مساحة متصلة

الفضاءات الفرعية المتصلة والمنفصلة لـ R ²

من الأعلى إلى الأسفل: الفضاء الأحمر A ، والفضاء الوردي B ، والفضاء الأصفر C ، والفضاء البرتقالي D جميعها فضاءات متصلة ، بينما الفضاء الأخضر E (المكون من المجموعات الفرعية E1 ، وE2 _{، و} E3 _، وE4 ₎ فضاء غير متصل . علاوة على ذلك، فإن A و B متصلان اتصالاً بسيطاً ( الجنس 0)، بينما C و D غير متصلين: C من الجنس 1 و D من الجنس 4.

في علم الطوبولوجيا والفروع ذات الصلة بالرياضيات ، يُعرَّف الفضاء المتصل بأنه فضاء طوبولوجي لا يمكن تمثيله كاتحاد مجموعتين أو أكثر من المجموعات الفرعية المفتوحة غير الفارغة المنفصلة . وتُعدّ خاصية الاتصال إحدى الخصائص الطوبولوجية الرئيسية التي تميز الفضاءات الطوبولوجية.

مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$هومجموعة متصلة إذا كانت فضاءً متصلاً عند النظر إليهاكفضاء جزئيمن${\displaystyle X}$.

ومن الشروط ذات الصلة ولكن الأقوى: الاتصال المساري ، والاتصال البسيط ، و${\displaystyle n}$-متصلة . وهناك مفهوم آخر ذو صلة وهو متصل محليًا ، وهو مفهوم لا يستلزم الاتصال ولا يتبعه.

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يقال إنهتكون المجموعة منفصلة إذا كانت اتحاد مجموعتين مفتوحتين غير فارغتين منفصلتين. وإلا،${\displaystyle X}$يُقال إن مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي متصلة إذا كانت متصلة في ظل طوبولوجيا الفضاء الجزئي الخاص بها. يستثني بعض المؤلفين المجموعة الفارغة (بطوبوليتها الفريدة) من الفضاءات المتصلة، لكن هذه المقالة لا تتبع هذا النهج.

تاريخياً، هذه الصياغة الحديثة لمفهوم الترابط (من حيث عدم وجود تقسيم لـ${\displaystyle X}$ظهرت هذه الدراسة (في مجموعتين منفصلتين) لأول مرة (بشكل مستقل) مع كل من إن جيه لينس، وفريجيس ريسز ، وفيليكس هاوسدورف في بداية القرن العشرين. انظر ( وايلدر 1978 ) لمزيد من التفاصيل.

يُعرّف الترابط علاقة التكافؤ بالمعنى التالي: بالنظر إلى نقطتين${\displaystyle x,y}$في فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$نكتب${\displaystyle x\sim y}$لو${\displaystyle x,y}$ينتميان إلى نفس المجموعة الفرعية المتصلة. ثم هذا${\displaystyle \sim }$^{[ 2 ]} هي علاقة تكافؤ.

• الفترة المغلقة${\displaystyle [0,2)}$في طوبولوجيا الفضاء الجزئي القياسية ، تكون متصلة؛ على الرغم من أنه يمكن كتابتها، على سبيل المثال، كاتحاد لـ${\displaystyle [0,1)}$و${\displaystyle [1,2),}$المجموعة الثانية ليست مفتوحة في الطوبولوجيا المختارة لـ${\displaystyle [0,2).}$
• اتحاد${\displaystyle [0,1)}$و${\displaystyle (1,2]}$غير متصل؛ كلا الفترتين مفتوحتان في الفضاء الطوبولوجي القياسي${\displaystyle [0,1)\cup (1,2].}$
• ${\displaystyle (0,1)\cup \{3\}}$غير متصل.
• المساحة${\displaystyle X=\{a,b\}}$مع الطوبولوجيا غير المنفصلة، ​​تكون متصلة، لأن مجموعاتها المفتوحة الوحيدة هي${\displaystyle \varnothing }$و${\displaystyle X}$.
• الفضاء الفرعي${\displaystyle Y=[-1,0)\cup (0,1]\subset \mathbb {R} }$غير متصلة. في الواقع، المجموعات${\displaystyle [-1,0)}$و${\displaystyle (0,1]}$تكون غير فارغة، ومنفصلة، ​​ومفتوحة في طوبولوجيا الفضاء الجزئي على${\displaystyle Y}$، وتشكلان معًا فصلًا لـ${\displaystyle Y}$.
• مجموعة فرعية محدبة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$متصل؛ إنه في الواقع متصل ببساطة .
• مستوى إقليدي باستثناء نقطة الأصل،${\displaystyle (0,0),}$الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد بدون نقطة الأصل متصل، بل ومتصل اتصالاً بسيطاً. في المقابل، الفضاء الإقليدي أحادي البعد بدون نقطة الأصل غير متصل.
• المستوى الإقليدي الذي تم إزالة خط مستقيم منه غير متصل لأنه يتكون من نصفين مستويين.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$، فضاء الأعداد الحقيقية ذو الطوبولوجيا المعتادة، متصل.
• تم فصل خط سورجنفري . ^{[ 5 ]}
• إذا تم إزالة نقطة واحدة فقط من${\displaystyle \mathbb {R} }$أما الباقي فيكون منفصلاً. ومع ذلك، إذا أُزيل عدد لا نهائي قابل للعد من النقاط من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، أين${\displaystyle n\geq 2,}$الباقي متصل. إذا${\displaystyle n\geq 3}$، ثم${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يبقى متصلاً ببساطة بعد إزالة عدد لا يحصى من النقاط.
• أي فضاء متجهي طوبولوجي ، مثل أي فضاء هيلبرت أو فضاء باناخ ، فوق حقل متصل (مثل${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} }$), متصل ببساطة.
• كل فضاء طوبولوجي منفصل يحتوي على عنصرين على الأقل يكون منفصلاً، بل هو في الواقع منفصل تماماً . وأبسط مثال على ذلك هو فضاء النقطتين المنفصل . ^{[ 6 ]}
• من جهة أخرى، قد تكون مجموعة منتهية متصلة. على سبيل المثال، يتكون طيف حلقة التقييم المنفصلة من نقطتين وهو متصل. وهو مثال على فضاء سيربينسكي .
• مجموعة كانتور منفصلة تمامًا؛ نظرًا لأن المجموعة تحتوي على عدد لا يحصى من النقاط، فإن لها عددًا لا يحصى من المكونات.
• إذا كانت هناك مساحة${\displaystyle X}$إذا كان التماثل مكافئًا لفضاء متصل،${\displaystyle X}$وهي متصلة بنفسها.
• يُعد منحنى الجيب الطوبولوجي مثالاً على مجموعة متصلة ولكنها ليست متصلة مسارياً ولا متصلة محلياً.
• المجموعة الخطية العامة${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$(أي مجموعة${\displaystyle n}$-بواسطة-${\displaystyle n}$تتكون المصفوفات الحقيقية القابلة للعكس من عنصرين متصلين: أحدهما بمصفوفات ذات محدد موجب والآخر بمحدد سالب. على وجه الخصوص، فهي غير متصلة. في المقابل،${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$متصلة. وبشكل أعم، فإن مجموعة المؤثرات المحدودة القابلة للعكس على فضاء هيلبرت المركب متصلة.
• ترتبط أطياف الحلقات المحلية التبادلية والمجالات التكاملية. وبشكل أعم، فإن ما يلي متكافئ ^{[ 7 ]}
  1. طيف الحلقة التبادلية${\displaystyle R}$متصل
  2. كل وحدة إسقاطية مولدة بشكل نهائي على${\displaystyle R}$له رتبة ثابتة.
  3. ${\displaystyle R}$ليس لديه خاصية التكرار${\displaystyle \neq 0,1}$(أي،${\displaystyle R}$(ليس ناتج ضرب حلقتين بطريقة غير تافهة).

من أمثلة الفضاء غير المتصل المستوى الذي حُذف منه خط لانهائي. ومن الأمثلة الأخرى على الفضاءات المنفصلة (أي الفضاءات غير المتصلة) المستوى الذي أُزيلت منه حلقة ، وكذلك اتحاد قرصين مغلقين منفصلين ، حيث تحمل جميع الأمثلة الواردة في هذه الفقرة طوبولوجيا الفضاء الجزئي المستحثة بواسطة الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد.

أيُعدّ الفضاء المتصل بالمسارات مفهومًا أقوى للاتصال، إذ يتطلب بنية مسار. مسار من نقطة${\displaystyle x}$إلى حد ما${\displaystyle y}$في فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$هي دالة متصلة${\displaystyle f}$من الفترة 1${\displaystyle [0,1]}$ل${\displaystyle X}$مع${\displaystyle f(0)=x}$و${\displaystyle f(1)=y}$أ.مكون المسار لـ${\displaystyle X}$هي فئة تكافؤ من${\displaystyle X}$بموجب علاقة التكافؤ التي تجعل${\displaystyle x}$ما يعادل${\displaystyle y}$إذا وفقط إذا كان هناك مسار من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y}$[ ^{8 ]} الفضاء^​${\displaystyle X}$يُقال إنها متصلة مسارياً (أو متصلة مسارياً أو${\displaystyle \mathbf {0} }$(متصل ) إذا كان هناك مكون مسار واحد فقط. ^{[ 9 ]}

أو بعبارة أخرى، أحد مكونات المسار لـ${\displaystyle X}$هي مجموعة فرعية متصلة بمسار أقصى من${\displaystyle X}$(لرؤية التكافؤ، لاحظ أن مكون المسار بالمعنى السابق متصل بالمسار). ^{[ 10 ]}

كل مساحة متصلة بمسار متصلة. ^{[ 11 ]} لكن العكس ليس صحيحًا دائمًا: من أمثلة المساحات المتصلة التي ليست متصلة بمسار الخط الطويل الممتد${\displaystyle L^{*}}$ومنحنى الجيب الخاص بعالم الطوبولوجيا .

مجموعات جزئية من خط الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$تكون هذه المجموعات الفرعية متصلة إذا وفقط إذا كانت متصلة مسارياً؛ وهذه المجموعات الفرعية هي الفترات والأشعة من${\displaystyle \mathbb {R} }$كذلك، المجموعات الفرعية المفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$أو${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$تكون العناصر متصلة إذا وفقط إذا كانت متصلة مسارياً. بالإضافة إلى ذلك، فإن الاتصال والاتصال المساري متماثلان بالنسبة للفضاءات الطوبولوجية المحدودة . ^{[ 12 ]}

مساحة${\displaystyle X}$يُقال إن الشبكة متصلة بالقوس أو متصلة بشكل قوسي إذا أمكن ربط أي نقطتين متميزتين طوبولوجيًا بقوس ، وهو ما يُعرف بالتضمين.${\displaystyle f:[0,1]\to X}$. أحد مكونات القوس من${\displaystyle X}$هي مجموعة فرعية متصلة بقوس أقصى من${\displaystyle X}$أو بشكل مكافئ فئة تكافؤ لعلاقة التكافؤ التي تحدد ما إذا كان من الممكن ربط نقطتين بقوس أو بمسار تكون نقاطهما غير قابلة للتمييز من الناحية الطوبولوجية.

كل فضاء هاوسدورف متصل مساريًا يكون متصلًا قوسيًا أيضًا؛ ^{[ 13 ]} وبشكل أعم، هذا صحيح بالنسبة لـ${\displaystyle \Delta }$فضاء هاوسدورف هو فضاء تكون فيه كل صورة لمسار ما مغلقة. مثال على فضاء متصل بالمسارات ولكنه غير متصل بالأقواس هو الخط ذو الأصلين ؛ نسختيه من${\displaystyle 0}$يمكن ربطها بمسار ولكن ليس بقوس.

لا يمكن تطبيق الحدس الخاص بالفضاءات المتصلة بالمسارات بسهولة على الفضاءات المتصلة بالأقواس. لنفترض${\displaystyle X}$ليكن الخط ذو الأصلين . فيما يلي حقائق تنطبق نظائرها على الفضاءات المتصلة بالمسارات، ولكنها لا تنطبق على الفضاءات المتصلة بالأقواس:

• قد لا تكون الصورة المستمرة للفضاء المتصل بالقوس متصلة بالقوس: على سبيل المثال، لا يمكن أن تكون خريطة القسمة من فضاء متصل بالقوس إلى خارج قسمته مع عدد قابل للعد (2 على الأقل) من النقاط المميزة طوبولوجيًا متصلة بالقوس بسبب صغر عدد العناصر.
• قد لا تكون مكونات القوس منفصلة. على سبيل المثال،${\displaystyle X}$يحتوي على مكونين قوسيين متداخلين.
• قد لا يكون فضاء المنتج المتصل بالأقواس ناتجًا عن فضاءات متصلة بالأقواس. على سبيل المثال،${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$متصل بقوس كهربائي، ولكن${\displaystyle X}$ليس كذلك.
• قد لا تكون مكونات القوس في فضاء المنتج ناتجة عن مكونات القوس في الفضاءات الهامشية. على سبيل المثال،${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$له مكون قوس واحد، لكن${\displaystyle X}$له مكونان قوسيان.
• إذا كانت المجموعات الفرعية المتصلة بالأقواس تحتوي على تقاطع غير فارغ، فقد لا يكون اتحادها متصلاً بالأقواس. على سبيل المثال، مكونات القوس لـ${\displaystyle X}$يتقاطعان، لكن اتحادهما ليس متصلاً بقوس.

يُقال إن الفضاء الطوبولوجي متصل محليًا عند نقطة ما${\displaystyle x}$إذا كان كل حي من أحياء${\displaystyle x}$يحتوي على جوار مفتوح متصل. يكون متصلاً محلياً إذا كان لديه قاعدة من المجموعات المتصلة. يمكن إثبات أن الفضاء${\displaystyle X}$تكون متصلة محليًا إذا وفقط إذا كان كل مكون من مكونات كل مجموعة مفتوحة من${\displaystyle X}$مفتوح.

وبالمثل، يُقال إن الفضاء الطوبولوجيتكون المجموعة متصلة مسارياً محلياً إذا كانت قاعدتها من مجموعات متصلة مسارياً. وتكون المجموعة الفرعية المفتوحة من فضاء متصل مسارياً محلياً متصلة إذا وفقط إذا كانت متصلة مسارياً. وهذا يعمم العبارة السابقة حول${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$كل منها متصل محلياً عبر المسار. وبشكل أعم، فإن أي مشعب طوبولوجي يكون متصلاً محلياً عبر المسار.

لا يعني الاتصال المحلي بالضرورة الاتصال، ولا يعني الاتصال عبر المسار المحلي بالضرورة الاتصال عبر المسار. مثال بسيط على فضاء متصل محليًا (ومتصل عبر المسار محليًا) ولكنه غير متصل (أو غير متصل عبر المسار) هو اتحاد فترتين منفصلتين في${\displaystyle \mathbb {R} }$، مثل${\displaystyle (0,1)\cup (2,3)}$.

يُعدّ منحنى الجيب الطوبولوجي مثالًا كلاسيكيًا على الفضاء المتصل غير المتصل محليًا ، والذي يُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}}$، مع الطوبولوجيا الإقليدية الناتجة عن الإدراج في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

تقاطع المجموعات المتصلة ليس بالضرورة أن يكون متصلاً .

اتحاد المجموعات المتصلة ليس بالضرورة أن يكون متصلاً، كما يتضح من خلال النظر في${\displaystyle X=(0,1)\cup (1,2)}$.

كل قطع ناقص عبارة عن مجموعة متصلة، لكن الاتحاد ليس متصلاً، لأنه يمكن تقسيمه إلى مجموعتين مفتوحتين منفصلتين${\displaystyle U}$و${\displaystyle V}$.

هذا يعني أنه إذا كان الاتحاد${\displaystyle X}$إذا تم فصل الاتصال، فسيتم تجميع البيانات${\displaystyle \{X_{i}\}}$يمكن تقسيمها إلى مجموعتين فرعيتين، بحيث تكون اتحادات المجموعات الفرعية منفصلة ومفتوحة في${\displaystyle X}$(انظر الصورة). وهذا يعني أنه في حالات عديدة، يكون اتحاد المجموعات المتصلة متصلاً بالضرورة. على وجه الخصوص:

1. إذا لم يكن التقاطع المشترك لجميع المجموعات فارغًا (${\textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset }$إذا كان لدينا مجموعتان متصلتان بتقاطع غير فارغ، فمن الواضح أنه لا يمكن تقسيمهما إلى مجموعات ذات اتحادات منفصلة . وبالتالي، فإن اتحاد المجموعات المتصلة ذات التقاطع غير الفارغ يكون متصلاً.
2. إذا لم يكن تقاطع كل زوج من المجموعات فارغًا (${\displaystyle \forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset }$) ثم مرة أخرى لا يمكن تقسيمها إلى مجموعات ذات اتحادات منفصلة، ​​لذلك يجب أن يكون اتحادها متصلاً.
3. إذا أمكن ترتيب المجموعات كسلسلة متصلة، أي مفهرسة بمؤشرات عددية صحيحة و${\displaystyle \forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset }$إذن، لا بد أن يكون اتحادهما مرتبطاً.
4. If the sets are pairwise-disjoint and the quotient space${\displaystyle X/\{X_{i}\}}$ is connected, then X must be connected. Otherwise, if ${\displaystyle U\cup V}$ is a separation of X then ${\displaystyle q(U)\cup q(V)}$ is a separation of the quotient space (since ${\displaystyle q(U),q(V)}$ are disjoint and open in the quotient space).^[14]

The set difference of connected sets is not necessarily connected. However, if ${\displaystyle X\supseteq Y}$ and their difference ${\displaystyle X\setminus Y}$ is disconnected (and thus can be written as a union of two open sets ${\displaystyle X_{1}}$ and ${\displaystyle X_{2}}$), then the union of ${\displaystyle Y}$ with each such component is connected (i.e. ${\displaystyle Y\cup X_{i}}$ is connected for all ${\displaystyle i}$).

• Main theorem of connectedness: Let ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ be topological spaces and let ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ be a continuous function. If ${\displaystyle X}$ is (path-)connected then the image ${\displaystyle f(X)}$ is (path-)connected. This result can be considered a generalization of the intermediate value theorem.
• Every path-connected space is connected.
• In a locally path-connected space, every open connected set is path-connected.
• Every locally path-connected space is locally connected.
• A locally path-connected space is path-connected if and only if it is connected.
• The closure of a connected subset is connected. Furthermore, any subset between a connected subset and its closure is connected.
• The connected components are always closed (but in general not open)
• The connected components of a locally connected space are also open.
• The connected components of a space are disjoint unions of the path-connected components (which in general are neither open nor closed).
• Every quotient of a connected (resp. locally connected, path-connected, locally path-connected) space is connected (resp. locally connected, path-connected, locally path-connected).
• Every product of a family of connected (resp. path-connected) spaces is connected (resp. path-connected).
• Every open subset of a locally connected (resp. locally path-connected) space is locally connected (resp. locally path-connected).
• Every manifold is locally path-connected.
• Arc-wise connected space is path connected, but path-wise connected space may not be arc-wise connected
• Continuous image of arc-wise connected set is arc-wise connected.

تحتوي الرسوم البيانية على مجموعات فرعية متصلة مساريًا، وهي تلك المجموعات الفرعية التي يوجد بين كل زوج من النقاط مسار من الحواف يربط بينهما. ومع ذلك، ليس من الممكن دائمًا إيجاد بنية طوبولوجية على مجموعة النقاط تُنتج نفس المجموعات المتصلة. الرسم البياني ذو الخمس دورات (وأي رسم بياني آخر)${\displaystyle n}$- دورة مع${\displaystyle n>3}$(غريب) هو أحد هذه الأمثلة.

نتيجةً لذلك، يمكن صياغة مفهوم الاتصال بشكل مستقل عن طوبولوجيا الفضاء. فعلى سبيل المثال، توجد فئة من الفضاءات المتصلة تتألف من مجموعات تحتوي على مجموعات فرعية متصلة تحقق بديهيات الاتصال؛ وتُعرف تشاكلاتها بالدوال التي تربط المجموعات المتصلة ببعضها ( مسكات وبوهاجيار ، 2006 ) . وتُعد الفضاءات الطوبولوجية والرسوم البيانية حالات خاصة من الفضاءات المتصلة؛ بل إن الفضاءات المتصلة المحدودة هي تحديدًا الرسوم البيانية المحدودة.

مع ذلك، يمكن تحويل أي رسم بياني إلى فضاء طوبولوجي، وذلك بمعاملة الرؤوس كنقاط والحواف كنسخ من الفترة [1] (انظر نظرية الرسم البياني الطوبولوجية#الرسوم البيانية كفضاءات طوبولوجية ). عندئذٍ، يمكن إثبات أن الرسم البياني متصل (بالمعنى النظري للرسم البياني) إذا وفقط إذا كان متصلاً كفضاء طوبولوجي.

توجد أشكال أقوى من الترابط للفضاءات الطوبولوجية ، على سبيل المثال:

• إذا لم توجد مجموعتان مفتوحتان غير فارغتين منفصلتان في فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$،${\displaystyle X}$يجب أن تكون متصلة، وبالتالي فإن المساحات فائقة الترابط تكون متصلة أيضاً.
• بما أن الفضاء المتصل ببساطة ، بحكم تعريفه، يتطلب أيضاً أن يكون متصلاً عبر مسار، فإن أي فضاء متصل ببساطة يكون متصلاً أيضاً. وإذا تم حذف شرط "اتصال المسار" من تعريف الاتصال البسيط، فإن الفضاء المتصل ببساطة لا يحتاج إلى أن يكون متصلاً.
• لكنّ النسخ الأقوى من الاتصال تتضمن مفهوم الفضاء القابل للانكماش . كل فضاء قابل للانكماش متصل بمسارات، وبالتالي فهو متصل أيضاً.

بشكل عام، أي فضاء متصل بمسار يجب أن يكون متصلاً، ولكن توجد فضاءات متصلة ليست متصلة بمسار. يُعد فضاء المشط المحذوف مثالاً على ذلك، وكذلك منحنى الجيب الطوبولوجي المذكور أعلاه.

الفضاء المتسلسل جيدًا هو فضاء متري يمكن فيه ربط أي نقطتين عشوائيتين بسلسلة من النقاط المتقاربة بشكل عشوائي. بينما أي مجموعة متسلسلة جيدًا${\displaystyle X}$مرتبط، ^{[ 16 ] : الفصل الأول §8،} والعكس ليس صحيحًا (مثال على ذلك هو${\displaystyle \mathbb {Q} }$).

• المكون المتصل (نظرية الرسم البياني) - رسم بياني فرعي أقصى يمكن أن تصل رؤوسه إلى بعضها البعض. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• موقع الترابط
• المجال (التحليل الرياضي) - مجموعة فرعية مفتوحة متصلة من فضاء طوبولوجي 
• الفضاء المنفصل للغاية – الفضاء الطوبولوجي الذي يكون فيه إغلاق كل مجموعة مفتوحة مفتوحًا 
• الفضاء المتصل محليًا - خاصية من خصائص الفضاءات الطوبولوجية 
• n- متصلة
• الفضاء المتصل بشكل منتظم - نوع من أنواع الفضاء المنتظم 
• اتصال البكسل

• بريدون، جي إي (2013). الطوبولوجيا والهندسة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  139. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا.
• إنجلكينج، ريشارد (1989). الطوبولوجيا العامة (طبعة منقحة ومكتملة  ). ليمجو: دار نشر هيلدرمان. ISBN 3-88538-006-4.
• مسقط، ج؛ بوهاجيار، د (2006). "الفضاءات المتصلة" (ملف PDF) . مذكرات كلية العلوم والهندسة، جامعة شيماني، السلسلة ب: العلوم الرياضية . 39 : 1-13 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 4 مارس 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 مايو 2010 ..
• وايلدر، آر إل (1978). "تطور المفهوم الطوبولوجي لـ "المتصل"". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 85 (9): 720– 726. doi : 10.2307/2321676 . JSTOR 2321676 . 
• ويلارد، ستيفن (1970). الطوبولوجيا العامة . ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ISBN 0-486-43479-6.