المضلعات المحدبة

كتاب "المضلعات المحدبة" هو كتاب رياضيات متقدم يتناول موضوع المضلعات المحدبة ، وهي تعميمات متعددة الأبعاد للمجسمات المحدبة ثلاثية الأبعاد. ألّفه برانكو غرونباوم ، بمساهمات من فيكتور كلي ، وميشا بيرلز ، وجي سي شيبارد ، ونُشر عام 1967 من قِبل دار جون وايلي وأولاده. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} نفدت طبعته عام 1970. ^{[ 5 ] [ 6 ]} أُصدرت طبعة ثانية منه، بمساعدة فولكر كايبيل، وفيكتور كلي، وغونتر إم زيغلر ، ونُشرت من قِبل دار سبرينغر-فيرلاغ عام 2003، كمجلد 221 من سلسلة كتبهم " نصوص الدراسات العليا في الرياضيات" . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

فاز كتاب "المضلعات المحدبة" بجائزة ليروي ب. ستيل لعام 2005 عن فئة العرض الرياضي، والتي تمنحها الجمعية الأمريكية للرياضيات . ^{[ 9 ]} وقد أوصت لجنة قائمة المكتبات الأساسية التابعة للجمعية الرياضية الأمريكية بإدراجه في مكتبات الرياضيات الجامعية. ^{[ 10 ]}

يتألف الكتاب من 19 فصلاً. بعد فصلين يُقدّمان معلومات أساسية في الجبر الخطي والطوبولوجيا والهندسة المحدبة ، يُقدّم فصلان آخران تعريفات أساسية للمجسمات، بصيغتيها الثنائية (تقاطعات أنصاف الفضاءات والأغلفة المحدبة لمجموعات النقاط المنتهية)، ويُعرّفان بمخططات شليغل ، ويُقدّمان بعض الأمثلة الأساسية بما في ذلك المجسمات الدورية . يُقدّم الفصل الخامس مخططات غيل ، ويستخدمها الفصلان التاليان لدراسة المجسمات التي يزيد عدد رؤوسها قليلاً عن بُعدها، والمجسمات المتجاورة . ^{[ 8 ] [ 5 ]}

تتناول الفصول من 8 إلى 11 دراسة أعداد الأوجه ذات الأبعاد المختلفة في متعددات السطوح باستخدام صيغة أويلر متعددة السطوح ، ومعادلات دين-سومرفيل ، والتوافقية القصوى لأعداد الأوجه في متعددات السطوح. يربط الفصل 11 الأوجه ذات الأبعاد المنخفضة معًا لتكوين هيكل متعدد السطوح، ويثبت نظرية فان كامبن-فلوريس حول عدم إمكانية تضمين الهياكل في فضاءات ذات أبعاد أقل. يدرس الفصل 12 مسألة متى يحدد الهيكل بشكل فريد البنية التوافقية متعددة السطوح ذات الأبعاد الأعلى. يقدم الفصل 13 إجابة كاملة لهذه النظرية لمتعددات السطوح المحدبة ثلاثية الأبعاد عبر نظرية شتاينيتز ، التي تميز رسوم متعددات السطوح المحدبة توافقيًا، ويمكن استخدامها لإثبات أنه لا يمكن تمثيلها كمتعدد سطوح محدب إلا بطريقة واحدة. كما يتناول هذا البحث المجموعات المتعددة لأحجام الأوجه التي يمكن تمثيلها كمجسمات متعددة السطوح ( نظرية إيبرهارد )، والأنواع التوافقية للمجسمات متعددة السطوح التي يمكن أن تحتوي على كرات داخلية أو كرات خارجية . ^{[ 8 ] [ 5 ]}

يتناول الفصل الرابع عشر العلاقات المشابهة لمعادلات دين-سومرفيل لمجموع زوايا متعددات الوجوه، ويستخدم مجموع الزوايا لتحديد نقطة مركزية، تُعرف باسم "نقطة شتاينر"، لأي متعدد وجوه. ويدرس الفصل الخامس عشر جمع مينكوفسكي وجمع بلاشكه ، وهما عمليتان يمكن من خلالهما دمج متعددات الوجوه لإنتاج متعددات وجوه أخرى. ويتناول الفصلان السادس عشر والسابع عشر أقصر المسارات وتخمين هيرش ، وأطول المسارات والدورات الهاميلتونية ، ومعامل قصر متعددات الوجوه. ويدرس الفصل الثامن عشر ترتيبات المستويات الفائقة وعلاقتها المزدوجة بالبنية التوافقية لمتعددات الوجوه . ويتضمن الفصل الختامي، الفصل التاسع عشر، أيضًا معلومات حول تناظرات متعددات الوجوه. ^{[ 8 ] [ 5 ]}

تُسهّل التمارين المُوزّعة في جميع أنحاء الكتاب استخدامه ككتاب دراسي، وتُوفّر روابط إضافية لأبحاث حديثة، كما تُدرج الفصول الأخيرة منه العديد من مسائل البحث المفتوحة. ^{[ 1 ]} يُحافظ الإصدار الثاني من الكتاب على محتوى الإصدار الأول وتنظيمه وترقيم صفحاته، مع إضافة ملاحظات في نهاية كل فصل حول تحديثات المادة الواردة فيه. ^{[ 7 ] [ 8 ]} تشمل هذه التحديثات مادةً حول نظرية منيف للشمولية وعلاقتها بإمكانية تحقيق متعددات الوجوه من بنيتها التوافقية، وبرهان...${\displaystyle g}$تخمين - للكرات التبسيطية ، وتخمين كالاي ثلاثي ^{الأبعاد} . ^{[ 8 ]} كما توفر الطبعة الثانية قائمة مراجع محسّنة. ^{[ 6 ]}

تشمل المواضيع المهمة لنظرية متعددات الوجوه المحدبة، ولكنها لم تغط بشكل جيد في كتاب متعددات الوجوه المحدبة، مسألة هيلبرت الثالثة ونظرية ثوابت دين . ^{[ 8 ]}

على الرغم من أن الكتاب مكتوب على مستوى الدراسات العليا، إلا أن المتطلبات الأساسية لقراءته هي الجبر الخطي والطوبولوجيا العامة ، وكلاهما على مستوى المرحلة الجامعية. ^{[ 1 ]}

في مراجعة للطبعة الأولى من الكتاب، وصفه فيرنر فينكل بأنه "إنجازٌ رائع"، و"كنزٌ من المعلومات"، و"منظمٌ تنظيماً جيداً ومُقدَّمٌ بأسلوبٍ واضح". ^{[ 2 ]} وبعد أكثر من 35 عاماً، عند منح جائزة ستيل لغرونباوم عن كتابه " المضلعات المحدبة "، كتبت الجمعية الرياضية الأمريكية أن الكتاب "كان بمثابة مرجعٍ أساسي ومصدر إلهام"، وأنه كان مسؤولاً إلى حدٍ كبير عن البحث النشط والمتواصل في مجال التوافقية متعددة السطوح ، وأنه لا يزال ذا صلةٍ وثيقةٍ بهذا المجال. ^{[ 9 ]} وفي مراجعةٍ للطبعة الثانية، رحّب بيتر ماكمولين بالكتاب، وكتب أنه على الرغم من أنه "أصبح قديماً على الفور" بسبب البحث الذي أثاره، إلا أنه لا يزال قراءةً أساسيةً للباحثين في هذا المجال. ^{[ 8 ]}

• قائمة الكتب عن المجسمات متعددة الأوجه