Production function

A production function can be expressed in a functional form as the right side of

${\displaystyle Q=f(X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc ,X_{n})}$

where ${\displaystyle Q}$ is the quantity of output and ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc ,X_{n}}$ are the quantities of factor inputs (such as capital, labour, land or raw materials). For ${\displaystyle X_{1}=X_{2}=...=X_{n}=0}$ it must be ${\displaystyle Q=0}$ since we cannot produce anything without inputs.

If ${\displaystyle Q}$ is a scalar, then this form does not encompass joint production, which is a production process that has multiple co-products. On the other hand, if ${\displaystyle f}$ maps from ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ to ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ then it is a joint production function expressing the determination of ${\displaystyle k}$ different types of output based on the joint usage of the specified quantities of the ${\displaystyle n}$ inputs.

One formulation is as a linear function:

${\displaystyle Q=a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+a_{3}X_{3}+\dotsb +a_{n}X_{n}}$

where ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ are parameters that are determined empirically. Linear functions imply that inputs are perfect substitutes in production. Another is as a Cobb–Douglas production function:

${\displaystyle Q=a_{0}X_{1}^{a_{1}}X_{2}^{a_{2}}\cdots X_{n}^{a_{n}}}$

where ${\displaystyle a_{0}}$ is the so-called total factor productivity. The Leontief production function applies to situations in which inputs must be used in fixed proportions; starting from those proportions, if usage of one input is increased without another being increased, the output will not change. This production function is given by

${\displaystyle Q=\min(a_{1}X_{1},a_{2}X_{2},\dotsc ,a_{n}X_{n}).}$

تشمل الأشكال الأخرى دالة الإنتاج ذات المرونة الثابتة للإحلال (CES)، وهي شكل معمّم لدالة كوب-دوغلاس، ودالة الإنتاج التربيعية. أفضل شكل للمعادلة التي يجب استخدامها وقيم المعاملات (${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}}$تختلف هذه العوامل من شركة لأخرى ومن قطاع لآخر. على المدى القصير، تمثل وظيفة الإنتاج واحدة على الأقل مما يلي:${\displaystyle X}$تُعتبر المدخلات ثابتة. على المدى الطويل، تكون جميع مدخلات عوامل الإنتاج متغيرة وفقًا لتقدير الإدارة.

يقدم مويسان وسينوسي (2016) صيغة تحليلية لجميع دوال الإنتاج الكلاسيكية الجديدة ذات المدخلين. ^{[ 4 ]}

يمكن تمثيل أي من هذه المعادلات بيانيًا. يوضح الرسم البياني التالي دالة إنتاج نموذجية (تربيعية) بافتراض وجود مُدخل متغير واحد (أو نسب ثابتة من المُدخلات بحيث يمكن التعامل معها كمتغير واحد). جميع النقاط أعلى دالة الإنتاج غير قابلة للتحقيق بالتكنولوجيا الحالية، وجميع النقاط أسفلها قابلة للتحقيق تقنيًا، وتُظهر جميع النقاط على الدالة الحد الأقصى لكمية الإنتاج التي يمكن الحصول عليها عند مستوى استخدام مُحدد للمُدخل. من النقطة أ إلى النقطة ج، تُحقق الشركة عوائد هامشية موجبة ولكنها متناقصة للمُدخل المتغير. مع استخدام وحدات إضافية من المُدخل، يزداد الإنتاج ولكن بمعدل متناقص. النقطة ب هي النقطة التي تبدأ بعدها العوائد المتوسطة بالتناقص، كما يتضح من انخفاض ميل منحنى متوسط ​​الناتج المادي (APP) بعد النقطة ص. النقطة ب هي مماس لأشد شعاع انحدارًا من نقطة الأصل، وبالتالي يكون متوسط ​​الناتج المادي عند أقصى قيمة له. بعد النقطة B، تتطلب الضرورة الرياضية أن يكون المنحنى الهامشي أسفل المنحنى المتوسط ​​(انظر أساسيات نظرية الإنتاج لمزيد من التوضيح و Sickles و Zelenyuk (2019) لمزيد من المناقشات الموسعة حول وظائف الإنتاج المختلفة وتعميماتها وتقديراتها).

لتبسيط تفسير دالة الإنتاج، يُقسّم نطاقها عادةً إلى ثلاث مراحل. في المرحلة الأولى (من نقطة الأصل إلى النقطة ب)، يُستخدم المدخل المتغير مع زيادة في الناتج لكل وحدة، حيث يصل الناتج إلى أقصى قيمة له عند النقطة ب (لأن متوسط ​​المنتج المادي يكون في أقصى قيمة له عند تلك النقطة). ولأن الناتج لكل وحدة من المدخل المتغير يتحسن طوال المرحلة الأولى، فإن الشركة التي لا تتأثر بالسعر ستعمل دائمًا بعد هذه المرحلة.

في المرحلة الثانية، يزداد الإنتاج بمعدل متناقص، وينخفض ​​كل من متوسط ​​الناتج المادي والناتج الحدي . مع ذلك، لا يزال متوسط ​​ناتج المدخلات الثابتة (غير موضح) في ازدياد، لأن الإنتاج يرتفع بينما يظل استخدام المدخلات الثابتة ثابتًا. في هذه المرحلة، يؤدي استخدام مدخلات متغيرة إضافية إلى زيادة الناتج لكل وحدة من المدخلات الثابتة، ولكنه يقلل الناتج لكل وحدة من المدخلات المتغيرة. سيكون المزيج الأمثل للمدخلات/المخرجات للشركة التي تتلقى السعر في المرحلة الثانية، على الرغم من أن الشركة التي تواجه منحنى طلب متناقص قد تجد أن العمل في المرحلة الثانية هو الأكثر ربحية. في المرحلة الثالثة، يُستخدم قدر كبير جدًا من المدخلات المتغيرة مقارنةً بالمدخلات الثابتة المتاحة: تُستغل المدخلات المتغيرة بشكل مفرط بمعنى أن وجودها على الهامش يعيق عملية الإنتاج بدلًا من تحسينها. ينخفض ​​الناتج لكل وحدة من كل من المدخلات الثابتة والمتغيرة خلال هذه المرحلة. عند الحد الفاصل بين المرحلتين الثانية والثالثة، يتم الحصول على أعلى ناتج ممكن من المدخلات الثابتة.

بحسب التعريف، يمكن للشركة على المدى الطويل تغيير حجم عملياتها بتعديل مستوى المدخلات الثابتة على المدى القصير، مما يؤدي إلى رفع دالة الإنتاج عند تمثيلها بيانيًا مقابل المدخلات المتغيرة. إذا كانت المدخلات الثابتة غير منتظمة، فقد تكون تعديلات حجم العمليات أكثر أهمية من مجرد موازنة الطاقة الإنتاجية مع الطلب. على سبيل المثال، قد تحتاج فقط إلى زيادة الإنتاج بمقدار مليون وحدة سنويًا لمواكبة الطلب، ولكن ترقيات معدات الإنتاج المتاحة قد تتطلب زيادة الطاقة الإنتاجية بمقدار مليوني وحدة سنويًا.

إذا كانت الشركة تعمل عند مستوى يُحقق أقصى ربح في المرحلة الأولى، فقد تختار، على المدى الطويل، تقليص حجم عملياتها (عن طريق بيع المعدات الرأسمالية). بتقليل كمية مدخلات رأس المال الثابت، سينخفض ​​منحنى الإنتاج. وتنتقل بداية المرحلة الثانية من B1 إلى B2. وسيكون مستوى الإنتاج الذي يُحقق أقصى ربح (دون تغيير) الآن في المرحلة الثانية.

هناك فئتان خاصتان من دوال الإنتاج يتم تحليلهما بشكل متكرر. دالة الإنتاج${\displaystyle Q=f(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n})}$يقال إنه متجانس من الدرجة${\displaystyle m}$، إذا تم إعطاء أي ثابت موجب${\displaystyle k}$،${\displaystyle f(kX_{1},kX_{2},\dotsc ,kX_{n})=k^{m}f(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n})}$. لو${\displaystyle m>1}$تُظهر الدالة عوائد متزايدة على نطاق الإنتاج ، وتُظهر عوائد متناقصة على نطاق الإنتاج إذا${\displaystyle m<1}$إذا كانت متجانسة من الدرجة${\displaystyle 1}$, it exhibits constant returns to scale. The presence of increasing returns means that a one percent increase in the usage levels of all inputs would result in a greater than one percent increase in output; the presence of decreasing returns means that it would result in a less than one percent increase in output. Constant returns to scale is the in-between case. In the Cobb–Douglas production function referred to above, returns to scale are increasing if ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}>1}$, decreasing if ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}<1}$, and constant if ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}=1}$.

If a production function is homogeneous of degree one, it is sometimes called "linearly homogeneous". A linearly homogeneous production function with inputs capital and labour has the properties that the marginal and average physical products of both capital and labour can be expressed as functions of the capital-labour ratio alone. Moreover, in this case, if each input is paid at a rate equal to its marginal product, the firm's revenues will be exactly exhausted and there will be no excess economic profit.^{[5]:pp.412–414}

Homothetic functions are functions whose marginal technical rate of substitution (the slope of the isoquant, a curve drawn through the set of points in say labour-capital space at which the same quantity of output is produced for varying combinations of the inputs) is homogeneous of degree zero. Due to this, along rays coming from the origin, the slopes of the isoquants will be the same. Homothetic functions are of the form ${\displaystyle F(h(X_{1},X_{2}))}$ where ${\displaystyle F(y)}$ is a monotonically increasing function (the derivative of ${\displaystyle F(y)}$ is positive (${\displaystyle \mathrm {d} F/\mathrm {d} y>0}$)), and the function ${\displaystyle h(X_{1},X_{2})}$ is a homogeneous function of any degree.

In macroeconomics, aggregate production functions for whole nations are sometimes constructed. In theory, they are the summation of all the production functions of individual producers; however there are methodological problems associated with aggregate production functions, and economists have debated extensively whether the concept is valid.^[3]

There are two major criticisms of the standard form of the production function.^[6]

The theory of the production function depicts the relation between physical outputs of a production process and physical inputs, i.e. factors of production. The practical application of production functions is obtained by valuing the physical outputs and inputs by their prices. The economic value of physical outputs minus the economic value of physical inputs is the income generated by the production process. By keeping the prices fixed between two periods under review we get the income change generated by a change of the production function. This is the principle how the production function is made a practical concept, i.e. measureable and understandable in practical situations.