الرياضيات الحالية

في الرياضيات ، وبشكل خاص في التحليل الوظيفي ، والطوبولوجيا التفاضلية ، ونظرية القياس الهندسي ، فإن التيار k بالمعنى الذي وضعه جورج دي رام هو دالة على فضاء الأشكال التفاضلية k ذات الدعم المدمج ، على مشعب أملس M. تتصرف التيارات رسميًا مثل توزيعات شوارتز على فضاء الأشكال التفاضلية، ولكن في سياق هندسي، يمكنها أن تمثل التكامل على مشعب فرعي ، مما يعمم دالة دلتا ديراك ، أو بشكل أعم حتى المشتقات الاتجاهية لدوال دلتا ( الأقطاب المتعددة ) المنتشرة على طول مجموعات فرعية من M.

يترك${\displaystyle \Omega _{c}^{m}(M)}$يرمز إلى فضاء الأشكال الملساء من الرتبة m ذات الدعم المدمج على مشعب أملس${\displaystyle M.}$ التيار هو دالة خطية على${\displaystyle \Omega _{c}^{m}(M)}$وهي دالة متصلة بمعنى التوزيعات . وبالتالي فهي دالة خطية $${\displaystyle T:\Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R} }$$ يُعتبر التيار تيارًا ذا بُعد m إذا كان متصلًا بالمعنى التالي: إذا كانت متتالية${\displaystyle \omega _{k}}$من الأشكال الملساء، وكلها مدعومة في نفس المجموعة المدمجة ، بحيث تؤول جميع مشتقات جميع معاملاتها بانتظام إلى 0 عندما${\displaystyle k}$يميل إلى اللانهاية، إذن${\displaystyle T(\omega _{k})}$يميل إلى الصفر.

المساحة${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(M)}$تيارات ذات أبعاد m على${\displaystyle M}$هو فضاء متجهي حقيقي مع عمليات معرفة بواسطة $${\displaystyle (T+S)(\omega ):=T(\omega )+S(\omega ),\qquad (\lambda T)(\omega ):=\lambda T(\omega ).}$$

ينطبق جزء كبير من نظرية التوزيعات على التيارات مع تعديلات طفيفة. على سبيل المثال، يمكن تعريف نطاق التيار.${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}_{m}(M)}$كمكمل لأكبر مجموعة مفتوحة${\displaystyle U\subset M}$بحيث $${\displaystyle T(\omega )=0}$$حينما${\displaystyle \omega \in \Omega _{c}^{m}(U)}$

الفضاء الخطي الفرعي لـ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(M)}$تتألف من تيارات ذات دعم (بالمعنى المذكور أعلاه) وهو مجموعة فرعية مضغوطة من${\displaystyle M}$يُشار إليه بـ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{m}(M).}$

يُعرّف التكامل على مشعب فرعي مضغوط قابل للتصحيح وموجه M ( مع حدود ) ذي بُعد m تيارًا من الرتبة m ، ويُرمز إليه بـ${\displaystyle [[M]]}$: $${\displaystyle [[M]](\omega )=\int _{M}\omega .}$$

إذا كان الحد ∂ M للدائرة M قابلاً للتقويم، فإنه يحدد تيارًا أيضًا عن طريق التكامل، وبموجب نظرية ستوكس، يكون لدينا: $${\displaystyle [[\partial M]](\omega )=\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega =[[M]](d\omega ).}$$

هذا يربط المشتق الخارجي d بمؤثر الحدود ∂ على تماثل M.

في ضوء هذه الصيغة، يمكننا تعريف مؤثر حدودي على تيارات عشوائية $${\displaystyle \partial$$ :{\mathcal {D}}_{m+1}\to {\mathcal {D}}_{m}} عبر الازدواجية مع المشتق الخارجي بواسطة $${\displaystyle (\partial T)(\omega ):=T(d\omega )}$$ لجميع الأشكال m ذات الدعم المدمج${\displaystyle \omega .}$

بعض الفئات الفرعية من التيارات المغلقة تحت${\displaystyle \partial }$يمكن استخدامها بدلاً من جميع التيارات لإنشاء نظرية تماثلية، والتي يمكن أن تحقق بديهيات إيلنبرغ-ستينرود في حالات معينة. ومن الأمثلة الكلاسيكية على ذلك الفئة الفرعية من التيارات التكاملية على عمليات التراجع في جوار ليبشيتز.

تتمتع فضاءات التيارات بطبيعتها بطوبولوجيا ضعيفة-* ، والتي سنسميها ببساطة التقارب الضعيف . متتالية${\displaystyle T_{k}}$من التيارات، تتقارب لتشكل تيارًا${\displaystyle T}$لو $${\displaystyle T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .}$$

من الممكن تعريف عدة معايير على الفضاءات الجزئية لفضاء جميع التيارات. أحد هذه المعايير هو معيار الكتلة . إذا${\displaystyle \omega }$إذا كان m شكلاً، فعرّف كتلته المشتركة بـ $${\displaystyle \|\omega \|:=\sup\{\left|\langle \omega ,\xi \rangle \right|:\xi {\mbox{ is a unit, simple, }}m{\mbox{-vector}}\}.}$$

لذلك إذا${\displaystyle \omega }$إذا كانت دالة بسيطة من النوع m ، فإن معيار كتلتها هو معيار L∞ المعتاد ^{لمعاملها} . كتلة التيار${\displaystyle T}$ثم يُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega ):\sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\}.}$$

تمثل كتلة التيار المساحة الموزونة للسطح المعمم. ويمكن تمثيل التيار الذي يحقق الشرط M ( T )  <  ∞ بتكامل مقياس بوريل منتظم باستخدام صيغة من نظرية تمثيل ريز . وهذه هي نقطة البداية للتكامل الهومولوجي .

المعيار الوسيط هو معيار ويتني المسطح ، والذي يُعرَّف بواسطة $${\displaystyle \mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\partial A)+\mathbf {M} (A):A\in {\mathcal {E}}_{m+1}\}.}$$

يكون التياران متقاربين في معيار الكتلة إذا تطابقا بعيدًا عن جزء صغير. من ناحية أخرى، يكونان متقاربين في المعيار المسطح إذا تطابقا حتى تشوه صغير.

تذكر أن $${\displaystyle \Omega _{c}^{0}(\mathbb {R} ^{n})\equiv C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$$ بحيث يُعرّف ما يلي تيارًا صفريًا: $${\displaystyle T(f)=f(0).}$$

وعلى وجه الخصوص كل مقياس منتظم موقع${\displaystyle \mu }$التيار صفر: $${\displaystyle T(f)=\int f(x)\,d\mu (x).}$$

لتكن ( x , y , z ) هي الإحداثيات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ثم يُعرّف ما يلي تيارًا ثنائيًا (واحدًا من بين العديد): $${\displaystyle T(a\,dx\wedge dy+b\,dy\wedge dz+c\,dx\wedge dz):=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}b(x,y,0)\,dx\,dy.}$$

• جورج دي رام
• هربرت فيدرر
• الهندسة التفاضلية
• متعدد الأضلاع

• دي رام، جورج (1984). مشعبات متباينة. الأشكال والتيارات والأشكال التوافقية . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  266. ترجمة سميث، FR مع مقدمة بقلم SS Chern . (ترجمة 1955  الطبعة الفرنسية الأصلية). برلين: سبرينغر-فيرلاغ . دوى : 10.1007/978-3-642-61752-2 . رقم ISBN 3-540-13463-8. السيد 0760450 . زبل 0534.58003 .  
• فيدرر، هربرت (1969). نظرية القياس الهندسي . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  153. برلين – هايدلبرغ – نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . دوى : 10.1007/978-3-642-62010-2 . رقم ISBN 978-3-540-60656-7. السيد 0257325 . زبل 0176.00801 .  
• غريفيث، فيليب ؛ هاريس، جوزيف (1978). مبادئ الهندسة الجبرية . الرياضيات البحتة والتطبيقية. نيويورك: جون وايلي وأولاده . doi : 10.1002/9781118032527 . ISBN 0-471-32792-1. السيد 0507725 . زبل 0408.14001 .  
• سيمون، ليون (1983). محاضرات في نظرية القياس الهندسي . وقائع مركز التحليل الرياضي. المجلد  3. كانبرا: مركز التحليل الرياضي في الجامعة الوطنية الأسترالية . ISBN 0-86784-429-9. السيد 0756417 . زبل 0546.49019 .  
• ويتني، هاسلر (1957). نظرية التكامل الهندسي . سلسلة برينستون الرياضية. المجلد  21. برينستون، نيوجيرسي ولندن: مطبعة جامعة برينستون ومطبعة جامعة أكسفورد . doi : 10.1515/9781400877577 . ISBN 9780691652900. السيد 0087148 . زبل 0083.28204 .  {{cite book}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
• لين، فانغهوا؛ يانغ، شياوبينغ (2003)، نظرية القياس الهندسي: مقدمة ، الرياضيات المتقدمة (بكين/بوسطن)، المجلد  1، بكين/بوسطن: دار النشر العلمية/دار النشر الدولية، الصفحات  x+237، ISBN 978-1-57146-125-4، MR 2030862 ، Zbl 1074.49011  

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع Current on PlanetMath ، المرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .