نظرية المجال

في الهندسة الريمانية ، تُقيّد نظرية الكرة ، المعروفة أيضًا بنظرية الكرة ربع المضغوطة ، بشدة طوبولوجيا المشعبات التي تقبل مقاييس ذات حد انحناء معين. والنص الدقيق للنظرية هو كما يلي: إذا${\displaystyle M}$هي مشعب ريماني كامل ، بسيط الاتصال ، ذو أبعاد n ، ويأخذ انحناء مقطعه قيمًا في الفترة${\displaystyle (1,4]}$ثم${\displaystyle M}$متماثلة شكليًا مع الكرة ذات البعد n . (بتعبير أدق، نعني أن انحناء المقطع العرضي لكل مستوى مماس ثنائي الأبعاد عند كل نقطة يجب أن يقع في${\displaystyle (1,4]}$.) طريقة أخرى للتعبير عن النتيجة هي أنه إذا${\displaystyle M}$إذا لم يكن متماثلًا مع الكرة، فمن المستحيل وضع مقياس عليه.${\displaystyle M}$بانحناء ربع مضغوط.

لاحظ أن الاستنتاج خاطئ إذا سُمح لانحناءات القطاعات بأخذ قيم في الفترة المغلقة${\displaystyle [1,4]}$المثال المضاد القياسي هو الفضاء الإسقاطي المركب ذو مقياس فوبيني-ستودي ؛ تأخذ الانحناءات المقطعية لهذا المقياس قيمًا بين${\displaystyle 1}$و${\displaystyle 4}$، مع تضمين نقاط النهاية. ويمكن العثور على أمثلة مضادة أخرى بين الفضاءات المتناظرة من الرتبة الأولى .

لم يخلص البرهان الأصلي لنظرية الكرة إلى أن${\displaystyle M}$كان بالضرورة متماثلًا شكليًا مع الكرة ذات البعد n . ويعود هذا التعقيد إلى أن الكرات في الأبعاد الأعلى تسمح بوجود بنى ملساء غير متماثلة شكليًا. (للمزيد من المعلومات، انظر المقال الخاص بالكرات الغريبة ). مع ذلك، في عام 2007، استخدم سيمون بريندل وريتشارد شوين تدفق ريتشي لإثبات أنه مع الفرضيات المذكورة أعلاه،${\displaystyle M}$هي بالضرورة متماثلة شكليًا مع الكرة ذات البعد n وبنيتها الملساء القياسية. علاوة على ذلك، يعتمد برهان بريندل وشون على فرضية أضعف، وهي فرضية التضييق النقطي بدلًا من التضييق الكلي. تُعرف هذه النتيجة بنظرية الكرة القابلة للتفاضل .

افترض هاينز هوبف أن المشعب المتصل ببساطة ذي الانحناء المقطعي المنضغط هو كرة. ^{[ 1 ]} في عام 1951، أثبت هاري راوخ أن المشعب المتصل ببساطة ذي الانحناء في${\displaystyle [3/4,1]}$^{[ 2} ] متماثلة شكليًا مع الكرة. [3 ^] في عام 1960، أثبت كل من مارسيل بيرغر وويلهلم كلينجنبرغ الصيغة الطوبولوجية لنظرية الكرة مع ثابت الانضغاط الأمثل. ^{[ 4 ]} يناقش بيرغر تاريخ النظرية في كتابه ^" نظرة بانورامية على الهندسة الريمانية" ^{، الذي نُشر لأول مرة} عام 2003. ^{[ 5 ]}

• بريندل، سيمون (2010). تدفق ريتشي ونظرية الكرة . دراسات عليا في الرياضيات. المجلد  111. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . doi : 10.1090/gsm/111 . ISBN 978-0-8218-4938-5MR 2583938​​ 
• بريندل، سيمون؛ شون، ريتشارد (2009). "المتشعبات ذات الانحناء الربع هي أشكال فضائية". مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 22 (1): 287-307 . arXiv : 0705.0766 . Bibcode : 2009JAMS...22..287B . doi : 10.1090/s0894-0347-08-00613-9 . MR 2449060 . 
• بريندل، سيمون؛ شون، ريتشارد (2011). "الانحناء، ونظريات الكرة، وتدفق ريتشي". نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 48 (1): 1-32 . arXiv : 1001.2278 . doi : 10.1090/s0273-0979-2010-01312-4 . MR 2738904 .