فضاء الظل التمام

في الهندسة التفاضلية ، فضاء المماس المشترك هو فضاء متجهي مرتبط بنقطة${\displaystyle x}$على مشعب أملس (أو قابل للتفاضل)${\displaystyle {\mathcal {M}}}$يمكن تعريف فضاء مماس مشترك لكل نقطة على مشعب أملس. عادةً، يكون الفضاء المماسي المشترك${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$يُعرَّف بأنه الفضاء الثنائي للفضاء المماسي عند${\displaystyle x}$،${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$على الرغم من وجود تعريفات أكثر مباشرة (انظر أدناه ). تُسمى عناصر فضاء المماس المشترك متجهات المماس المشترك أو متجهات المماس المشترك .

جميع الفضاءات المماسية المشتركة عند نقاط على مشعب متصل لها نفس البعد ، وهو يساوي بُعد المشعب. يمكن "لصق" جميع الفضاءات المماسية المشتركة لمشعب ما (أي دمجها وتزويدها بطوبولوجيا) لتشكيل مشعب تفاضلي جديد ذي بُعد مضاعف، وهو حزمة الفضاء المماسي المشترك للمشعب.

الفضاء المماسي والفضاء المماسي المرافق عند نقطة ما هما فضاءان متجهيان حقيقيان لهما نفس البعد، وبالتالي فهما متماثلان عبر العديد من التشاكلات الممكنة. يؤدي إدخال مقياس ريماني أو شكل تماثلي إلى تماثل طبيعي بين الفضاء المماسي والفضاء المماسي المرافق عند نقطة ما، مما يربط أي متجه مماسي مرافق بمتجه مماسي معياري.

يترك${\displaystyle M}$كن مشعبًا سلسًا ودع${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$لتكن دالة سلسة . تفاضل${\displaystyle f}$في نقطة${\displaystyle x}$هذه هي الخريطة

${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(X_{x})=X_{x}(f)}$

أين${\displaystyle X_{x}}$هو متجه مماس عند${\displaystyle x}$، يُنظر إليه على أنه اشتقاق. هذا هو${\displaystyle X(f)={\mathcal {L}}_{X}f}$هو مشتق لي من${\displaystyle f}$في الاتجاه${\displaystyle X}$، ولدى المرء${\displaystyle \mathrm {d} f(X)=X(f)}$وبالمثل، يمكننا اعتبار متجهات المماس بمثابة مماسات للمنحنيات، وكتابة

${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(\gamma '(0))=(f\circ \gamma )'(0)}$

في كلتا الحالتين،${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}}$هي خريطة خطية على${\displaystyle T_{x}M}$وبالتالي فهو متجه مماس عند${\displaystyle x}$.

يمكننا بعد ذلك تعريف الخريطة التفاضلية${\displaystyle \mathrm {d} :C^{\infty }(M)\to T_{x}^{*}(M)}$في نقطة${\displaystyle x}$باعتبارها الخريطة التي ترسل${\displaystyle f}$ل${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}}$تشمل خصائص الخريطة التفاضلية ما يلي:

1. ${\displaystyle \mathrm {d} }$هي خريطة خطية:${\displaystyle \mathrm {d} (af+bg)=a\mathrm {d} f+b\mathrm {d} g}$للثوابت${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$،
2. ${\displaystyle \mathrm {d} (fg)_{x}=f(x)\mathrm {d} g_{x}+g(x)\mathrm {d} f_{x}}$

توفر الخريطة التفاضلية الرابط بين التعريفين البديلين لفضاء الظل التمام المذكورين أعلاه. بما أن لكل${\displaystyle f\in I_{x}^{2}}$يوجد${\displaystyle g_{i},h_{i}\in I_{x}}$بحيث${\textstyle f=\sum _{i}g_{i}h_{i}}$لدينا،

${\begin{array}{rcl}\mathrm {d} f_{x}&=&\sum _{i}\mathrm {d} (g_{i}h_{i})_{x}\\&=&\sum _{i}(g_{i}(x)\mathrm {d} (h_{i})_{x}+\mathrm {d} (g_{i})_{x}h_{i}(x))\\&=&\sum _{i}(0\mathrm {d} (h_{i})_{x}+\mathrm {d} (g_{i})_{x}0)\\&=&0\end{array}}$

بحيث تعمل جميع الوظائف في${\displaystyle I_{x}^{2}}$إذا كان للدالة مشتقة صفرية، فإنه يترتب على ذلك أنه لكل دالتين${\displaystyle f\in I_{x}^{2}}$،${\displaystyle g\in I_{x}}$لدينا${\displaystyle \mathrm {d} (f+g)=\mathrm {d} (g)}$يمكننا الآن إنشاء تماثل بين${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$و${\displaystyle I_{x}/I_{x}^{2}}$عن طريق إرسال الخرائط الخطية${\displaystyle \alpha }$إلى المجموعات المشاركة المقابلة${\displaystyle \alpha +I_{x}^{2}}$بما أن هناك تطبيقًا خطيًا فريدًا لنواة معينة وميل معين، فإن هذا تماثل، مما يثبت تكافؤ التعريفين.

تمامًا كما هو الحال في كل خريطة قابلة للتفاضل${\displaystyle f:M\to N}$يؤدي الربط بين المتشعبات إلى إنشاء تطبيق خطي (يسمى الدفع الأمامي أو المشتقة ) بين الفضاءات المماسية

${\displaystyle f_{*}^{}\colon T_{x}M\to T_{f(x)}N}$

كل خريطة من هذا القبيل تُنتج خريطة خطية (تسمى السحب العكسي ) بين فضاءات الظل المشترك، ولكن هذه المرة في الاتجاه المعاكس:

${\displaystyle f^{*}\colon T_{f(x)}^{*}N\to T_{x}^{*}M.}$

يُعرَّف التراجع بشكل طبيعي بأنه المقابل (أو المنقول) للدفع للأمام . وبفك هذا التعريف، فإن هذا يعني ما يلي:

${\displaystyle (f^{*}\theta )(X_{x})=\theta (f_{*}^{}X_{x}),}$

أين${\displaystyle \theta \in T_{f(x)}^{*}N}$و${\displaystyle X_{x}\in T_{x}M}$لاحظ جيداً مكان وجود كل شيء.

إذا عرّفنا المتجهات المماسية بدلالة فئات التكافؤ للتطبيقات الملساء التي تتلاشى عند نقطة ما، فإن تعريف السحب العكسي يصبح أكثر وضوحًا. ليكن${\displaystyle g}$كن دالة سلسة على${\displaystyle N}$يختفي في${\displaystyle f(x)}$ثم يتم تحديد سحب المتجه المرافق بواسطة${\displaystyle g}$(يشار إليه)${\displaystyle \mathrm {d} g}$) معطى بواسطة

${\displaystyle f^{*}\mathrm {d} g=\mathrm {d} (g\circ f).}$

أي أنها فئة التكافؤ للدوال على${\displaystyle M}$يختفي في${\displaystyle x}$يتم تحديده بواسطة${\displaystyle g\circ f}$.

ال${\displaystyle k}$القوة الخارجية رقم - لفضاء الظل التمام، ويرمز لها بـ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T_{x}^{*}{\mathcal {M}})}$يُعدّ ، موضوعًا مهمًا آخر في الهندسة التفاضلية والجبرية. المتجهات في${\displaystyle k}$-th قوة خارجية، أو بشكل أدق أقسام من${\displaystyle k}$تُسمى القوة الخارجية من الرتبة n لحزمة الظل التمام بالتفاضلات${\displaystyle k}$-forms . يمكن اعتبارها خرائط متعددة الخطوط متناوبة على${\displaystyle k}$المتجهات المماسية. ولهذا السبب، تُسمى المتجهات المماسية المشتركة في كثير من الأحيان بالأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى .

• أبراهام، رالف هـ.؛ مارسدن ، جيرولد إي. (1978)، أسس الميكانيكا ، لندن: بنجامين-كامينغز، ISBN 978-0-8053-0102-1
• جوست، يورغن (2005)، الهندسة الريمانية والتحليل الهندسي (الطبعة الرابعة  )، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-25907-7
• لي، جون م. (2003)، مقدمة في المشعبات الملساء ، نصوص سبرينغر للدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  218، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-95448-6
• ميسنر، تشارلز دبليو ؛ ثورن، كيب ؛ ويلر، جون أرشيبالد (1973)، الجاذبية ، دبليو إتش فريمان، رقم ISBN 978-0-7167-0344-0