ترتيب المستويات الفائقة

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 15 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة والتوافقية ، يُعرف ترتيب المستويات الفائقة بأنه ترتيب لمجموعة منتهية A من المستويات الفائقة في فضاء خطي أو تآلفي أو إسقاطي S. وتتعلق الأسئلة المتعلقة بترتيب المستويات الفائقة A عمومًا بالخصائص الهندسية أو الطوبولوجية أو غيرها من خصائص المتمم M ( A ) ، وهي المجموعة المتبقية بعد إزالة المستويات الفائقة من الفضاء الكلي. ويمكن التساؤل عن كيفية ارتباط هذه الخصائص بالترتيب وشبكة تقاطعه الجزئية. شبكة تقاطع A الجزئية ، L ( A )، هي مجموعة جميع الفضاءات الجزئية الناتجة عن تقاطع بعض المستويات الفائقة؛ ومن بين هذه الفضاءات الجزئية S نفسه، وجميع المستويات الفائقة الفردية، وجميع تقاطعات أزواج المستويات الفائقة، إلخ (باستثناء المجموعة الفارغة في الحالة التآلفية ). وتُسمى هذه الفضاءات الجزئية المتقاطعة لـ A أيضًا بمستويات A. شبكة التقاطع الجزئية L ( A ) مرتبة جزئيًا بالتضمين العكسي .

إذا كان الفضاء S ثنائي الأبعاد، فإن المستويات الفائقة عبارة عن خطوط ؛ ويُطلق على هذا الترتيب غالبًا اسم ترتيب الخطوط . تاريخيًا، كانت الترتيبات الحقيقية للخطوط هي أول الترتيبات التي دُرست. أما إذا كان S ثلاثي الأبعاد، فإنه يكون لدينا ترتيب المستويات .

ترتيب المستويات الفائقة في الفضاء

النظرية العامة

الشبكة شبه المتقاطعة والماترويد

الشبكة شبه المتقاطعة L ( A ) هي شبكة شبه تقاطع، وتحديدًا هي شبكة شبه هندسية . إذا كان الترتيب خطيًا أو إسقاطيًا، أو إذا كان تقاطع جميع المستويات الفائقة غير فارغ، فإن الشبكة المتقاطعة تكون شبكة هندسية . (لهذا السبب يجب ترتيب الشبكة شبه المتقاطعة بالتضمين العكسي - وليس بالتضمين، الذي قد يبدو أكثر طبيعية ولكنه لن ينتج عنه شبكة (شبه) هندسية).

عندما تكون L ( A ) شبكة، فإن الماترويد الخاص بـ A ، والذي يُكتب M ( A )، يكون A مجموعته الأساسية، ودالة رتبته r ( B )  := codim( f(B) )، حيث B أي مجموعة جزئية من A و f(B) هو تقاطع المستويات الفائقة في B. بشكل عام، عندما تكون L ( A ) شبه شبكة، يوجد هيكل مشابه للماترويد يُسمى شبه ماترويد ، وهو تعميم للماترويد (وله نفس العلاقة بشبه شبكة التقاطع كما هو الحال بين الماترويد والشبكة في حالة الشبكة)، ولكنه ليس ماترويد إذا لم تكن L ( A ) شبكة.

كثيرات الحدود

بالنسبة لمجموعة جزئية B من A ، لنُعرّف f ( B )  := تقاطع المستويات الفائقة في B ؛ وهذا يساوي S إذا كانت B فارغة. يمكن تعريف متعددة الحدود المميزة لـ A ، والتي تُكتب pA ( y )، كما يلي :

صأ(y):=∑ب(-1)|ب|yخافت⁡و(ب)،{\displaystyle p_{A}(y):=\sum _{B}(-1)^{|B|}y^{\dim f(B)},}

مجموعها على جميع المجموعات الجزئية B من A باستثناء، في الحالة الأفينية، المجموعات الجزئية التي يكون تقاطعها فارغًا. (يُعرَّف بُعد المجموعة الفارغة بأنه -1 ). تساعد هذه متعددة الحدود في حل بعض المسائل الأساسية؛ انظر أدناه. متعددة حدود أخرى مرتبطة بـ A هي متعددة حدود عدد ويتني w A ( x , y )، المعرفة بـ

wأ(x،y):=∑بxن-خافت⁡و(ب)∑ج(-1)|ج-ب|yخافت⁡و(ج)،{\displaystyle w_{A}(x,y):=\sum _{B}x^{n-\dim f(B)}\sum _{C}(-1)^{|CB|}y^{\dim f(C)},}

مجموع على B ⊆ C ⊆ A بحيث تكون f ( B ) غير فارغة.

باعتبارها شبكة هندسية أو شبه شبكة، فإن L ( A ) لها متعددة حدود مميزة، pL( A ) ( y ) ، والتي لها نظرية شاملة (انظر الماترويد ). لذا ، من المفيد معرفة أن pA ( y ) = yᵢ pL ( A ) ( y ) ، حيث i هو أصغر بُعد لأي سطح مستوٍ، باستثناء أنه في الحالة الإسقاطية يساوي yᵢ + 1 pL ( A ) ( y ). ترتبط متعددة حدود عدد ويتني لـ A بشكل مماثل بمتعددة حدود عدد ويتني لـ L ( A ). (يتم استبعاد المجموعة الفارغة من شبه الشبكة في الحالة الأفينية تحديدًا حتى تكون هذه العلاقات صحيحة).

جبر أورليك-سولومون

تحدد الشبكة شبه المتقاطعة ثابتًا توافقيًا آخر للترتيب، وهو جبر أورليك-سولومون . لتعريفه، نثبت حلقة فرعية تبديلية K من الحقل الأساسي ونشكل الجبر الخارجي E للفضاء المتجهي

⨁ح∈أكهـح{\displaystyle \bigoplus _{H\in A}Ke_{H}}

يتم توليدها بواسطة المستويات الفائقة. يتم تعريف بنية معقدة متسلسلة على E باستخدام عامل الحدود المعتاد∂{\displaystyle \partial }إذن، فإن جبر أورليك-سولومون هو خارج قسمة E على المثالي المتولد من عناصر من الشكلهـح1∧⋯∧هـحص{\displaystyle e_{H_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{H_{p}}}والتيح1،...،حص{\displaystyle H_{1},\dots ,H_{p}}لها تقاطع فارغ، وبحدود عناصر من نفس الشكل الذيح1∩⋯∩حص{\displaystyle H_{1}\cap \cdots \cap H_{p}}له بُعد مشترك أقل من p .

ترتيبات حقيقية

في الفضاء الأفيني الحقيقي ، يكون المكمل منفصلاً: فهو يتكون من أجزاء منفصلة تُسمى خلايا أو مناطق أو حجرات ، كل منها إما منطقة محدودة ( داخل متعدد السطوح المحدب ) ، أو منطقة متعددة السطوح محدبة غير محدودة. يُقسّم كل سطح مستوٍ من A إلى أجزاء بواسطة المستويات الفائقة التي لا تحتوي على السطح المستوي؛ تُسمى هذه الأجزاء وجوه A. المناطق هي وجوه لأن الفضاء بأكمله سطح مستوٍ. يمكن تسمية الوجوه ذات البعد المشترك 1 بأوجه A. الشبكة النصفية للوجوه لترتيب ما هي مجموعة جميع الوجوه، مرتبة حسب الاحتواء . إضافة عنصر علوي إضافي إلى الشبكة النصفية للوجوه يُعطي الشبكة الكاملة للوجوه .

في بعدين (أي في المستوى الأفيني الحقيقي ) كل منطقة عبارة عن مضلع محدب (إذا كانت محدودة) أو منطقة مضلعة محدبة تمتد إلى ما لا نهاية.

  • على سبيل المثال، إذا كان الترتيب يتكون من ثلاثة خطوط متوازية، فإن نصف الشبكة المتقاطعة تتكون من المستوى والخطوط الثلاثة، ولكنها لا تتكون من المجموعة الفارغة. توجد أربع مناطق، لا توجد أي منها محدودة.
  • إذا أضفنا خطًا يقطع الخطوط المتوازية الثلاثة، فإن الشبكة النصفية للتقاطع تتكون من المستوى والخطوط الأربعة ونقاط التقاطع الثلاث. يوجد ثماني مناطق، ولا تزال أي منها غير محدودة.
  • إذا أضفنا خطًا آخر موازيًا للخط الأخير، فسيكون هناك 12 منطقة، اثنتان منها عبارة عن متوازيات أضلاع محدودة .

تتمثل المسائل النموذجية المتعلقة بترتيب في فضاء حقيقي ذي n بُعد في تحديد عدد المناطق، أو عدد الأوجه ذات البعد 4، أو عدد المناطق المحدودة. ويمكن الإجابة عن هذه الأسئلة باستخدام شبه الشبكة التقاطعية. فعلى سبيل المثال، تنص نظريتان أساسيتان، من زاسلافسكي (1975)، على أن عدد مناطق الترتيب الأفيني يساوي ( −1 ) npA ( −1 ) ، وأن عدد المناطق المحدودة يساوي ( −1 ) npA ( 1 ) . وبالمثل ، يمكن استنتاج عدد الأوجه ذات البعد k أو الأوجه المحدودة من معامل x <sub>n</sub> − k في ( −1 ) nwA ( −x , −1 ) أو ( −1 ) nwA ( −x , 1) .

قام ميسر (1993) بتصميم خوارزمية سريعة لتحديد وجه ترتيب المستويات الفائقة التي تحتوي على نقطة إدخال.

سؤال آخر يتعلق بترتيب في الفضاء الحقيقي هو تحديد عدد المناطق التي تُمثل مُجسمات بسيطة ( التعميم ذو الأبعاد n للمثلثات والرباعيات ). لا يمكن الإجابة على هذا السؤال بالاعتماد فقط على شبكة التقاطع شبه الشبكية. تسأل مسألة ماكمولين عن أصغر ترتيب ذي بُعد مُحدد في وضع عام في الفضاء الإسقاطي الحقيقي بحيث لا توجد خلية واحدة مُلامسة لجميع المستويات الفائقة.

يحتوي الترتيب الخطي الحقيقي، بالإضافة إلى شبه الشبكة الوجهية، على مجموعة جزئية مرتبة من المناطق ، تختلف كل منطقة عن الأخرى. تتشكل هذه المجموعة الجزئية باختيار منطقة أساسية عشوائية، B₀ ، وربط كل منطقة R بالمجموعة S ( R ) التي تتكون من المستويات الفائقة التي تفصل R عن B. تُرتّب المناطق جزئيًا بحيث يكون R₁ ≥ R₂ إذا كانت S ( R₁ , R ) تحتوي على S ( R₂ , R ). في الحالة الخاصة عندما تنشأ المستويات الفائقة من نظام جذري ، تكون المجموعة الجزئية الناتجة هي زمرة ويل المقابلة ذات الترتيب الضعيف. بشكل عام، تُرتّب مجموعة المناطق الجزئية حسب عدد المستويات الفائقة الفاصلة، وقد حُسبت دالة موبيوس الخاصة بها ( إيدلمان، 1984 ) .

قدّم فاديم شيختمان وألكسندر فارتشينكو مصفوفة مفهرسة حسب المناطق. عنصر المصفوفة الخاص بكل منطقةRأنا{\displaystyle R_{i}}وRج{\displaystyle R_{j}}يُعطى بضرب متغيرات غير محددةأح{\displaystyle a_{H}}لكل مستوى فائق H يفصل بين هاتين المنطقتين. إذا تم تخصيص هذه المتغيرات لتكون جميعها من القيمة q، فإن هذا يسمى مصفوفة q (على المجال الإقليدي).سؤال[q]{\displaystyle \mathbb {Q} [q]}) بالنسبة للترتيب، وتحتوي صيغة سميث العادية على الكثير من المعلومات .

ترتيبات معقدة

في الفضاء الأفيني المركب ، يكون الجزء المكمل متصلاً (كوحدة واحدة) بثقوبٍ مكان إزالة المستويات الفائقة. ومن المسائل الشائعة في ترتيب العناصر في الفضاء المركب وصف هذه الثقوب.

تنص النظرية الأساسية المتعلقة بالترتيبات المعقدة على أن تماثل المتمم M ( A ) يتحدد تمامًا بواسطة شبه الشبكة المتقاطعة. وبشكل أدق، فإن حلقة التماثل لـ M ( A ) (بمعاملات صحيحة) متماثلة مع جبر أورليك-سولومون على Z.

يمكن وصف التشاكل بشكل صريح، وهو يقدم عرضًا للتجانس من حيث المولدات والعلاقات، حيث يتم تمثيل المولدات (في تجانس دي رام ) كأشكال تفاضلية لوغاريتمية

12πأنادαα.{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d\alpha }{\alpha }}.}

معα{\displaystyle \alpha }أي شكل خطي يحدد المستوى الفائق العام للترتيب.

الجوانب الفنية

أحيانًا يكون من الملائم السماح للفضاء الفائق المنحط ، وهو الفضاء S بأكمله ، بالانتماء إلى ترتيب معين. إذا احتوى الفضاء A على الفضاء الفائق المنحط، فلن يحتوي على أي مناطق لأن مكمله فارغ. ومع ذلك، فإنه لا يزال يحتوي على أسطح مستوية، وشبكة تقاطع نصفية، ووجوه. يفترض النقاش السابق أن الفضاء الفائق المنحط ليس جزءًا من الترتيب.

أحيانًا يرغب المرء في السماح بتكرار المستويات الفائقة في الترتيب. لم نتطرق إلى هذا الاحتمال في المناقشة السابقة، ولكنه لا يُحدث فرقًا جوهريًا.

انظر أيضاً

مراجع