لِمَّا الثعبان

تُعدّ مبرهنة الثعبان أداةً تُستخدم في الرياضيات ، وخاصةً في الجبر التماثلي ، لبناء متواليات تامة طويلة . وتُعتبر مبرهنة الثعبان صالحةً في جميع الفئات الأبيلية ، وهي أداةٌ أساسيةٌ في الجبر التماثلي وتطبيقاته، مثل الطوبولوجيا الجبرية . وتُسمى التشاكلات التي تُبنى باستخدامها عمومًا بالتشاكلات الرابطة .

في فئة تبديلية (مثل فئة المجموعات التبديلية أو فئة الفضاءات المتجهة على حقل معين )، ضع في اعتبارك مخططًا تبديليًا :

حيث تمثل الصفوف متواليات تامة ، و0 هو العنصر الصفري .

ثم هناك تسلسل دقيق يربط بين النوى والنوى المساعدة لـ a و b و c : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \ker(f)~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} g'}$$حيث d هو تماثل، يُعرف باسم التماثل الرابط .

علاوة على ذلك، إذا كان التشاكل f أحادي التشاكل ، فإن التشاكل f أحادي التشاكل أيضًا.${\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b}$وإذا كان g' تشاكلاً شاملاً ، فإن g' كذلك${\displaystyle \operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}$.

النوى هنا هي:${\displaystyle \operatorname {coker} a=A'/\operatorname {im} a}$،${\displaystyle \operatorname {coker} b=B'/\operatorname {im} b}$،${\displaystyle \operatorname {coker} c=C'/\operatorname {im} c}$.

لمعرفة من أين استمدت معضلة الثعبان اسمها، قم بتوسيع الرسم البياني أعلاه على النحو التالي:

وبعد ذلك يمكن رسم التسلسل الدقيق الذي يمثل نتيجة اللمة على هذا الرسم التخطيطي الموسع على شكل حرف "S" معكوس لثعبان ينزلق .

تُستنتج التطبيقات بين النوى والتطبيقات بين النوى المشتركة بطريقة طبيعية من التطبيقات المعطاة (الأفقية) نظرًا لخاصية التبادلية في المخطط. وتنتج دقة المتتاليتين المُستنتجتين بشكل مباشر من دقة صفوف المخطط الأصلي. والبيان المهم في هذه اللمة هو أن التشاكل الرابط${\displaystyle d}$يوجد ما يكمل التسلسل الدقيق.

في حالة المجموعات الأبيلية أو الوحدات النمطية فوق حلقة ما ، فإن الخريطة${\displaystyle d}$يمكن بناؤها على النحو التالي:

اختر عنصرًا${\displaystyle x}$في${\displaystyle \operatorname {ker} c}$واعتبره عنصراً من${\displaystyle C}$. منذ${\displaystyle g}$هي شاملة ، يوجد${\displaystyle y}$في${\displaystyle B}$مع${\displaystyle g(y)=x}$بسبب خاصية التبادل في المخطط، لدينا${\displaystyle g'(b(y))=c(g(y))=c(x)=0}$(منذ${\displaystyle x}$موجود في جوهر${\displaystyle c}$وبالتالي${\displaystyle b(y)}$موجود في جوهر${\displaystyle g'}$بما أن الصف السفلي متطابق، فإننا نجد عنصرًا${\displaystyle z}$في${\displaystyle A'}$مع${\displaystyle f'(z)=b(y)}$عن طريق حقن${\displaystyle f'}$،${\displaystyle z}$فريد من نوعه. ثم نحدد${\displaystyle d(x)=z+\operatorname {im} (a)}$والآن يجب التحقق من ذلك${\displaystyle d}$محدد جيدًا (أي،${\displaystyle d(x)}$يعتمد الأمر فقط على${\displaystyle x}$وليس بناءً على اختيار${\displaystyle y}$، أي أنه تماثل، وأن المتتالية الطويلة الناتجة دقيقة بالفعل. يمكن التحقق من الدقة بشكل روتيني عن طريق تتبع المخطط (انظر برهان اللمة 9.1 في ^{[ 2 ]} ).

بمجرد إتمام ذلك، تُثبت النظرية للمجموعات الأبيلية أو الوحدات النمطية على حلقة. أما في الحالة العامة، فيمكن إعادة صياغة الحجة بدلالة خصائص الأسهم والحذف بدلاً من العناصر. أو بدلاً من ذلك، يمكن الاستناد إلى نظرية ميتشل للتضمين .

في التطبيقات، غالباً ما يحتاج المرء إلى إثبات أن المتتاليات التامة الطويلة "طبيعية" (بمعنى التحويلات الطبيعية ). وهذا ينبع من طبيعية المتتالية الناتجة عن مبرهنة الثعبان.

لو

إذا كان لدينا مخطط تبادلي ذو صفوف تامة، فيمكن تطبيق مبرهنة الثعبان مرتين، على "الأمام" وعلى "الخلف"، مما ينتج عنه متتاليتان تامتان طويلتان؛ وترتبط هاتان المتتاليتان بمخطط تبادلي من الشكل التالي:

يترك${\displaystyle k}$كن ميدانياً،${\displaystyle V}$كن${\displaystyle k}$فضاء المتجهات.${\displaystyle V}$يكون${\displaystyle k[t]}$- وحدة بواسطة${\displaystyle t:V\to V}$كونه${\displaystyle k}$التحويل الخطي، لذلك يمكننا استخدام الموتر${\displaystyle V}$و${\displaystyle k}$زيادة${\displaystyle k[t]}$.

$${\displaystyle V\otimes _{k[t]}k=V\otimes _{k[t]}(k[t]/(t))=V/tV=\operatorname {coker} (t).}$$

بافتراض وجود تسلسل دقيق قصير من${\displaystyle k}$- فضاءات متجهة${\displaystyle 0\to M\to N\to P\to 0}$، يمكننا استنتاج تسلسل دقيق${\displaystyle M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$بحسب الدقة الصحيحة لحاصل الضرب الموتري. لكن المتتالية${\displaystyle 0\to M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$ليست دقيقة بشكل عام. ومن هنا يبرز سؤال طبيعي: لماذا لا تكون هذه المتتالية دقيقة؟

وفقًا للرسم البياني أعلاه، يمكننا استنتاج تسلسل دقيق${\displaystyle \ker(t_{M})\to \ker(t_{N})\to \ker(t_{P})\to M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$بتطبيق نظرية الثعبان. وبالتالي، تعكس نظرية الثعبان عدم دقة حاصل الضرب الموتري.

يعتمد مدى صحة معضلة الثعبان في فئة المجموعات على تعريف النواة المشتركة. إذا${\displaystyle f:A\to B}$هو تماثل بين المجموعات، وتتحقق الخاصية العامة للنواة المشتركة بواسطة الخريطة الطبيعية${\displaystyle B\to B/N(\operatorname {im} f)}$، أين${\displaystyle N(\operatorname {im} f)}$هو توحيد صورة${\displaystyle f}$تفشل معضلة الثعبان مع هذا التعريف للنواة المشتركة: لا يزال من الممكن تعريف التشاكل الرابط، ويمكن كتابة متتالية كما في نص معضلة الثعبان. ستكون هذه المتتالية دائمًا عبارة عن مُركب سلسلة، ولكنها قد لا تكون دقيقة تمامًا.

إذا استبدلنا ببساطة النوى المشتركة في عبارة مبرهنة الثعبان بالمجموعات المشاركة (اليمنى)${\displaystyle A'/\operatorname {im} a,B'/\operatorname {im} b,C'/\operatorname {im} c'}$لا تزال اللمة صحيحة. ومع ذلك، فإن نواتج القسمة ليست زمرًا، بل مجموعات مُشار إليها (متتالية قصيرة).${\displaystyle (X,x)\to (Y,y)\to (Z,z)}$مجموعات ذات نقاط مع خرائط${\displaystyle f:X\to Y}$و${\displaystyle g:Y\to Z}$يُطلق عليه اسم دقيق إذا${\displaystyle f(X)=g^{-1}(z)}$).

يتم شرح برهان معضلة الثعبان من قبل شخصية جيل كلايبورغ في بداية فيلم It's My Turn لعام 1980. ^{[ 4 ]}

• معضلة متعرجة

• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية الثعبان" . عالم الرياضيات .
• معضلة الثعبان في المختبر ن
• دليل على نظرية الثعبان في فيلم " حان دوري"