البعد الحرج

في تحليل مجموعة إعادة التطبيع لانتقالات الطور في الفيزياء ، يُعرَّف البُعد الحرج بأنه بُعد الفضاء الذي تتغير عنده طبيعة انتقال الطور. لا يحدث انتقال طور تحت البُعد الحرج الأدنى . أما فوق البُعد الحرج الأعلى، فتصبح الأسس الحرجة للنظرية مماثلة لتلك الموجودة في نظرية المجال المتوسط . ويُعزى معيارٌ دقيقٌ لتحديد البُعد الحرج في نظرية المجال المتوسط ​​إلى ف. جينزبورغ .

بما أن مجموعة إعادة التطبيع تُرسّخ علاقة بين الانتقال الطوري ونظرية الحقل الكمومي ، فإن لهذا الأمر دلالات على الأخيرة وعلى فهمنا الأوسع لإعادة التطبيع عمومًا. فوق البُعد الحرج الأعلى، تكون نظرية الحقل الكمومي التي تنتمي إلى نموذج الانتقال الطوري نظرية حقل حر . أما تحت البُعد الحرج الأدنى، فلا توجد نظرية حقل تُطابق النموذج.

في سياق نظرية الأوتار، يكون المعنى أكثر تحديدًا: البُعد الحرج هو البُعد الذي تكون عنده نظرية الأوتار متسقة بافتراض وجود خلفية ثابتة من الديلاتون دون أي تباديل إضافية مُربكة ناتجة عن تأثيرات الإشعاع الخلفي. يمكن تحديد العدد الدقيق من خلال الإلغاء المطلوب للشذوذ المطابق على سطح العالم ؛ وهو 26 لنظرية الأوتار البوزونية و10 لنظرية الأوتار الفائقة .

يُعدّ تحديد البُعد الحرج الأعلى لنظرية حقل مسألةً من مسائل الجبر الخطي . ومن المفيد صياغة هذه العملية بشكلٍ رسمي لأنها تُنتج أدنى تقريبٍ للقياس، وتُشكّل مدخلاً أساسياً لمجموعة إعادة التطبيع . كما أنها تكشف عن الشروط اللازمة لوجود نموذج حرج في المقام الأول.

يمكن كتابة دالة لاغرانج كمجموع حدود، يتكون كل منها من تكامل على حد أحادي الإحداثيات${\displaystyle x_{i}}$والحقول${\displaystyle \phi _{i}}$الأمثلة هي المعيار${\displaystyle \phi ^{4}}$-النموذج ونقطة ليفشيتز الثلاثية الحرجة المتناحية مع لاغرانجيان

${\displaystyle \displaystyle S=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla \phi \right)^{2}+u\phi ^{4}\right\},}$

${\displaystyle \displaystyle S_{LTP}=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}+u\phi ^{3}\nabla ^{2}\phi +w\phi ^{6}\right\},}$

انظر أيضًا إلى الشكل على اليمين. قد يكون هذا الهيكل البسيط متوافقًا مع ثبات المقياس عند إعادة تحجيم الإحداثيات والحقول بمعامل.${\displaystyle b}$وفق

${\displaystyle \displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}b^{\left[x_{i}\right]},\phi _{i}\rightarrow \phi _{i}b^{\left[\phi _{i}\right]}.}$

لا يتم التركيز على الزمن هنا بشكل منفرد  ، بل هو مجرد إحداثية أخرى: إذا احتوى لاغرانجيان على متغير زمني، فيجب إعادة قياس هذا المتغير على النحو التالي:${\displaystyle t\rightarrow tb^{-z}}$مع بعض الأس الثابت${\displaystyle z=-[t]}$الهدف هو تحديد مجموعة الأسس${\displaystyle N=\{[x_{i}],[\phi _{i}]\}}$.

لنفترض أسًا واحدًا${\displaystyle [x_{1}]}$يمكن اختيارها بشكل تعسفي، على سبيل المثال${\displaystyle [x_{1}]=-1}$في لغة التحليل البُعدي، هذا يعني أن الأسس${\displaystyle N}$عدد عوامل متجه الموجة ( طول مقلوب)${\displaystyle k=1/L_{1}}$وبالتالي، تؤدي كل حدية من حدود لاغرانجيان إلى معادلة خطية متجانسة.${\displaystyle \sum E_{i,j}N_{j}=0}$بالنسبة للأسس${\displaystyle N}$إذا كان هناك${\displaystyle M}$إحداثيات وحقول (غير متكافئة) في لاغرانجيان، ثم${\displaystyle M}$تُشكّل هذه المعادلات مصفوفة مربعة. إذا كانت هذه المصفوفة قابلة للعكس، فلن يكون هناك سوى الحل التافه.${\displaystyle N=0}$.

الحالة${\displaystyle \det(E_{i,j})=0}$بالنسبة للحل غير التافه، فإنه يعطي معادلة بين أبعاد الفضاء، وهذا يحدد البعد الحرج العلوي${\displaystyle d_{u}}$(بشرط وجود بُعد متغير واحد فقط)${\displaystyle d}$في لاغرانجيان). تُظهر إعادة تعريف الإحداثيات والحقول الآن أن تحديد أسس القياس${\displaystyle N}$وهو ما يعادل التحليل البُعدي بالنسبة لمتجه الموجة${\displaystyle k}$مع تحويل جميع ثوابت الاقتران الواردة في لاغرانجيان إلى قيم لا بُعدية. وتُعد ثوابت الاقتران اللا بُعدية السمة التقنية المميزة للبعد الحرج الأعلى.

لا يتوافق القياس البسيط على مستوى لاغرانجيان مباشرةً مع القياس الفيزيائي، إذ يتطلب الأمر حدًا فاصلًا لإضفاء معنى على نظرية المجال وتكامل المسار . كما أن تغيير مقياس الطول يُغير عدد درجات الحرية. وتأخذ مجموعة إعادة التطبيع هذا التعقيد في الحسبان . وتتمثل النتيجة الرئيسية عند البعد الحرج الأعلى في أن ثبات المقياس يظل صالحًا لعوامل كبيرة.${\displaystyle b}$ولكن مع إضافات${\displaystyle ln(b)}$العوامل المؤثرة في قياس الإحداثيات والحقول.

ماذا يحدث في الأسفل أو في الأعلى؟${\displaystyle d_{u}}$يعتمد ذلك على ما إذا كان المرء مهتمًا بالمسافات الطويلة ( نظرية المجال الإحصائي ) أو المسافات القصيرة ( نظرية المجال الكمومي ). وتكون نظريات المجال الكمومي بديهية (متقاربة) عند قيم أقل من${\displaystyle d_{u}}$وغير قابلة لإعادة التطبيع أعلاه${\displaystyle d_{u}}$[ ^{1 ] نظريات} المجال الإحصائي بديهية (متقاربة) فوق${\displaystyle d_{u}}$ويمكن إعادة تطبيعها أدناه${\displaystyle d_{u}}$في الحالة الأخيرة، تظهر مساهمات "شاذة" في أسس القياس البسيطة${\displaystyle N}$تتلاشى هذه المساهمات الشاذة في الأسس الحرجة الفعالة عند البعد الحرج الأعلى.

من المفيد ملاحظة كيف يتحول ثبات المقياس عند البعد الحرج العلوي إلى ثبات مقياس عند البعد الأدنى. بالنسبة لمتجهات الموجة الخارجية الصغيرة، تكون دوال الرأس${\displaystyle \Gamma }$الحصول على أسس إضافية، على سبيل المثال${\displaystyle \Gamma _{2}(k)\thicksim k^{2-\eta (d)}}$إذا تم إدخال هذه الأسس في مصفوفة${\displaystyle A(d)}$(والتي تحتوي فقط على قيم في العمود الأول) يصبح شرط عدم تغير المقياس${\displaystyle \det(E+A(d))=0}$لا يمكن تحقيق هذه المعادلة إلا إذا تعاونت الأسس الشاذة لدوال الرؤوس بطريقة ما. في الواقع، تعتمد دوال الرؤوس على بعضها البعض بشكل هرمي. إحدى طرق التعبير عن هذا الترابط هي معادلات شوينجر-دايسون .

التوسع البسيط عند${\displaystyle d_{u}}$لذا، يُعدّ هذا الأمر مهمًا كتقريب من الرتبة الصفرية. كما يُصنّف التحجيم البسيط عند البُعد الحرج العلوي حدود لاغرانجيان إلى حدود ذات صلة، أو غير ذات صلة، أو هامشية. ويكون لاغرانجيان متوافقًا مع التحجيم إذا كان${\displaystyle x_{i}}$- و${\displaystyle \phi _{i}}$-الأسس${\displaystyle E_{i,j}}$تقع على مستوى فائق ، وللاطلاع على أمثلة انظر الشكل أعلاه.${\displaystyle N}$هو متجه عمودي على هذا المستوى الفائق.

البعد الحرج الأدنى${\displaystyle d_{L}}$يمثل آخر بُعد لا يحدث فيه هذا الانتقال الطوري في فئة عالمية معينة، إذا تم زيادة البُعد بدءًا من${\displaystyle d=1}$.

يعتمد الاستقرار الديناميكي الحراري لطور منتظم على الإنتروبيا والطاقة. ويعتمد هذا كميًا على نوع جدران النطاقات وأنماط تذبذبها. ويبدو أنه لا توجد طريقة رسمية عامة لاستنتاج البعد الحرج الأدنى لنظرية المجال. ويمكن استنتاج الحدود الدنيا باستخدام حجج الميكانيكا الإحصائية .

لنفترض أولاً نظامًا أحادي البعد ذو تفاعلات قصيرة المدى. يتطلب إنشاء جدار نطاق مقدارًا ثابتًا من الطاقة.${\displaystyle \epsilon }$يؤدي استخلاص هذه الطاقة من درجات الحرية الأخرى إلى تقليل الإنتروبيا بمقدار${\displaystyle \Delta S=-\epsilon /T}$يجب مقارنة هذا التغير في الإنتروبيا مع إنتروبيا جدار المجال نفسه. ^{[ 2 ]} في نظام طوله${\displaystyle L}$هناك${\displaystyle L/a}$مواقع جدار المجال، مما يؤدي (وفقًا لمبدأ بولتزمان ) إلى زيادة في الإنتروبيا${\displaystyle \Delta S=k_{B}\log(L/a)}$. لدرجات حرارة غير صفرية${\displaystyle T}$و${\displaystyle L}$عندما تكون قيمة ε كبيرة بما يكفي، فإن مكسب الإنتروبيا يهيمن دائمًا، وبالتالي لا يوجد انتقال طوري في الأنظمة أحادية البعد ذات التفاعلات قصيرة المدى عند ε = 0.${\displaystyle T>0}$الأبعاد المكانية${\displaystyle d_{1}=1}$وبالتالي، يمثل هذا حدًا أدنى للبعد الحرج الأدنى لمثل هذه الأنظمة.

حد أدنى أقوى${\displaystyle d_{L}=2}$يمكن استنتاج ذلك بمساعدة حجج مماثلة للأنظمة ذات التفاعلات قصيرة المدى ومعامل الترتيب ذي التناظر المستمر. في هذه الحالة، تنص نظرية ميرمين-فاغنر على أن القيمة المتوقعة لمعامل الترتيب تتلاشى في${\displaystyle d=2}$في${\displaystyle T>0}$وبالتالي، لا يوجد انتقال طور من النوع المعتاد عند${\displaystyle d_{L}=2}$وأدناه.

بالنسبة للأنظمة ذات الاضطراب المطفأ، قد يكون المعيار الذي وضعه إمري وما ^{[ 3 ]} ذا صلة. استخدم هذان الباحثان المعيار لتحديد البعد الحرج الأدنى للمغناطيسات ذات المجال العشوائي.

• Kanon: A free windows program to determine the critical dimension, with examples, online help and mathematical details