الطوبولوجيا

الموسوعة الحرة

نموذج ثلاثي الأبعاد لعقدة على شكل رقم ثمانية . عقدة على شكل رقم ثمانية هي عقدة أولية ولها تدوين ألكسندر-بريجز 4 1 .

الطوبولوجيا (من الكلمات اليونانية τόπος ، "مكان، موقع"، و λόγος ، "دراسة") هي فرع من الرياضيات يهتم بخصائص الجسم الهندسي التي يتم الحفاظ عليها تحت التشوهات المستمرة ، مثل التمدد ، والالتواء ، والتجعيد، والانحناء؛ أي دون إغلاق الثقوب، أو فتح الثقوب، أو التمزق، أو اللصق، أو المرور من خلال نفسه.

الفضاء الطوبولوجي هو مجموعة تتمتع ببنية تسمى الطوبولوجيا ، والتي تسمح بتحديد التشوه المستمر للفضاءات الفرعية، وبشكل عام، جميع أنواع الاستمرارية . الفضاءات الإقليدية ، وبشكل عام، الفضاءات المترية هي أمثلة على الفضاءات الطوبولوجية، حيث تحدد أي مسافة أو متري الطوبولوجيا. التشوهات التي يتم أخذها في الاعتبار في الطوبولوجيا هي التماثلات والتماثلات المتجانسة . الخاصية الثابتة تحت مثل هذه التشوهات هي خاصية طوبولوجية . فيما يلي أمثلة أساسية على الخصائص الطوبولوجية: البعد ، الذي يسمح بالتمييز بين الخط والسطح ؛ الاكتناز ، الذي يسمح بالتمييز بين الخط والدائرة؛ الاتصال ، الذي يسمح بالتمييز بين الدائرة ودائرتين غير متقاطعتين.

تعود الأفكار التي تقوم عليها الطوبولوجيا إلى جوتفريد فيلهلم لايبنتز ، الذي تصور في القرن السابع عشر موقع الهندسة وموقع التحليل . يمكن القول إن مشكلة جسور كونيجسبيرج السبعة وصيغة متعدد السطوح لليونهارد أويلر هما أولى نظريات هذا المجال. تم تقديم مصطلح الطوبولوجيا بواسطة يوهان بنديكت ليستينج في القرن التاسع عشر، على الرغم من أنه لم يتم تطوير فكرة الفضاء الطوبولوجي إلا في العقود الأولى من القرن العشرين.

تحفيز

شرائط موبيوس ، التي لها سطح واحد وحافة واحدة فقط، هي نوع من الأشياء التي تتم دراستها في الطوبولوجيا.

إن الفكرة الدافعة وراء الطوبولوجيا هي أن بعض المشاكل الهندسية لا تعتمد على الشكل الدقيق للأشياء المعنية، بل تعتمد على الطريقة التي يتم بها تجميعها. على سبيل المثال، يتمتع المربع والدائرة بالعديد من الخصائص المشتركة: فكلاهما كائنان أحاديا البعد (من وجهة نظر طوبولوجية) وكلاهما يفصل المستوى إلى جزأين، الجزء الداخلي والجزء الخارجي.

في إحدى الأوراق الأولى في علم الطوبولوجيا، أثبت ليونهارد أويلر أنه من المستحيل العثور على طريق عبر مدينة كونيجسبيرج ( كالينينجراد حاليًا ) يعبر كلًا من جسورها السبعة مرة واحدة بالضبط. لم تعتمد هذه النتيجة على أطوال الجسور أو على بعدها عن بعضها البعض، بل على خصائص الاتصال فقط: أي الجسور تتصل بأي الجزر أو ضفاف الأنهار. أدت مشكلة جسور كونيجسبيرج السبعة هذه إلى فرع من الرياضيات يُعرف باسم نظرية الرسم البياني .

على نحو مماثل، تنص نظرية الكرة المشعرة في الطوبولوجيا الجبرية على أنه "لا يمكن تمشيط الشعر بشكل مسطح على كرة مشعرة دون تكوين خصلة شعر ". هذه الحقيقة مقنعة على الفور لمعظم الناس، على الرغم من أنهم قد لا يدركون البيان الأكثر رسمية للنظرية، بأنه لا يوجد مجال متجه مماس متصل غير متلاشي على الكرة. وكما هو الحال مع جسور كونيجسبيرج ، فإن النتيجة لا تعتمد على شكل الكرة؛ فهي تنطبق على أي نوع من البقع الملساء، طالما أنها لا تحتوي على ثقوب.

للتعامل مع هذه المشاكل التي لا تعتمد على الشكل الدقيق للأشياء، يجب أن نكون واضحين بشأن الخصائص التي تعتمد عليها هذه المشاكل. ومن هذه الحاجة ينشأ مفهوم التماثل الشكلي . إن استحالة عبور كل جسر مرة واحدة فقط تنطبق على أي ترتيب من الجسور المتماثلة الشكل لتلك الموجودة في كونيجسبيرج، وتنطبق نظرية الكرة المشعرة على أي فضاء متماثل الشكل للكرة.

من الناحية البديهية، تكون الفراغات متماثلة الشكل إذا كان من الممكن تحويل إحداها إلى الأخرى دون قطع أو لصق. ومن النكات التقليدية أن عالم الطوبولوجيا لا يستطيع التمييز بين كوب القهوة والكعكة الدائرية، حيث يمكن إعادة تشكيل الكعكة الدائرية المرنة إلى فنجان قهوة عن طريق إنشاء غمازة وتكبيرها تدريجيًا، مع تقليص الفتحة إلى مقبض. [1]

يمكن اعتبار التماثل الشكلي أكثر أشكال التكافؤ الطوبولوجي أساسية . وهناك شكل آخر وهو التكافؤ التماثلي . من الصعب وصف ذلك دون الدخول في التفاصيل الفنية، ولكن الفكرة الأساسية هي أن جسمين متكافئان تماثليًا إذا كان كلاهما ناتجًا عن "سحق" جسم أكبر.

تاريخ

كانت جسور كونيجسبيرج السبعة مشكلة حلها أويلر.

نشأت الطوبولوجيا، باعتبارها تخصصًا رياضيًا محددًا جيدًا، في الجزء الأول من القرن العشرين، ولكن يمكن تتبع بعض النتائج المعزولة إلى عدة قرون. [2] ومن بين هذه الأسئلة بعض الأسئلة في الهندسة التي بحثها ليونهارد أويلر . تعتبر ورقته البحثية لعام 1736 حول الجسور السبعة في كونيجسبيرج واحدة من أولى التطبيقات العملية للطوبولوجيا. [2] في 14 نوفمبر 1750، كتب أويلر إلى صديق أنه أدرك أهمية حواف متعدد السطوح . أدى هذا إلى صيغة متعدد السطوح الخاصة به ، V − E + F = 2 (حيث تشير V و E و F على التوالي إلى عدد الرؤوس والحواف والوجوه لمتعدد السطوح). يعتبر بعض الخبراء هذا التحليل أول نظرية تشير إلى ولادة الطوبولوجيا. [3]

وقد قدم أوغستين لويس كوشي ، ولودفيج شليفلي ، ويوهان بنديكت ليستينج ، وبرنارد ريمان ، وإنريكو بيتي مساهمات أخرى . [4] قدم ليستينج مصطلح "Topologie" في Vorstudien zur Topologie ، الذي كتبه بلغته الأم الألمانية، في عام 1847، بعد أن استخدم الكلمة لمدة عشر سنوات في المراسلات قبل ظهورها لأول مرة في المطبوعات. [5] تم استخدام الشكل الإنجليزي "topology" في عام 1883 في نعي ليستينج في مجلة Nature للتمييز بين "الهندسة النوعية والهندسة العادية التي يتم فيها التعامل مع العلاقات الكمية بشكل أساسي". [6]

تم تصحيح عملهم وتعزيزه وتوسيعه بشكل كبير من قبل هنري بوانكاريه . في عام 1895، نشر ورقته الرائدة حول تحليل الموقع ، والتي قدمت المفاهيم المعروفة الآن باسم التماثل والتماثل ، والتي تعتبر الآن جزءًا من الطوبولوجيا الجبرية . [4]

الخصائص الطوبولوجية للمتعددات المغلقة ثنائية الشعب [4]
متعدد رقم أويلر القدرة على التوجيه أرقام بيتي معامل الالتواء (1-dim)
ب 0 ب 1 ب 2
جسم كروي 2 قابل للتوجيه 1 0 1 لا أحد
حلقة 0 قابل للتوجيه 1 2 1 لا أحد
حلقة ذات فتحتين -2 قابل للتوجيه 1 4 1 لا أحد
حلقة ذات ثقب على شكل حرف g ( الجنس g ) 2 − 2 جرام قابل للتوجيه 1 2 جرام 1 لا أحد
المستوى الإسقاطي 1 غير قابل للتوجيه 1 0 0 2
زجاجة كلاين 0 غير قابل للتوجيه 1 1 0 2
كرة ذات أغطية متقاطعة ( c > 0 ) 2 − ج غير قابل للتوجيه 1 ج − 1 0 2
2-مشعب مع فتحات g
وأغطية متقاطعة c ( c > 0 )		 2 − (2 ج + ج ) غير قابل للتوجيه 1 (2 ج + ج ) − 1 0 2

قام موريس فريشيه بتوحيد العمل على فضاءات الوظيفة لجورج كانتور وفيتو فولتيرا وسيزار أرزيلا وجاك هادامارد وجوليو أسكولي وآخرين ، وقدم الفضاء المتري في عام 1906. [7] يُعتبر الفضاء المتري الآن حالة خاصة من الفضاء الطوبولوجي العام، حيث من المحتمل أن يؤدي أي فضاء طوبولوجي معين إلى ظهور العديد من الفضاءات المترية المتميزة. في عام 1914، صاغ فيليكس هاوسدورف مصطلح "الفضاء الطوبولوجي" وأعطى التعريف لما يسمى الآن فضاء هاوسدورف . [8] حاليًا، الفضاء الطوبولوجي هو تعميم طفيف لفضاءات هاوسدورف ، قدمه كازيميرز كوراتوفسكي في عام 1922. [9]

تعتمد الطوبولوجيا الحديثة بشكل كبير على أفكار نظرية المجموعات التي طورها جورج كانتور في الجزء الأخير من القرن التاسع عشر. بالإضافة إلى إرساء الأفكار الأساسية لنظرية المجموعات، نظر كانتور إلى مجموعات النقاط في الفضاء الإقليدي كجزء من دراسته لمتسلسلة فورييه . لمزيد من التطورات، انظر طوبولوجيا مجموعة النقاط والطوبولوجيا الجبرية.

مُنحت جائزة آبل لعام 2022 إلى دينيس سوليفان "لمساهماته الرائدة في علم الطوبولوجيا بمعناه الأوسع، وخاصة جوانبه الجبرية والهندسية والديناميكية". [10]

المفاهيم

طوبولوجيات المجموعات

يشير مصطلح الطوبولوجيا أيضًا إلى فكرة رياضية محددة أساسية في مجال الرياضيات المسمى الطوبولوجيا. بشكل غير رسمي، تصف الطوبولوجيا كيفية ارتباط عناصر المجموعة ببعضها البعض مكانيًا. يمكن أن يكون للمجموعة نفسها طوبولوجيات مختلفة. على سبيل المثال، يمكن اعتبار الخط الحقيقي والمستوى المركب ومجموعة كانتور نفس المجموعة ذات الطوبولوجيات المختلفة.

رسميًا، دع X تكون مجموعة ودع τ تكون عائلة من المجموعات الجزئية لـ X. عندئذٍ يُطلق على τ اسم طوبولوجيا على X إذا:

  1. كل من المجموعة الفارغة و X هما عنصران من τ .
  2. أي اتحاد لعناصر τ هو عنصر من τ .
  3. أي تقاطع لعدد محدود من عناصر τ هو عنصر من τ .

إذا كانت τ عبارة عن طوبولوجيا على X ، فإن الزوج ( X ، τ ) يسمى فضاء طوبولوجي. يمكن استخدام الترميز X τ للإشارة إلى مجموعة X تتمتع بالطوبولوجيا الخاصة τ . بحكم التعريف، كل طوبولوجيا هي نظام π .

تُسمى عناصر τ بالمجموعات المفتوحة في X. ويُقال إن مجموعة جزئية من X مغلقة إذا كان مكملها في τ (أي أن مكملها مفتوح). قد تكون مجموعة جزئية من X مفتوحة أو مغلقة أو كليهما ( مجموعة مفتوحة متعددة ) أو لا شيء منهما. تكون المجموعة الفارغة و X نفسها دائمًا مغلقة ومفتوحة. تُسمى المجموعة الجزئية المفتوحة من X التي تحتوي على نقطة x جوار x .

الدوال المستمرة والتماثلات

تشوه مستمر (نوع من التماثل الشكلي) لكوب على شكل دونات (حلقة) ولبقرة (بدون ثقوب) على شكل كرة
يمكن للتحول المستمر أن يحول كوب القهوة إلى دونات.
نموذج سيراميك من تصميم كينان كرين وهنري سيجرمان .

تسمى الدالة أو الخريطة من فضاء طوبولوجي إلى آخر متصلة إذا كانت الصورة العكسية لأي مجموعة مفتوحة مفتوحة. إذا كانت الدالة تقابل الأعداد الحقيقية بالأعداد الحقيقية (كلا الفضاءين بطوبولوجيا قياسية)، فإن هذا التعريف للمتصل يعادل تعريف المستمر في حساب التفاضل والتكامل . إذا كانت الدالة المستمرة واحد لواحد وعلى ، وإذا كان معكوس الدالة متصلًا أيضًا، فإن الدالة تسمى متماثلة الشكل ويقال إن مجال الدالة متماثل الشكل مع النطاق. طريقة أخرى لقول هذا هي أن الدالة لها امتداد طبيعي للطوبولوجيا. إذا كانت مساحتان متماثلتان الشكل، فإنهما لهما خصائص طوبولوجية متطابقة، ويعتبران متماثلين طوبولوجيًا. المكعب والكرة متماثلان الشكل، وكذلك فنجان القهوة والكعكة. ومع ذلك، فإن الكرة ليست متماثلة الشكل مع الكعكة.

متشعبات

في حين أن المساحات الطوبولوجية يمكن أن تكون شديدة التنوع والغرابة، فإن العديد من مجالات الطوبولوجيا تركز على فئة أكثر شيوعًا من المساحات المعروفة باسم المتشعبات. المتشعب هو مساحة طوبولوجية تشبه الفضاء الإقليدي بالقرب من كل نقطة. وبصورة أكثر دقة، فإن كل نقطة من المتشعب ذي الأبعاد n لها جوار متماثل للفضاء الإقليدي ذي البعد n. الخطوط والدوائر ، ولكن ليس الرقم ثمانية ، هي متشعبات أحادية البعد . تسمى المتشعبات ثنائية الأبعاد أيضًا الأسطح ، على الرغم من أن الأسطح ليست كلها متشعبات. تشمل الأمثلة المستوى والكرة والطورس، والتي يمكن تحقيقها جميعًا بدون تقاطع ذاتي في ثلاثة أبعاد، وزجاجة كلاين والمستوى الإسقاطي الحقيقي ، والتي لا يمكن تحقيقها (أي أن جميع تحقيقاتها عبارة عن أسطح ليست متشعبات).

المواضيع

الطوبولوجيا العامة

الطوبولوجيا العامة هي فرع من الطوبولوجيا يتعامل مع التعريفات والإنشاءات الأساسية لنظرية المجموعات المستخدمة في الطوبولوجيا. [11] [12] وهي الأساس لمعظم فروع الطوبولوجيا الأخرى، بما في ذلك الطوبولوجيا التفاضلية والطوبولوجيا الهندسية والطوبولوجيا الجبرية. اسم آخر للطوبولوجيا العامة هو طوبولوجيا مجموعة النقاط.

الهدف الأساسي للدراسة هو الفضاءات الطوبولوجية ، وهي مجموعات مجهزة بطوبولوجيا ، أي عائلة من المجموعات الفرعية ، تسمى المجموعات المفتوحة ، والتي تكون مغلقة تحت تقاطعات محدودة واتحادات (منتهية أو غير محدودة) . يمكن تعريف المفاهيم الأساسية للطوبولوجيا، مثل الاستمرارية والاكتناز والاتصال ، من حيث المجموعات المفتوحة. بديهيًا، تأخذ الدوال المستمرة النقاط القريبة إلى النقاط القريبة. المجموعات المدمجة هي تلك التي يمكن تغطيتها بمجموعات محدودة ذات حجم صغير تعسفي. المجموعات المتصلة هي مجموعات لا يمكن تقسيمها إلى قطعتين متباعدتين. يمكن جعل الكلمات القريبة والصغيرة تعسفيًا والبعيدة عن بعضها البعض دقيقة باستخدام المجموعات المفتوحة. يمكن تعريف العديد من الطوبولوجيات في مساحة معينة. يتكون تغيير الطوبولوجيا من تغيير مجموعة المجموعات المفتوحة. هذا يغير الدوال المستمرة والمجموعات الفرعية المدمجة أو المتصلة.

المساحات المترية هي فئة مهمة من المساحات الطوبولوجية حيث يتم تحديد المسافة بين أي نقطتين بواسطة دالة تسمى مترية . في المساحة المترية، المجموعة المفتوحة هي اتحاد أقراص مفتوحة، حيث يكون القرص المفتوح بنصف قطر r ومركزه x هو مجموعة جميع النقاط التي تكون المسافة إلى x أقل من r . العديد من المساحات المشتركة هي مساحات طوبولوجية يمكن تحديد طوبولوجيتها بواسطة متري. هذه هي حالة الخط الحقيقي ، والمستوى المركب ، ومساحات المتجهات الحقيقية والمعقدة والمساحات الإقليدية . إن وجود متري يبسط العديد من الإثباتات.

الطوبولوجيا الجبرية

الطوبولوجيا الجبرية هي فرع من فروع الرياضيات يستخدم أدوات من الجبر لدراسة الفراغات الطوبولوجية. [13] الهدف الأساسي هو إيجاد الثوابت الجبرية التي تصنف الفراغات الطوبولوجية حتى التماثل، على الرغم من أن معظمها يصنف حتى التكافؤ التماثلي.

أهم هذه الثوابت هي مجموعات التماثل ، والتماثل، والتجانس .

على الرغم من أن الطوبولوجيا الجبرية تستخدم الجبر في المقام الأول لدراسة المشكلات الطوبولوجية، إلا أن استخدام الطوبولوجيا لحل المشكلات الجبرية ممكن أحيانًا أيضًا. على سبيل المثال، تسمح الطوبولوجيا الجبرية بإثبات ملائم أن أي مجموعة فرعية من مجموعة حرة هي مرة أخرى مجموعة حرة.

الطوبولوجيا التفاضلية

الطوبولوجيا التفاضلية هي المجال الذي يتعامل مع الدوال القابلة للاشتقاق على المتشعبات القابلة للاشتقاق . [14] وهي وثيقة الصلة بالهندسة التفاضلية ويشكلان معًا النظرية الهندسية للمتشعبات القابلة للاشتقاق.

وبشكل أكثر تحديدًا، تدرس الطوبولوجيا التفاضلية الخصائص والهياكل التي تتطلب فقط وجود هيكل سلس على متعدد الشعب ليتم تعريفه. تعد متعددات الشعب الناعمة "أكثر ليونة" من متعددات الشعب ذات الهياكل الهندسية الإضافية، والتي يمكن أن تعمل كعوائق لأنواع معينة من التكافؤات والتشوهات الموجودة في الطوبولوجيا التفاضلية. على سبيل المثال، الحجم والانحناء الريماني هما متغيران ثابتان يمكنهما التمييز بين الهياكل الهندسية المختلفة على نفس متعدد الشعب الأملس - أي أنه يمكن للمرء "تسوية" متعددات شعب معينة بسلاسة، ولكن قد يتطلب ذلك تشويه المساحة والتأثير على الانحناء أو الحجم.

الطوبولوجيا الهندسية

الطوبولوجيا الهندسية هي فرع من الطوبولوجيا يركز في المقام الأول على المتشعبات منخفضة الأبعاد (أي المساحات ذات الأبعاد 2 و3 و4) وتفاعلها مع الهندسة، ولكنها تشمل أيضًا بعض الطوبولوجيا ذات الأبعاد الأعلى. [15] بعض الأمثلة على الموضوعات في الطوبولوجيا الهندسية هي القدرة على التوجيه ، وتحليل المقبض ، والتسطيح المحلي ، والتجعيد، ونظرية شونفليز المستوية وذات الأبعاد الأعلى .

في الطوبولوجيا عالية الأبعاد، تعتبر الفئات المميزة متغيرًا أساسيًا، وتعتبر نظرية الجراحة نظرية أساسية.

الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد هندسية بقوة، كما ينعكس في نظرية التوحيد في بعدين - كل سطح يعترف بمقياس انحناء ثابت؛ هندسيًا، لديها واحدة من 3 هندسات ممكنة: انحناء موجب / كروي، انحناء صفري / مسطح، وانحناء سلبي / زائدي - وتخمين الهندسة (الآن نظرية) في 3 أبعاد - يمكن قطع كل متعدد الشعب ثلاثي الأبعاد إلى قطع، كل منها لديه واحدة من ثماني هندسات ممكنة.

يمكن دراسة الطوبولوجيا ثنائية الأبعاد كهندسة معقدة في متغير واحد ( أسطح ريمان هي منحنيات معقدة) - وفقًا لنظرية التوحيد، فإن كل فئة مطابقة للمقاييس تعادل فئة معقدة فريدة، ويمكن دراسة الطوبولوجيا رباعية الأبعاد من وجهة نظر الهندسة المعقدة في متغيرين (الأسطح المعقدة)، على الرغم من أن ليس كل متعدد الشعب رباعي الأبعاد يسمح ببنية معقدة.

التعميمات

في بعض الأحيان، قد يحتاج المرء إلى استخدام أدوات الطوبولوجيا ولكن "مجموعة النقاط" غير متاحة. في الطوبولوجيا عديمة الفائدة، نعتبر بدلاً من ذلك شبكة المجموعات المفتوحة كمفهوم أساسي للنظرية، [16] في حين أن طوبولوجيات جروثينديك هي هياكل محددة على فئات عشوائية تسمح بتعريف الحزم على تلك الفئات، وبالتالي تعريف نظريات التجانس العام. [17]

التطبيقات

علم الأحياء

تم استخدام الطوبولوجيا لدراسة الأنظمة البيولوجية المختلفة بما في ذلك الجزيئات والبنية النانوية (على سبيل المثال، الأجسام الغشائية). وعلى وجه الخصوص، تم تطبيق الطوبولوجيا الدائرية ونظرية العقد على نطاق واسع لتصنيف ومقارنة طوبولوجيا البروتينات المطوية والأحماض النووية. تصنف الطوبولوجيا الدائرية السلاسل الجزيئية المطوية بناءً على الترتيب الزوجي لاتصالاتها داخل السلسلة وتقاطعات السلسلة. تُستخدم نظرية العقد ، وهي فرع من الطوبولوجيا، في علم الأحياء لدراسة تأثيرات إنزيمات معينة على الحمض النووي. تقطع هذه الإنزيمات الحمض النووي وتلفه وتعيد توصيله، مما يتسبب في تكوين عقد مع تأثيرات ملحوظة مثل الرحلان الكهربائي الأبطأ . [18]

علوم الحاسوب

يستخدم تحليل البيانات الطوبولوجية تقنيات من الطوبولوجيا الجبرية لتحديد البنية واسعة النطاق لمجموعة (على سبيل المثال، تحديد ما إذا كانت سحابة النقاط كروية أم حلقية ). الطريقة الرئيسية المستخدمة في تحليل البيانات الطوبولوجية هي:

  1. استبدال مجموعة من نقاط البيانات بمجموعة من المجمعات التبسيطية ، المفهرسة بواسطة معلمة القرب.
  2. قم بتحليل هذه المجمعات الطوبولوجية من خلال الطوبولوجيا الجبرية - على وجه التحديد، من خلال نظرية التماثل المستمر . [19]
  3. ترميز التشابه المستمر لمجموعة بيانات في شكل نسخة معلمة من رقم بيتي ، والذي يسمى الرمز الشريطي. [19]

يتم صياغة العديد من فروع دلالات لغات البرمجة ، مثل نظرية المجال ، باستخدام الطوبولوجيا. في هذا السياق، يصف ستيف فيكرز ، بناءً على عمل سامسون أبرامسكي ومايكل ب. سميث، المساحات الطوبولوجية بأنها جبر بولياني أو جبر هيتنج على مجموعات مفتوحة، والتي تتميز بأنها خصائص شبه قابلة للحسم (قابلة للملاحظة بشكل محدود). [20]

الفيزياء

تعتبر الطوبولوجيا ذات صلة بالفيزياء في مجالات مثل فيزياء المادة المكثفة ، [21] ونظرية المجال الكمومي وعلم الكونيات الفيزيائي .

إن الاعتماد الطوبولوجي للخواص الميكانيكية في المواد الصلبة له أهمية في تخصصات الهندسة الميكانيكية وعلوم المواد . تعتمد الخواص الكهربائية والميكانيكية على ترتيب وهياكل الشبكة للجزيئات والوحدات الأولية في المواد. [22] تتم دراسة قوة الضغط للطوبولوجيات المجعّدة في محاولات لفهم القوة العالية لوزن مثل هذه الهياكل التي تكون في الغالب عبارة عن مساحة فارغة. [23] الطوبولوجيا ذات أهمية إضافية في ميكانيكا التلامس حيث يعتبر اعتماد الصلابة والاحتكاك على أبعاد الهياكل السطحية موضوع اهتمام بالتطبيقات في فيزياء الأجسام المتعددة.

نظرية المجال الكمومي الطوبولوجي (أو نظرية المجال الطوبولوجي أو TQFT) هي نظرية مجال كمي تحسب الثوابت الطوبولوجية .

على الرغم من أن نظريات المجال الكمومي التربيعية قد اخترعها علماء الفيزياء، إلا أنها أيضًا ذات أهمية رياضية، حيث ترتبط، من بين أمور أخرى، بنظرية العقدة ، ونظرية المتشعبات الأربعة في الطوبولوجيا الجبرية، ونظرية مساحات المعاملات في الهندسة الجبرية. وقد فاز دونالدسون وجونز وويتن وكونتسيفيتش بميداليات فيلدز عن أعمالهم المتعلقة بنظرية المجال الطوبولوجي.

التصنيف الطوبولوجي لمتعددات كالابي-ياو له آثار مهمة في نظرية الأوتار ، حيث يمكن لمتعددات مختلفة أن تدعم أنواعًا مختلفة من الأوتار. [24]

في علم الكونيات، يمكن استخدام الطوبولوجيا لوصف الشكل العام للكون . [25] يُعرف هذا المجال من البحث عادةً باسم طوبولوجيا الزمكان .

في المادة المكثفة، يأتي تطبيق ذو صلة بالفيزياء الطوبولوجية من إمكانية الحصول على تيار أحادي الاتجاه، وهو تيار محمي من التشتت الخلفي. تم اكتشافه لأول مرة في الإلكترونيات باستخدام تأثير هول الكمي الشهير ، ثم تم تعميمه في مجالات أخرى من الفيزياء، على سبيل المثال في الفوتونيات [26] بواسطة FDM Haldane .

الروبوتات

يمكن وصف المواضع المحتملة للروبوت من خلال متشعب يسمى مساحة التكوين . [27] في مجال تخطيط الحركة ، نجد مسارات بين نقطتين في مساحة التكوين. تمثل هذه المسارات حركة مفاصل الروبوت وأجزاء أخرى في الوضع المطلوب. [28]

العاب والألغاز

تعتمد ألغاز فك التشابك على الجوانب الطوبولوجية لأشكال ومكونات اللغز. [29] [30] [31]

فن الألياف

من أجل إنشاء وصلة مستمرة للقطع في بناء معياري، من الضروري إنشاء مسار غير منقطع بترتيب يحيط بكل قطعة ويمر عبر كل حافة مرة واحدة فقط. هذه العملية هي تطبيق للمسار الأويلر . [32]

الموارد والبحوث

المجلات الرئيسية

الكتب الرئيسية

  • مونكريس، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا (الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول. رقم ISBN  978-0-13-181629-9
  • ويلارد، ستيفن (2016). الطوبولوجيا العامة . كتب دوفر عن الرياضيات. مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-43479-7 
  • أرمسترونج، ما (1983). الطوبولوجيا الأساسية . نصوص جامعية في الرياضيات. نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. رقم ISBN 978-0-387-90839-7 

انظر أيضا

مراجع

الاستشهادات

  1. ^ هوبارد، جون هـ.؛ ويست، بيفرلي هـ. (1995). المعادلات التفاضلية: نهج الأنظمة الديناميكية. الجزء الثاني: الأنظمة ذات الأبعاد الأعلى. نصوص في الرياضيات التطبيقية. المجلد 18. سبرينغر. ص 204. رقم ISBN 978-0-387-94377-0.
  2. ^ ab Croom 1989، ص 7
  3. ^ ريتشيسون 2008، ص. 63؛ ^ الكسندروف 1969، ص. 204
  4. ^ abc ريتشيسون (2008)
  5. ^ القائمة، يوهان بنديكت، “Vorstudien zur Topologie”، Vandenhoeck und Ruprecht، Göttingen، p. 67، 1848
  6. ^ تيت، بيتر جوثري (1 فبراير 1883). "قائمة يوهان بنديكت (نعي)". نيتشر . 27 (692): 316-317. رمز المكتبة : 1883Natur..27..316P. doi : 10.1038/027316a0 .
  7. ^ فريشيه، موريس (1906). Sur quelques point du calcul fonctionnel . أو سي إل سي  8897542.
  8. ^ هاوسدورف ، فيليكس، “Grundzüge der Mengenlehre”، لايبزيغ: Veit. في (هاوسدورف فيرك، الثاني (2002)، 91-576)
  9. ^ كروم 1989، ص 129
  10. ^ "الفائز بالجائزة لعام 2022". الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب . تم الاسترجاع في 23 مارس 2022 .
  11. ^ مونكريس، جيمس ر. الطوبولوجيا. المجلد 2. نهر سادل العلوي: برنتيس هول، 2000.
  12. ^ آدامز، كولين كونراد، وروبرت ديفيد فرانزوسا. مقدمة في الطوبولوجيا: البحتة والتطبيقية. بيرسون برنتيس هول، 2008.
  13. ^ Allen Hatcher, Algebraic topology. Archived 6 February 2012 at the Wayback Machine (2002) Cambridge University Press, xii+544 pp.  ISBN 0-521-79160-X , 0-521-79540-0 . 
  14. ^ لي، جون م. (2006). مقدمة إلى المتشعبات الملساء . دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 978-0-387-95448-6.
  15. ^ RB Sher و RJ Daverman (2002)، Handbook of Geometric Topology ، شمال هولندا. ISBN 0-444-82432-4 
  16. ^ جونستون، بيتر ت. (1983). "نقطة الطوبولوجيا غير ذات الجدوى". نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 8 (1): 41-53. doi : 10.1090/s0273-0979-1983-15080-2 .
  17. ^ أرتين، مايكل (1962). طوبولوجيات جروثينديك . كامبريدج، ماساتشوستس: جامعة هارفارد، قسم الرياضيات. المجلد  0208.48701.
  18. ^ آدامز، كولين (2004). كتاب العقد: مقدمة أولية للنظرية الرياضية للعقد . الجمعية الرياضية الأمريكية. رقم ISBN 978-0-8218-3678-1.
  19. ^ بواسطة جونار كارلسون (أبريل 2009). "الطوبولوجيا والبيانات" (PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . السلسلة الجديدة. 46 (2): 255-308. doi : 10.1090/S0273-0979-09-01249-X .
  20. ^ فيكرز، ستيف (1996). الطوبولوجيا عبر المنطق . منشورات كامبريدج في علوم الكمبيوتر النظرية. مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0521576512.
  21. ^ "جائزة نوبل في الفيزياء 2016". مؤسسة نوبل. 4 أكتوبر 2016. تم استرجاعه في 12 أكتوبر 2016 .
  22. ^ ستيفنسون، سي؛ وآخرون (2017). "الخصائص الطوبولوجية لشبكة كهربائية مجمعة ذاتيًا عبر حساب أولي". مجلة العلوم . 7 : 41621. رمز Bibcode : 2017NatSR...741621S. doi : 10.1038/srep41621. PMC 5290745. PMID  28155863 . 
  23. ^ كامبو، آن دومينيك؛ نارايانان، مينون (2011). "بنية ثلاثية الأبعاد لورقة مجعدة على شكل كرة". وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 108 (36): 14741–14745. arXiv : 1203.5826 . Bibcode :2011PNAS..10814741C. doi : 10.1073/pnas.1019192108 . PMC 3169141. PMID  21873249 . 
  24. ^ ياو، س. وناديس، س.؛ شكل الفضاء الداخلي ، كتب أساسية، 2010.
  25. ^ شكل الفضاء: كيفية تصور الأسطح والمتعددات ثلاثية الأبعاد الطبعة الثانية (مارسيل ديكر، 1985، ISBN 0-8247-7437-X ) 
  26. ^ Haldane, FDM; Raghu, S. (10 January 2008). "Possible Realization of Directional Optical Waveguides in Photonic Crystals with Broken Time-Reversal Symmetry". Physical Review Letters . 100 (1): 013904. arXiv : cond-mat/0503588 . Bibcode :2008PhRvL.100a3904H. doi :10.1103/PhysRevLett.100.013904. ISSN  0031-9007. PMID  18232766. S2CID  44745453.
  27. ^ جون ج. كريج، مقدمة في علم الروبوتات: الميكانيكا والتحكم ، الطبعة الثالثة، برنتيس هول، 2004
  28. ^ فاربر، مايكل (2008). دعوة إلى الروبوتات الطوبولوجية . الجمعية الأوروبية للرياضيات. رقم ISBN 978-3037190548.
  29. ^ Horak, Mathew (2006). "تفكيك الألغاز الطوبولوجية باستخدام نظرية العقد". مجلة الرياضيات . 79 (5): 368–375. doi :10.2307/27642974. JSTOR  27642974.
  30. ^ http://sma.epfl.ch/Notes.pdf محفوظ في 1 نوفمبر 2022 على موقع Wayback Machine لغز طوبولوجي، إينتا بيرتوتشيوني، ديسمبر 2003.
  31. ^ https://www.fuilitycloset.com/the-figure-8-puzzle محفوظ في 25 مايو 2017 على موقع Wayback Machine لغز الرقم ثمانية، العلوم والرياضيات، يونيو 2012.
  32. ^ Eckman, Edie (2012). Connect the shapes knitting motifs: creative techniques for join motifs of all shapes . Storey Publishing. ISBN 978-1603429733.

فهرس

  • ألكسندروف، ب. س. (1969) [1956]. "الفصل الثامن عشر الطوبولوجيا". في ألكسندروف، أ. د. كولموغوروف، أ. ن. لافرينتيف، م. أ. (المحررون). الرياضيات / محتواها وطرقها ومعناها (الطبعة الثانية). مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
  • كروم، فريد هـ. (1989). مبادئ الطوبولوجيا . دار نشر سوندرز كوليدج. رقم ISBN 978-0-03-029804-2.
  • ريتشيسون، د. (2008). جوهرة أويلر: صيغة متعدد السطوح وميلاد الطوبولوجيا . مطبعة جامعة برينستون.

قراءة إضافية

  • ريزارد إنجيلكينج ، الطوبولوجيا العامة ، هيلديرمان فيرلاج، سلسلة سيجما في الرياضيات البحتة، ديسمبر 1989، ISBN 3-88538-006-4 . 
  • بورباكي ؛ عناصر الرياضيات: الطوبولوجيا العامة ، أديسون-ويسلي (1966).
  • بريتنبرجر، إي. (2006). “قائمة يوهان بنديكت”. في جيمس، آي إم (محرر). تاريخ الطوبولوجيا . شمال هولندا. رقم ISBN 978-0-444-82375-5.
  • كيلي، جون إل. (1975). الطوبولوجيا العامة . دار نشر سبرينغر . رقم ISBN 978-0-387-90125-1.
  • براون، رونالد (2006). الطوبولوجيا والمجموعات. Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4.(يقدم شرحًا هندسيًا جيدًا للطوبولوجيا العامة، ويُظهر استخدام المجموعات في مناقشة نظرية فان كامبن ، وتغطية المساحات ، ومساحات المدار .)
  • واكلاف سيربينسكي ، الطوبولوجيا العامة ، منشورات دوفر، 2000، ISBN 0-486-41148-6 
  • بيكوفر، كليفورد أ. (2006). شريط موبيوس: فرقة الدكتور أوغست موبيوس الرائعة في الرياضيات والألعاب والأدب والفن والتكنولوجيا وعلم الكونيات . دار ثاندر ماوث للنشر. رقم ISBN 978-1-56025-826-1.(يقدم مقدمة شائعة عن الطوبولوجيا والهندسة)
  • Gemignani, Michael C. (1990) [1967]. Elementary Topology (الطبعة الثانية). Dover Publications Inc. ISBN 978-0-486-66522-1.
تحتوي ويكيميديا ​​كومنز على وسائط متعلقة بـ الطوبولوجيا.
يحتوي موقع Wikiquote على اقتباسات متعلقة بـ الطوبولوجيا .
تحتوي ويكيبيديا على المزيد حول موضوع: الطوبولوجيا
  • "الطوبولوجيا العامة". موسوعة الرياضيات . EMS Press . 2001 [1994].
  • الطوبولوجيا الأولية: الدورة الأولى فيرو، إيفانوف، نتسفيتايف، خارلاموف.
  • الطوبولوجيا في كيرلي
  • حديقة الحيوانات الطوبولوجية في مركز الهندسة .
  • أطلس الطوبولوجيا
  • ملاحظات محاضرات دورة الطوبولوجيا، إيسلينج ماكلوسكي وبريان ماكماستر، أطلس الطوبولوجيا.
  • مسرد الطوبولوجيا
  • موسكو 1935: الطوبولوجيا تتحرك نحو أمريكا، مقالة تاريخية بقلم هاسلر ويتني .
تم الاسترجاع من "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=الطوبولوجيا&oldid=1249172856"
Original text
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate