسبة لنقطة عامة${\displaystyle x}$ينظر المرء إلى شبكة الجنسانية من خلال${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{8},x}$التي تكون مفردة في${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{8}}$؛ يؤدي انقلاب بيرتيني إلى${\displaystyle x}$إلى النقطة الثابتة لهذه الشبكة. ^{[ 7 ]} درجتها 17. ^{[ 8 ]}

على حقل مغلق جبريًا ذي خاصية مختلفة عن 2، يُظهر برهان بايل وبوفيل الحديث للنظرية الكلاسيكية حول الالتفافات الثنائية النسبية للمستوى أن كل التفاف غير تافه في${\displaystyle \mathrm {Bir} (\mathbb {P} ^{2})}$يكون هذا المنحنى مترافقًا مع واحد فقط من ثلاثة أنواع: انقلاب دي جونكيير، أو انقلاب جيزر، أو انقلاب بيرتيني. ^{[ 7 ]} المنحنى الثابت المعياري لانقلاب جيزر هو منحنى غير زائدي من النوع 3، بينما منحنى انقلاب بيرتيني هو منحنى غير زائدي من النوع 4 يقع نموذجه الأساسي على سطح تربيعي منفرد. ^{[ 7 ]} ونتيجة لذلك، تُحدد فئات الترافق لانقلابات جيزر بواسطة فئات التشاكل لمنحنيات غير زائدية من النوع 3، وتُحدد فئات الترافق لانقلابات بيرتيني بواسطة فئات التشاكل لمنحنيات غير زائدية من النوع 4 يقع نموذجها الأساسي على سطح تربيعي منفرد. ^{[ 7 ]}

لا يُعرف الكثير عن بنية مجموعة كريمونا في ثلاثة أبعاد وما فوقها على الرغم من وصف العديد من عناصرها.

لا يوجد نظير سهل لنظرية نوثر-كاستلنوفو، حيث أظهر هدسون (1927) أن مجموعة كريمونا في البعد 3 على الأقل لا تتولد من عناصرها ذات الدرجة المحدودة بأي عدد صحيح ثابت.

أظهر بلانك (2010) أنه متصل (خطيًا) ، مجيبًا بذلك على سؤال طرحه سير (2010) . وفي وقت لاحق، أظهر بلانك وزيمرمان (2018) أنه لأي حقل لانهائي${\displaystyle k}$المجموعة${\displaystyle Cr_{n}(k)}$تكون بسيطة طوبولوجيًا ^{[ أ ]} بالنسبة لطوبولوجيا زاريسكي ، وحتى بالنسبة للطوبولوجيا الإقليدية عندما${\displaystyle k}$هو حقل محلي .

أثبت بلانك ولامي وزيمرمان (2021) أنه عندما${\displaystyle k}$هو حقل فرعي من الأعداد المركبة و${\displaystyle n\geq 3}$، ثم${\displaystyle Cr_{n}(k)}$ليست مجموعة بسيطة .

زمرة دي جونكيير هي زمرة جزئية من زمرة كريمونا بالشكل التالي. ^{[ 10 ]} اختر أساسًا للتجاوز${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$لتوسيع نطاق المجال${\displaystyle k}$إذن، زمرة دي جونكيير هي الزمرة الجزئية من التشاكلات الذاتية لـ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$رسم خريطة المجال الفرعي${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$بالنسبة للبعض، يصبح الأمر في حد ذاته.${\displaystyle r\leq n}$. لها زمرة جزئية طبيعية معطاة بواسطة زمرة كريمونا للتشاكلات الذاتية لـ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$في الملعب${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$ومجموعة القسمة هي مجموعة كريمونا لـ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$في الملعب${\displaystyle k}$ويمكن اعتبارها أيضًا مجموعة من التشاكلات الثنائية النسبية لحزمة الألياف${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{nr}\to \mathbb {P} ^{r}}$.

متى${\displaystyle n=2}$و${\displaystyle r=1}$مجموعة دي جونكيير هي مجموعة تحويلات كريمونا التي تثبت حزمة من الخطوط تمر بنقطة معينة، وهي حاصل الضرب شبه المباشر لـ${\displaystyle \mathrm {PGL} _ {2}(ك)}$و${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(k(t))}$.