ثبات المقياس

تتوسع فكرة ثبات المقياس للحدود الأحادية في الأبعاد الأعلى لتشمل فكرة كثير الحدود المتجانس ، وبشكل أعم، الدالة المتجانسة . تُعد الدوال المتجانسة الكائنات الطبيعية للفضاء الإسقاطي ، وتُدرس كثيرات الحدود المتجانسة كمتنوعات إسقاطية في الهندسة الإسقاطية . تُعتبر الهندسة الإسقاطية مجالًا ثريًا في الرياضيات؛ ففي أكثر أشكالها تجريدًا، أي هندسة المخططات ، ترتبط بمواضيع متنوعة في نظرية الأوتار .

يُقال أحيانًا أن الأشكال الكسورية ثابتة المقياس، ولكن الأصح أن نقول إنها متشابهة ذاتيًا . يكون الشكل الكسوري مساويًا لنفسه عادةً فقط لمجموعة محددة من القيم λ ، وحتى في هذه الحالة قد يلزم تطبيق إزاحة ودوران لمطابقة الشكل الكسوري مع نفسه.

فعلى سبيل المثال، يتناسب منحنى كوخ مع ∆ = 1 ، لكن هذا التناسب لا ينطبق إلا على قيم λ = 1/3 ⁿ للأعداد الصحيحة n . إضافةً إلى ذلك، لا يتناسب منحنى كوخ عند نقطة الأصل فحسب، بل يتناسب، بمعنى ما، "في كل مكان": إذ يمكن إيجاد نسخ مصغرة منه على طول المنحنى.

قد يكون لبعض الأشكال الكسورية عوامل قياس متعددة تعمل في وقت واحد؛ ويتم دراسة هذا القياس باستخدام تحليل متعدد الأشكال الكسورية .

الأشعة الخارجية والداخلية الدورية هي منحنيات ثابتة.

تُعدّ توزيعات تويدي حالة خاصة من نماذج التشتت الأسي ، وهي فئة من النماذج الإحصائية تُستخدم لوصف توزيعات الخطأ للنموذج الخطي المعمم، وتتميز بالانغلاق تحت الالتفاف الجمعي والتكراري، وكذلك تحت تحويل المقياس. ^{[ 1 ]} تشمل هذه التوزيعات عددًا من التوزيعات الشائعة: التوزيع الطبيعي ، وتوزيع بواسون ، وتوزيع جاما ، بالإضافة إلى توزيعات أخرى غير شائعة مثل توزيع بواسون-جاما المركب، والتوزيعات المستقرة الموجبة ، والتوزيعات المستقرة المتطرفة. ونتيجةً لثباتها المتأصل في المقياس،تُظهر متغيرات تويدي العشوائية Y قانون قوة التباين var( Y ) إلى المتوسط ​​E( Y ).

${\displaystyle {\text{var}}\,(Y)=a[{\text{E}}\,(Y)]^{p}}$،

حيث a و p ثابتان موجبان. يُعرف قانون التباين إلى المتوسط ​​هذا في الأدبيات الفيزيائية باسم قياس التذبذب ، ^{[ 2 ]} وفي الأدبيات البيئية باسم قانون تايلور . ^{[ 3 ]}

تُظهر المتتابعات العشوائية، الخاضعة لتوزيعات تويدي والمُقَيَّمة بطريقة توسيع الفئات ، علاقة ثنائية الشرط بين قانون القوة للتباين بالنسبة للمتوسط ​​والارتباطات الذاتية لقانون القوة . كما تنص نظرية وينر-خينشين على أنه بالنسبة لأي متتابعة تُظهر قانون القوة للتباين بالنسبة للمتوسط ​​في ظل هذه الشروط، فإنها ستُظهر أيضًا ضوضاء 1/f . ^{[ 4 ]}

تُقدّم نظرية تقارب تويدي تفسيرًا افتراضيًا للانتشار الواسع لظاهرة قياس التذبذب والضوضاء من نوع 1/f . ^{[ 5 ]} وهي تنصّ، في جوهرها، على أن أي نموذج تشتت أُسّي يُظهر تقاربًا قانون قوة التباين إلى المتوسط، يجب أن يُعبّر عن دالة تباين تقع ضمن نطاق جاذبية نموذج تويدي. تُصنّف جميع دوال التوزيع تقريبًا ذات دوال توليد العزوم التراكمية المحدودة كنماذج تشتت أُسّي، وتُظهر معظم نماذج التشتت الأُسّي دوال تباين من هذا النوع. لذا، فإن العديد من التوزيعات الاحتمالية لها دوال تباين تُعبّر عن هذا السلوك التقاربي ، وتُصبح توزيعات تويدي محورًا للتقارب لمجموعة واسعة من أنواع البيانات. ^{[ 4 ]}

وكما تتطلب نظرية النهاية المركزية أن يكون لأنواع معينة من المتغيرات العشوائية توزيع غاوسي كنقطة تقارب وأن تعبر عن الضوضاء البيضاء ، فإن نظرية تويدي للتقارب تتطلب أن تعبر بعض المتغيرات العشوائية غير الغاوسية عن ضوضاء 1/f وقياس التذبذب. ^{[ 4 ]}

في علم الكونيات الفيزيائي ، يقترب طيف القدرة للتوزيع المكاني لإشعاع الخلفية الكونية الميكروي من أن يكون دالة ثابتة المقياس. مع أن هذا يعني رياضياً أن الطيف يخضع لقانون القوة، فإن مصطلح "ثابت المقياس" في علم الكونيات يشير إلى أن سعة التقلبات البدائية ، P ( k ) ، كدالة للعدد الموجي k ، ثابتة تقريباً، أي طيف مسطح. ويتوافق هذا النمط مع فرضية التضخم الكوني .

لكي يكون تكوين حقل معين، φ ( x )، غير متغير المقياس، فإننا نشترط أن

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda ^{-\Delta }\varphi (\lambda x)}$

حيث أن Δ هو، مرة أخرى، بُعد القياس للمجال.

نلاحظ أن هذا الشرط مقيد للغاية. بشكل عام، حتى حلول معادلات المجال الثابتة المقياس لن تكون ثابتة المقياس، وفي مثل هذه الحالات يُقال إن التناظر قد انكسر تلقائيًا .

من الأمثلة على نظرية المجال الكلاسيكية غير المتغيرة المقياس الكهرومغناطيسية التي لا تحتوي على شحنات أو تيارات. المجالات هي المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي، E ( x , t ) و B ( x , t )، بينما معادلات المجال هي معادلات ماكسويل .

في غياب الشحنات أو التيارات، تأخذ معادلات المجال هذه شكل معادلات الموجة.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\[6pt]\nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^ {2}\mathbf {B}} {\جزئي t^{2}}}\end{محاذاة}}}$

حيث c هي سرعة الضوء.

تظل معادلات المجال هذه ثابتة تحت التحويل

${\displaystyle {\begin{aligned}x\rightarrow \lambda x,\\[6pt]t\rightarrow \lambda t.\end{aligned}}}$

علاوة على ذلك، بالنظر إلى حلول معادلات ماكسويل، E ( x , t ) و B ( x , t )، فإن E ( λ x , λt ) و B ( λ x , λt ) هي أيضًا حلول.

مثال آخر على نظرية المجال الكلاسيكية غير المتغيرة بتغير المقياس هو الحقل القياسي عديم الكتلة (لاحظ أن مصطلح "قياسي" لا علاقة له بعدم تغير المقياس). الحقل القياسي، φ ( x , t )، هو دالة لمجموعة من المتغيرات المكانية، x ، ومتغير زمني، t .

لننظر أولاً إلى النظرية الخطية. ومثل معادلات المجال الكهرومغناطيسي المذكورة أعلاه، فإن معادلة الحركة لهذه النظرية هي أيضاً معادلة موجية.

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi =0,}$

وهو ثابت تحت التحويل

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t.}$

يشير مصطلح "عديم الكتلة" إلى غياب مصطلح ما${\displaystyle \propto m^{2}\varphi }$في معادلة المجال. يُشار إلى هذا الحد غالبًا باسم حد "الكتلة"، وهو من شأنه أن يكسر الثبات تحت التحويل المذكور أعلاه. في نظريات المجال النسبية ، يكون مقياس الكتلة، m، مكافئًا فيزيائيًا لمقياس طول ثابت من خلال

${\displaystyle L={\frac {\hbar }{mc}},}$

وبالتالي، لا ينبغي أن يكون مفاجئاً أن نظرية المجال القياسي الضخم ليست ثابتة المقياس.

من الأمثلة البسيطة على نظرية الحقل الكمومي غير المتغيرة المقياس، الحقل الكهرومغناطيسي الكمومي بدون جسيمات مشحونة. في الواقع، لا تحتوي هذه النظرية على معاملات اقتران (لأن الفوتونات عديمة الكتلة وغير متفاعلة)، وبالتالي فهي غير متغيرة المقياس، تمامًا مثل النظرية الكلاسيكية.

مع ذلك، في الطبيعة، يرتبط المجال الكهرومغناطيسي بجسيمات مشحونة، مثل الإلكترونات . تُعرف نظرية الحقل الكمومي التي تصف تفاعلات الفوتونات مع الجسيمات المشحونة باسم الديناميكا الكهربائية الكمومية (QED)، وهذه النظرية ليست ثابتة المقياس. يمكننا ملاحظة ذلك من خلال دالة بيتا في QED ، والتي تُشير إلى أن الشحنة الكهربائية (وهي معامل الاقتران في النظرية) تزداد مع ازدياد الطاقة. لذا، بينما يكون المجال الكهرومغناطيسي الكمومي بدون جسيمات مشحونة ثابت المقياس، فإن QED ليست كذلك.

لا تحتوي نظرية الحقل القياسي الكمومي الحر عديم الكتلة على معاملات اقتران. ولذلك، فهي، مثل النسخة الكلاسيكية، ثابتة المقياس. وفي لغة مجموعة إعادة التطبيع، تُعرف هذه النظرية باسم النقطة الثابتة الغاوسية .

مع ذلك، فرغم أن نظرية φ ⁴ الكلاسيكية عديمة الكتلة ثابتة المقياس في D  =  4، فإن النسخة الكمومية منها ليست كذلك. ويمكننا ملاحظة ذلك من خلال دالة بيتا لمعامل الاقتران g .

على الرغم من أن φ⁴ الكمومية عديمة الكتلة ليست ثابتة المقياس، إلا ^أن هناك نظريات حقل قياسي كمومي ثابتة المقياس بخلاف النقطة الثابتة الغاوسية. ومن الأمثلة على ذلك النقطة الثابتة ويلسون-فيشر ، الموضحة أدناه.

تكون نظريات الحقول الكمومية الثابتة المقياس ثابتةً في أغلب الأحيان تحت التناظر التوافقي الكامل ، ويُعرف دراسة هذه النظريات بنظرية الحقول التوافقية (CFT). للمؤثرات في نظرية الحقول التوافقية بُعد قياس مُحدد جيدًا ، يُشابه بُعد القياس ∆ للحقل الكلاسيكي المذكور سابقًا. مع ذلك، تختلف أبعاد قياس المؤثرات في نظرية الحقول التوافقية عادةً عن أبعاد قياس الحقول في النظرية الكلاسيكية المُقابلة. تُعرف المساهمات الإضافية التي تظهر في نظرية الحقول التوافقية بأبعاد القياس الشاذة .

يوضح مثال نظرية φ⁴ ^أعلاه أن معاملات الاقتران في نظرية الحقل الكمومي قد تعتمد على المقياس حتى لو كانت نظرية الحقل الكلاسيكية المقابلة لها ثابتة المقياس (أو ثابتة التوافق). في هذه الحالة، يُقال إن ثبات المقياس الكلاسيكي (أو التوافقي) شاذ . توفر نظرية الحقل الثابتة المقياس كلاسيكيًا، حيث يُكسر ثبات المقياس بفعل التأثيرات الكمومية، تفسيرًا للتوسع شبه الأسي للكون المبكر المسمى بالتضخم الكوني ، طالما أمكن دراسة النظرية من خلال نظرية الاضطراب . ^{[ 7 ]}

من الأمثلة التي تربط بين العديد من الأفكار الواردة في هذه المقالة، التحول الطوري لنموذج إيزينغ ، وهو نموذج بسيط للمواد المغناطيسية الحديدية . هذا نموذج ميكانيكا إحصائية، وله وصف أيضًا باستخدام نظرية المجال المطابق. يتكون النظام من مصفوفة من مواقع الشبكة، التي تشكل شبكة دورية ذات D بُعد. يرتبط بكل موقع من مواقع الشبكة عزم مغناطيسي ، أو دوران مغزلي ، ويمكن أن يأخذ هذا الدوران المغزلي القيمة +1 أو -1. (تُسمى هاتان الحالتان أيضًا بالأعلى والأسفل، على التوالي).

تكمن النقطة الأساسية في أن نموذج إيزينغ يتضمن تفاعلًا بين اللفات المغزلية، مما يجعل اصطفاف لفتين متجاورتين أمرًا مفضلًا من الناحية الطاقية. من ناحية أخرى، تُدخل التقلبات الحرارية عادةً عشوائية في اصطفاف اللفات المغزلية. عند درجة حرارة حرجة معينة، T_{_c} ، يُقال إن التمغنط التلقائي يحدث. هذا يعني أنه تحت درجة حرارة T_{_c،} سيبدأ التفاعل بين اللفات المغزلية بالهيمنة، وسيكون هناك اصطفاف صافٍ لللفات المغزلية في أحد الاتجاهين.

من الأمثلة على الكميات الفيزيائية التي قد يرغب المرء في حسابها عند درجة الحرارة الحرجة هذه، الارتباط بين اللفات المغزلية المفصولة بمسافة r . وهذا له السلوك العام التالي:

${\displaystyle G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}},}$

لقيمة معينة من${\displaystyle \eta }$، وهو مثال على الأس الحرج.

يمكن ربط الأبعاد الشاذة في بعض نظريات الحقل المطابق ثنائية الأبعاد بالأبعاد الكسورية النموذجية للمسارات العشوائية، حيث تُعرَّف هذه المسارات عبر تطور شرام-لوينر . وكما رأينا سابقًا، تصف نظريات الحقل المطابق فيزياء التحولات الطورية، وبالتالي يمكن ربط الأسس الحرجة لبعض هذه التحولات بهذه الأبعاد الكسورية. ومن الأمثلة على ذلك نموذج إيزينغ الحرج ثنائي الأبعاد ، ونموذج بوتس الحرج ثنائي الأبعاد الأكثر عمومية . ويُعدّ ربط نظريات الحقل المطابق ثنائية الأبعاد الأخرى بتطور شرام-لوينر مجالًا بحثيًا نشطًا.

في ظل ظروف معينة، تُعتبر ميكانيكا الموائع نظرية حقل كلاسيكية غير متغيرة المقياس. الحقول هي سرعة تدفق المائع.${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$كثافة السائل،${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$وضغط السائل،${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$يجب أن تحقق هذه الحقول كلاً من معادلة نافيير-ستوكس ومعادلة الاستمرارية . بالنسبة للمائع النيوتوني، تأخذ هذه الحقول الأشكال التالية:

$${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-\nabla P+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right)}$$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0}$

أين${\displaystyle \mu }$هي اللزوجة الديناميكية .

لاستنتاج ثبات هذه المعادلات بتغير المقياس، نحدد معادلة حالة تربط ضغط المائع بكثافته. وتعتمد معادلة الحالة على نوع المائع والظروف التي يتعرض لها. على سبيل المثال، نعتبر الغاز المثالي متساوي الحرارة ، الذي يحقق ما يلي:

${\displaystyle P=c_{s}^{2}\rho ,}$

أين${\displaystyle c_{s}}$هي سرعة الصوت في المائع. وبناءً على معادلة الحالة هذه، فإن معادلات نافيير-ستوكس ومعادلة الاستمرارية تظل ثابتة تحت التحويلات.

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{2}t,}$

${\displaystyle \rho \rightarrow \lambda ^{-1}\rho ,}$

${\displaystyle \mathbf {u} \rightarrow \lambda ^{-1}\mathbf {u} .}$

بالنظر إلى الحلول${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$و${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$، لدينا ذلك تلقائياً ${\displaystyle \lambda \mathbf {u} (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$و${\displaystyle \lambda \rho (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$وهي أيضاً حلول.

في مجالي رؤية الحاسوب والرؤية البيولوجية ، تنشأ تحويلات القياس نتيجةً لرسم خرائط الصور من منظور معين، ولاختلاف الأحجام الفيزيائية للأجسام في الواقع. في هذين المجالين، يشير ثبات المقياس إلى مُعرِّفات الصور المحلية أو التمثيلات المرئية لبيانات الصورة التي تظل ثابتة عند تغيير المقياس المحلي في مجال الصورة. ^{[ 8 ]} يوفر اكتشاف القيم القصوى المحلية عبر مقاييس استجابات المشتقات المُعَيَّرة إطارًا عامًا للحصول على ثبات المقياس من بيانات الصورة. ^{[ 9 ] [ 10 ]} تشمل أمثلة التطبيقات اكتشاف البقع ، واكتشاف الزوايا ، واكتشاف الحواف ، والتعرف على الأجسام عبر تحويل الميزات الثابتة المقياس .