مساحة قابلة للانكماش

في الرياضيات ، يُقال عن الفضاء الطوبولوجي X أنه قابل للانكماش إذا كانت دالة التطابق عليه متماثلة صفرية، أي إذا كانت متماثلة مع دالة ثابتة ما . ^{[ 1 ] [ 2 ]} وبشكل بديهي، فإن الفضاء القابل للانكماش هو الفضاء الذي يمكن تقليصه باستمرار إلى نقطة داخله.

الفضاء القابل للانكماش هو تحديدًا الفضاء الذي يمتلك نوع التماثل لنقطة. وبناءً على ذلك، فإن جميع زمر التماثل للفضاء القابل للانكماش تكون تافهة . لذا، لا يمكن لأي فضاء ذي زمرة تماثل غير تافهة أن يكون قابلاً للانكماش. وبالمثل، بما أن التماثل المفرد ثابت تماثلي، فإن زمر التماثل المختزلة للفضاء القابل للانكماش تكون جميعها تافهة.

بالنسبة للفضاء الطوبولوجي غير الفارغ X، فإن ما يلي متكافئ:

• X قابل للانكماش (أي أن خريطة التطابق متماثلة صفرية).
• X مكافئ تماثليًا لفضاء ذي نقطة واحدة.
• ينكمش التشوه X إلى نقطة. (ومع ذلك، توجد مساحات قابلة للانكماش لا تنكمش بقوة إلى نقطة.)
• بالنسبة لأي فضاء متصل بالمسار Y ، فإن أي دالتين f و g : X → Y متماثلتان.
• لأي فضاء غير فارغ Y ، فإن أي تطبيق f : Y → X يكون متماثلًا صفريًا.

المخروط على الفضاء X قابل للانكماش دائمًا. لذلك يمكن تضمين أي فضاء في فضاء قابل للانكماش (مما يوضح أيضًا أن الفضاءات الفرعية للفضاءات القابلة للانكماش ليست بالضرورة قابلة للانكماش) .

علاوة على ذلك، يكون X قابلاً للانكماش إذا وفقط إذا كان هناك انكماش من مخروط X إلى X.

كل فضاء قابل للانكماش يكون متصلاً مسارياً ومتصلاً ببساطة . علاوة على ذلك، بما أن جميع مجموعات التماثل العليا تتلاشى، فإن كل فضاء قابل للانكماش يكون متصلاً من الرتبة n لجميع قيم n ≥ 0.

يُقال عن الفضاء الطوبولوجي X أنه قابل للانكماش محليًا عند النقطة x إذا كان لكل جوار U للنقطة x يوجد جوار V للنقطة x مُحتوى في U بحيث يكون احتواء V متجانسًا صفريًا في U. ويُقال عن الفضاء أنه قابل للانكماش محليًا إذا كان قابلًا للانكماش محليًا عند كل نقطة. يُشار إلى هذا التعريف أحيانًا باسم "القابل للانكماش محليًا من منظور الطوبولوجي الهندسي"، على الرغم من أن هذا هو الاستخدام الأكثر شيوعًا للمصطلح. في كتاب هاتشر القياسي في الطوبولوجيا الجبرية، يُشار إلى هذا التعريف باسم "القابل للانكماش محليًا بشكل ضعيف"، على الرغم من أن لهذا المصطلح استخدامات أخرى. ^{[ 3 ]}

إذا كانت لكل نقطة قاعدة محلية من الجوارات القابلة للانكماش، فإننا نقول إن X قابل للانكماش محليًا بقوة . الفضاءات القابلة للانكماش ليست بالضرورة قابلة للانكماش محليًا، والعكس صحيح. على سبيل المثال، فضاء المشط قابل للانكماش ولكنه ليس قابلًا للانكماش محليًا (لو كان كذلك، لكان متصلًا محليًا، وهو ليس كذلك). الفضاءات القابلة للانكماش محليًا متصلة محليًا من الرتبة n لجميع قيم n ≥ 0. على وجه الخصوص، هي متصلة ببساطة محليًا ، ومتصلة مساريًا محليًا ، ومتصلة محليًا . الدائرة قابلة للانكماش محليًا (بقوة) ولكنها ليست قابلة للانكماش.

إن خاصية الانكماش المحلي القوي هي خاصية أقوى بكثير من خاصية الانكماش المحلي؛ والأمثلة المضادة معقدة، وأولها قدمها بورسوك ومازوركيويتش في ورقتهم البحثية " Sur les rétractes absolus indécomposables" ( CR. Acad. Sci. Paris 199 (1934), 110-112).

يوجد بعض الاختلاف حول التعريف "المعياري" للانكماش الموضعي ؛ فالتعريف الأول هو الأكثر شيوعًا في الطوبولوجيا الهندسية، لا سيما تاريخيًا، بينما يتوافق التعريف الثاني بشكل أفضل مع الاستخدام الشائع لمصطلح "موضعي" فيما يتعلق بالخصائص الطوبولوجية. لذا، ينبغي توخي الحذر دائمًا عند تفسير النتائج المتعلقة بهذه الخصائص، مع مراعاة التعريفات.

• أي فضاء إقليدي قابل للانكماش، وكذلك أي مجال نجمي على فضاء إقليدي.
• مشعب وايتهيد قابل للانقباض.
• الكرات ذات الأبعاد المحدودة غير قابلة للانكماش، على الرغم من أنها متصلة ببساطة في بُعد لا يقل عن 2.
• الكرة الوحدوية في فضاء هيلبرت ذي الأبعاد اللانهائية قابلة للانكماش .
• المنزل المكون من غرفتين هو مثال نموذجي على مساحة قابلة للتقليص، ولكن ليس بشكل بديهي.
• قبعة الغبي قابلة للانكماش، لكنها غير قابلة للطي .
• إن المخروط الموجود على قرط هاواي قابل للانكماش (لأنه مخروط)، ولكنه ليس قابلاً للانكماش محليًا أو حتى متصلًا ببساطة محليًا.
• جميع المتشعبات ومجمعات CW قابلة للانكماش محليًا ، ولكنها بشكل عام غير قابلة للانكماش.
• تُحصل دائرة وارسو عن طريق "إغلاق" منحنى الجيب الطوبولوجي بقوس يصل بين النقطتين (0، -1 ) و(1، sin(1)). وهي عبارة عن متصل أحادي البعد، جميع زمر التماثل فيه تافهة، ولكنه غير قابل للانكماش.

• كرة رباعية وهمية – متعدد الشعب الطوبولوجي الرياضي