نمو البلورات

يتقدم السطح بحركة جانبية لخطوات يبلغ ارتفاعها مسافة بينية واحدة (أو مضاعف صحيح لها). لا يتغير عنصر السطح ولا يتقدم عموديًا على نفسه إلا أثناء مروره بخطوة، وعندها يتقدم بمقدار ارتفاع الخطوة. من المفيد اعتبار الخطوة بمثابة الانتقال بين منطقتين متجاورتين على السطح متوازيتين، وبالتالي متطابقتين في التكوين، وتفصل بينهما مسافة عدد صحيح من مستويات الشبكة. تجدر الإشارة هنا إلى إمكانية وجود خطوة في سطح غير منتظم، حتى وإن كان ارتفاع الخطوة أصغر بكثير من سمك السطح غير المنتظم.

يتقدم السطح عموديًا على نفسه دون الحاجة إلى آلية نمو تدريجية. وهذا يعني أنه في وجود قوة دافعة ديناميكية حرارية كافية، يكون كل عنصر من عناصر السطح قادرًا على التغير المستمر الذي يُسهم في تقدم السطح البيني. بالنسبة للأسطح الحادة أو غير المتصلة، قد يكون هذا التغير المستمر منتظمًا إلى حد ما على مساحات واسعة لكل طبقة جديدة متتالية. أما بالنسبة للأسطح الأكثر انتشارًا، فقد تتطلب آلية النمو المستمر حدوث تغيرات في عدة طبقات متتالية في آن واحد.

النمو الجانبي غير المنتظم هو حركة هندسية للخطوات، على عكس حركة السطح بأكمله عموديًا على نفسه. في المقابل، يعتمد النمو العمودي المنتظم على التسلسل الزمني لعنصر من السطح. في هذا النمط، لا توجد حركة أو تغيير إلا عند مرور خطوة عبر تغيير مستمر. يُعدّ التنبؤ بالآلية التي ستعمل في ظل أي مجموعة من الظروف المعطاة أمرًا أساسيًا لفهم نمو البلورات. وقد استُخدم معياران لإجراء هذا التنبؤ:

سواء كان السطح منتشراً أم لا : السطح المنتشر هو السطح الذي يكون فيه الانتقال من طور إلى آخر متصلاً، ويحدث على عدة مستويات ذرية. وهذا على عكس السطح الحاد الذي يكون فيه التغير الرئيسي في الخاصية (مثل الكثافة أو التركيب) غير متصل، ويقتصر عموماً على عمق مسافة بين مستويين ذريين. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

سواء كان السطح منفردًا أم لا : السطح المنفرد هو السطح الذي يكون فيه التوتر السطحي كدالة للاتجاه عند أدنى قيمة محددة. من المعروف أن نمو الأسطح المنفردة يتطلب خطوات، بينما يُعتقد عمومًا أن الأسطح غير المنفردة يمكنها أن تتقدم باستمرار عموديًا على نفسها. ^{[ 11 ]}

لننظر الآن في المتطلبات اللازمة لظهور النمو الجانبي. من الواضح أن آلية النمو الجانبي تتحقق عندما تصل أي منطقة في السطح إلى حالة توازن شبه مستقرة بوجود قوة دافعة. عندئذٍ، تميل المنطقة إلى البقاء في حالة التوازن هذه حتى مرور عتبة. بعد ذلك، يكون الشكل مطابقًا تمامًا باستثناء أن كل جزء من العتبة يكون قد تقدم بمقدار ارتفاعها. إذا لم يتمكن السطح من الوصول إلى حالة التوازن بوجود قوة دافعة، فإنه سيستمر في التقدم دون انتظار الحركة الجانبية للعتبات.

وهكذا، خلص كان إلى أن السمة المميزة هي قدرة السطح على الوصول إلى حالة توازن في وجود القوة الدافعة. كما خلص إلى أنه لكل سطح أو واجهة في وسط بلوري، توجد قوة دافعة حرجة، إذا تم تجاوزها، فإنها ستمكن السطح أو الواجهة من التقدم عموديًا على نفسه، وإذا لم يتم تجاوزها، فإنها ستتطلب آلية النمو الجانبي.

وبالتالي، عند وجود قوى دافعة كبيرة بما يكفي، يمكن للسطح البيني أن يتحرك بانتظام دون الحاجة إلى آلية التكوين غير المتجانس أو آلية الانخلاع اللولبي. ويعتمد تعريف القوة الدافعة الكبيرة بما يكفي على مدى انتشار السطح البيني، ففي حالة الأسطح البينية شديدة الانتشار، تكون هذه القوة الدافعة الحرجة ضئيلة للغاية لدرجة أن أي قوة دافعة قابلة للقياس ستتجاوزها. أما في حالة الأسطح البينية الحادة، فتكون القوة الدافعة الحرجة كبيرة جدًا، ويحدث معظم النمو عبر آلية الخطوة الجانبية.

لاحظ أنه في عملية التصلب أو التبلور النموذجية ، فإن القوة الدافعة الديناميكية الحرارية تحددها درجة التبريد الفائق .

في كثير من الأحيان، عندما تكون درجة التشبع الفائق (أو درجة التبريد الفائق ) عالية، وأحيانًا حتى عندما لا تكون عالية، قد تخضع حركية النمو لسيطرة الانتشار، مما يعني أن انتقال الذرات أو الجزيئات إلى النواة النامية هو ما يحد من سرعة نمو البلورة. بافتراض أن النواة في مثل هذا النظام الخاضع لسيطرة الانتشار هي كرة مثالية، فإن سرعة النمو، التي تتوافق مع تغير نصف القطر مع الزمن${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial r}{\partial t}}}$، ويمكن تحديدها باستخدام قوانين فيك.

1. قانون فيك: ${\displaystyle J=-D\nabla c}$،

أين${\displaystyle \textstyle J}$هو تدفق الذرات في بُعد${\displaystyle \textstyle {\frac {[الكمية]}{[الوقت]\cdot [المساحة]}}}$،${\displaystyle \textstyle D}$هو معامل الانتشار و${\displaystyle \textstyle \nabla c}$هو تدرج التركيز.

2. قانون فيك: ${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c}$،

أين${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial c}{\partial t}}}$هو تغير التركيز مع الزمن. يمكن تعديل القانون الأول ليتناسب مع تدفق المادة على سطح معين، وفي هذه الحالة سطح النواة الكروية:

${\displaystyle J_{matter}=D4\pi \cdot r^{2}{\frac {\partial c}{\partial r}}}$،

أين${\displaystyle \textstyle J_{مسألة}}$الآن هو التدفق على السطح الكروي في بُعد${\displaystyle \textstyle {\frac {[الكمية]}{[الوقت]}}}$و${\displaystyle \textstyle 4\pi \cdot r^{2}}$كونها منطقة النواة الكروية.${\displaystyle \textstyle J_{مسألة}}$ويمكن التعبير عنها أيضاً على أنها تغير عدد الذرات في النواة بمرور الوقت، حيث يكون عدد الذرات في النواة كما يلي:

${\displaystyle N(t)={\frac {{\frac {4}{3}}\pi \cdot r(t)^{3}}{V_{at}}}}$ ،

أين${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$حجم النواة الكروية و${\displaystyle \textstyle V_{at}}$يمثل حجم الذرة. وبالتالي، فإن التغير في عدد الذرات في النواة مع مرور الوقت سيكون كالتالي:

${\displaystyle {\frac {\partial N(t)}{\partial t}}={\frac {4\pi \cdot r(t)^{2}}{V_{a}t}}{\frac {\partial r}{\partial t}}=J_{matter}}$

بدمج المعادلتين لـ${\displaystyle \textstyle J_{مسألة}}$يتم الحصول على التعبير التالي لسرعة النمو:

${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial t}}=V_{at}D{\frac {\partial c}{\partial r}}}$

يمكن الحصول على المعادلة التالية من قانون فيك الثاني للكرات:

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D{\frac {\partial }{\partial t}}(r^{2}{\frac {\partial c}{\partial r}})}$

بافتراض أن شكل الانتشار لا يتغير بمرور الوقت وإنما ينزاح فقط مع ازدياد نصف القطر، يمكن القول أن${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=0}$مما يؤدي إلى${\displaystyle \textstyle r^{2}{\frac {\partial c}{\partial r}}}$ثابت. ويمكن الإشارة إلى هذا الثابت بالحرف${\displaystyle A}$وبإجراء التكامل، نحصل على المعادلة التالية:

${\displaystyle r^{2}{\frac {\partial c}{\partial r}}=A\Rightarrow {\frac {A}{r^{2}}}dr=dc\Rightarrow \int _{r}^{r+\delta }{\frac {A}{r^{2}}}dr=\int _{c_{0}}^{c_{l}}dc\Rightarrow c_{0}-c_{l}=A[{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r+\delta }}]\Rightarrow A={\frac {c_{0}-c_{l}}{[{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r+\delta }}]}}}$،

أين${\displaystyle \textstyle r}$ يمثل نصف قطر النواة،${\displaystyle \textstyle r+\delta }$ هي المسافة من النواة حيث يكون تركيز التوازن${\displaystyle \textstyle c_{0}}$تم التعافي و${\displaystyle \textstyle c_{l}}$يمثل التركيز الموجود مباشرة على سطح النواة. الآن، التعبير عن${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial c}{\partial r}}}$يمكن العثور عليها عن طريق:

${\displaystyle r^{2}{\frac {\partial c}{\partial r}}=A\Rightarrow {\frac {\partial c}{\partial r}}={\frac {A}{r^{2}}}={\frac {c_{0}-c_{l}}{[{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r+\delta }}]r^{2}}}=(c_{0}-c_{l})\cdot ({\frac {1}{r}}+{\frac {1}{\delta }})}$

لذلك، يمكن وصف سرعة النمو لنظام يتحكم فيه الانتشار على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial t}}=V_{at}D(c_{0}-c_{l})\cdot ({\frac {1}{r}}+{\frac {1}{\delta }})}$

في ظل ظروف التحكم بالانتشار هذه، يكون الشكل البلوري متعدد الأوجه غير مستقر، حيث تنبت منه نتوءات عند زواياه وحوافه حيث تكون درجة التشبع الفائق في أعلى مستوياتها. ومن الواضح أن رؤوس هذه النتوءات ستكون نقاط التشبع الفائق الأعلى. ويُعتقد عمومًا أن النتوء سيزداد طولًا (ويصبح أرق عند رأسه) حتى يُبطئ تأثير الطاقة الحرة السطحية في رفع الجهد الكيميائي نمو الرأس ويحافظ على قيمة ثابتة لسمك الرأس. ^{[ 13 ]}

في عملية زيادة سُمك الأطراف اللاحقة، ينبغي أن يكون هناك عدم استقرار مماثل في الشكل. ينبغي أن تبرز النتوءات أو "الانتفاخات" الصغيرة، وأن تتطور إلى فروع جانبية سريعة النمو. في مثل هذه الحالة غير المستقرة (أو شبه المستقرة)، ينبغي أن تكون درجات طفيفة من التباين كافية لتحديد اتجاهات التفرع والنمو المهمين. الجانب الأكثر جاذبية في هذه الحجة، بالطبع، هو أنها تُقدم السمات المورفولوجية الأساسية لنمو التغصنات .

• طريقة النمو السطحي الحركية مونت كارلو