الهندسة المتصلة

في الرياضيات، تُعدّ الهندسة المتصلة نظيرًا للهندسة الإسقاطية المعقدة التي قدمها فون نيومان ( 1936 ، 1998 ) ، حيث يكون بُعد الفضاء الجزئي في مجموعة منفصلة بدلاً من مجموعة منفصلة. ${\displaystyle 0,1,\dots ,{\textit {n}}}$، يمكن أن يكون عنصرًا من عناصر الفترة 1${\displaystyle [0,1]}$. كان فون نيومان مدفوعًا باكتشافه لجبر فون نيومان مع دالة البعد التي تأخذ نطاقًا مستمرًا من الأبعاد، وكان أول مثال على الهندسة المستمرة بخلاف الفضاء الإسقاطي هو إسقاطات عامل النوع الثاني الفائق .

قدّم مينجر وبيركوف بديهيات للهندسة الإسقاطية بدلالة شبكة الفضاءات الخطية الفرعية للفضاء الإسقاطي. وتُعدّ بديهيات فون نيومان للهندسة المتصلة شكلاً مُخفّفاً من هذه البديهيات.

الهندسة المتصلة هي شبكة L ذات الخصائص التالية

• L معياري .​
• L مكتملة .​
• تحقق عمليات الشبكة ∧ و ∨ خاصية استمرارية معينة،

  ${\displaystyle {\Big (}\bigwedge _{\alpha \in A}a_{\alpha }{\Big )}\lor b=\bigwedge _{\alpha }(a_{\alpha }\lor b)}$، حيث A هي مجموعة موجهة وإذا كان α < β فإن a _α < a _β ، ونفس الشرط مع عكس ∧ و ∨.

• لكل عنصر في L مكمل (ليس بالضرورة وحيدًا). ​​مكمل العنصر a هو عنصر b حيث a ∧ b = 0 و a ∨ b = 1 ، حيث 0 و 1 هما أصغر وأكبر عنصرين في L.
• L غير قابلة للاختزال: هذا يعني أن العناصر الوحيدة ذات المكملات الفريدة هي 0 و 1.

• الفضاء الإسقاطي المركب ذو الأبعاد المحدودة، أو بالأحرى مجموعة الفضاءات الفرعية الخطية التابعة له، هو هندسة متصلة، حيث تأخذ الأبعاد قيمًا في المجموعة المنفصلة${\displaystyle \{0,1/{\textit {n}}\,,2/{\textit {n}}\,,\dots ,1\}}$
• تشكل إسقاطات جبر فون نيومان من النوع الثاني المحدود هندسة متصلة ذات أبعاد تأخذ قيمًا في الفترة [0، 1].${\displaystyle [0,1]}$.
• أظهر كابلانسكي (1955) أن أي شبكة نمطية كاملة متعامدة هي هندسة متصلة.
• إذا كان V فضاءً متجهيًا فوق حقل (أو حلقة قسمة ) F ، فإنه يوجد تطبيق طبيعي من شبكة PG( V ) للفضاءات الجزئية من V إلى شبكة الفضاءات الجزئية لـ${\displaystyle V\otimes F^{2}}$وهذا يضاعف الأبعاد بمقدار 2. لذا يمكننا أخذ نهاية مباشرة لـ

${\displaystyle PG(F)\subset PG(F^{2})\subset PG(F^{4})\subset PG(F^{8})\cdots }$

يحتوي هذا على دالة بُعد تأخذ قيمًا جميع الأعداد النسبية الثنائية بين 0 و1. وإكماله عبارة عن هندسة متصلة تحتوي على عناصر من كل بُعد في${\displaystyle [0,1]}$تم بناء هذه الهندسة بواسطة فون نيومان (1936ب) ، وتسمى الهندسة المتصلة على F

يلخص هذا القسم بعض نتائج فون نيومان (1998 ، الجزء الأول) . وتتشابه هذه النتائج مع عمل فون نيومان حول الإسقاطات في جبر فون نيومان، وقد استُلهمت منه.

يُطلق على عنصرين a و b من L اسم "منظورين" ، ويُكتب a ∼ b ، إذا كان لهما مُكمِّل مشترك. هذه علاقة تكافؤ على L ؛ وإثبات أنها متعدية أمرٌ صعبٌ للغاية.

تتمتع فئات التكافؤ A و B و ... في L بترتيب كلي عليها يُعرَّف كالتالي: A ≤ B إذا وُجد عنصر a في A وعنصر b في B بحيث يكون a ≤ b . (لا يشترط أن يتحقق هذا الشرط لجميع عناصر a في A و b في B ).

يتم تعريف دالة البعد D من L إلى الفترة 1 على النحو التالي.

• إذا احتوت فئتا التكافؤ A و B على العنصرين a و b حيث a ∧ b = 0، فإن مجموعهما A + B يُعرَّف بأنه فئة التكافؤ للعنصرين a ∨ b . وإلا، فإن المجموع A + B غير مُعرَّف. بالنسبة لعدد صحيح موجب n ، يُعرَّف حاصل ضرب nA بأنه مجموع n نسخة من A ، إذا كان هذا المجموع مُعرَّفًا.
• بالنسبة لفئات التكافؤ A و B حيث A ليس {0} ، يتم تعريف العدد الصحيح [ B  : A ] على أنه العدد الصحيح الوحيد n ≥ 0 بحيث B = nA + C مع C < B.
• بالنسبة لفئات التكافؤ A و B حيث A ليست {0}، يتم تعريف العدد الحقيقي ( B  : A ) على أنه نهاية [ B  : C ] / [ A  : C ] عندما تمر C عبر سلسلة دنيا: وهذا يعني إما أن C تحتوي على عنصر غير صفري أدنى، أو سلسلة لانهائية من العناصر غير الصفرية التي يكون كل منها على الأكثر نصف العنصر السابق.
• يتم تعريف D ( a ) على أنه ({ a }  : {1}) ، حيث { a } و {1} هما فئتي التكافؤ اللتين تحتويان على a و 1.

يمكن أن تكون صورة D هي فترة الوحدة الكاملة، أو مجموعة الأرقام${\displaystyle 0,1/{\textit {n}}\,,2/{\textit {n}}\,,\dots ,1}$لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة n . عنصران من L لهما نفس الصورة تحت D إذا وفقط إذا كانا منظورين، لذا فهي تعطي تمثيلاً أحاديًا من فئات التكافؤ إلى مجموعة جزئية من الفترة 1. دالة البعد D لها الخصائص التالية:

• إذا كان a < b فإن D ( a ) < D ( b )
• D ( a ∨ b ) + D ( a ∧ b ) = D ( a ) + D ( b )
• تكون قيمة D ( a ) تساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت a تساوي صفرًا ، وتكون قيمة D ( a ) تساوي واحدًا إذا وفقط إذا كانت a تساوي واحدًا.
• 0 ≤ D ( a ) ≤ 1

في الهندسة الإسقاطية، تنص نظرية فيبلين-يونغ على أن الهندسة الإسقاطية ذات البعد 3 على الأقل متماثلة مع الهندسة الإسقاطية لفضاء متجهي فوق حلقة قسمة. ويمكن إعادة صياغة ذلك بالقول إن الفضاءات الجزئية في الهندسة الإسقاطية تُقابل المُثُل العليا اليمنى الرئيسية لجبر المصفوفات فوق حلقة قسمة.

عمّم فون نيومان هذا المفهوم ليشمل الهندسات المتصلة، وبشكل أعم، الشبكات المعيارية المكملة، كما يلي ( فون نيومان، 1998 ، الجزء الثاني) . تنص نظريته على أنه إذا كانت الشبكة المعيارية المكملة L من الرتبة 4 على الأقل، فإن عناصر L تُقابل المُثُل العليا اليمنى الرئيسية لحلقة فون نيومان المنتظمة . بتعبير أدق، إذا كانت الشبكة من الرتبة n، فيمكن اعتبار حلقة فون نيومان المنتظمة حلقة مصفوفات من الرتبة n × n _، Mn ( R )، فوق حلقة فون نيومان منتظمة أخرى R. هنا ، تكون الشبكة المعيارية المكملة من الرتبة n إذا كان لها أساس متجانس من n عنصرًا، حيث الأساس هو n عنصرًا a₁ _, ..., an بحيث يكون _aᵢ ∧ _aⱼ = 0 إذا كان i ≠ j ، و a₁ _∨ ... ∨ an ₌ 1 ، ويُسمى الأساس متجانسًا إذا كان أي عنصرين منه متناظرين _. لا يشترط أن تكون رتبة الشبكة فريدة؛ على سبيل المثال، أي شبكة لها رتبة 1. يتوافق الشرط الذي ينص على أن رتبة الشبكة لا تقل عن 4 مع الشرط الذي ينص على أن البعد لا يقل عن 3 في نظرية فيبلين-يونغ، حيث أن الفضاء الإسقاطي له بعد لا يقل عن 3 إذا وفقط إذا كان لديه مجموعة من 4 نقاط مستقلة على الأقل.

وعلى العكس من ذلك، فإن المثاليات اليمينية الرئيسية لحلقة فون نيومان المنتظمة تشكل شبكة نمطية مكملة ( فون نيومان 1998 ، الجزء الثاني، النظرية 2.4) .

لنفترض أن R حلقة منتظمة من نوع فون نيومان، و L شبكة من المُثُل الرئيسية اليمنى، بحيث تكون L شبكة نمطية مُكمّلة. وقد أثبت نيومان أن L هندسة متصلة إذا وفقط إذا كانت R حلقة كاملة غير قابلة للاختزال .

• بيركوف، غاريت (1979) [1940]، نظرية الشبكة ، منشورات ندوة الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد  25 (  الطبعة الثالثة)، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-1025-5، MR 0598630 
• فوفانوفا، تي إس (2001) [1994]، "الشبكة التقويمية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• هالبرين، إسرائيل (1960)، "مقدمة في جبر فون نيومان والهندسة المتصلة"، النشرة الرياضية الكندية ، 3 (3): 273-288 ، doi : 10.4153/CMB-1960-034-5 ، ISSN 0008-4395 ، MR 0123923  
• هالبرين، إسرائيل (1985)، "مراجعة الكتب: مسح لكتب جون فون نيومان في الهندسة المتصلة"، أوردر ، 1 (3): 301-305 ، doi : 10.1007/BF00383607 ، ISSN 0167-8094 ، MR 1554221 ، S2CID 122594481   
• كابلانسكي، إيرفينغ (1955)، "أي شبكة نمطية كاملة متعامدة هي هندسة متصلة"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 61 (3): 524-541 ، doi : 10.2307/1969811 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1969811 ، MR 0088476   
• فون نيومان، جون (1936)، "الهندسة المتصلة"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية ، 22 (2): 92-100 ، Bibcode : 1936PNAS...22...92N ، doi : 10.1073/pnas.22.2.92 ، ISSN 0027-8424 ، JSTOR 86390 ، PMC 1076712 ، PMID 16588062 ، Zbl 0014.22307     
• فون نيومان، جون (1936ب)، "أمثلة على الهندسات المتصلة"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة الأمريكية ، 22 (2): 101-108 ، Bibcode : 1936PNAS...22..101N ، doi : 10.1073/pnas.22.2.101 ، JFM 62.0648.03 ، JSTOR 86391 ، PMC 1076713 ، PMID 16588050    
• فون نيومان، جون (1998) [1960]، الهندسة المتصلة ، معالم برينستون في الرياضيات، مطبعة جامعة برينستون ، ISBN 978-0-691-05893-1، MR 0120174 
• فون نيومان، جون (1962)، تاوب، أ.هـ. (محرر)، الأعمال الكاملة. المجلد الرابع: الهندسة المتصلة ومواضيع أخرى ، أكسفورد: مطبعة بيرغامون، MR 0157874 
• فون نيومان، جون (1981) [1937]، "الهندسات المتصلة ذات احتمالية الانتقال" ، في هالبرين، إسرائيل (محرر)، مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية ، المجلد  34، ISBN 978-0-8218-2252-4ISSN 0065-9266 ، MR 0634656​  
• سكورنياكوف، إل إيه (1964)، الشبكات المعيارية المكملة والحلقات المنتظمة ، لندن: أوليفر وبويد، MR 0166126