توسيع متعدد الأقطاب

الموسوعة الحرة

يُعدّ توسيع متعدد الأقطاب سلسلة رياضية تمثل دالة تعتمد على الزوايا - عادةً الزاويتين المستخدمتين في نظام الإحداثيات الكروية ( الزاوية القطبية والزاوية السمتية ) للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد .R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}تُعدّ متسلسلات الأقطاب المتعددة مفيدة لأنه، على غرار متسلسلة تايلور ، غالبًا ما تكون الحدود القليلة الأولى فقط كافية لتوفير تقريب جيد للدالة الأصلية. قد تكون الدالة المراد توسيعها حقيقية أو مركبة ، وتُعرَّف إما علىR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}أو بشكل أقل تكراراً علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}لبعض الآخرينن{\displaystyle n}.

تُستخدم متسلسلات الأقطاب المتعددة بكثرة في دراسة المجالات الكهرومغناطيسية والجاذبية ، حيث تُعطى المجالات عند النقاط البعيدة بدلالة مصادر في منطقة صغيرة. غالبًا ما يُدمج متسلسل الأقطاب المتعددة مع الزوايا مع متسلسل نصف القطر . يُعطي هذا الدمج متسلسلًا يصف دالة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. [ 1 ]

يُعبَّر عن متسلسلة الأقطاب المتعددة كمجموع حدود ذات خصائص زاوية ( عزوم ) أدق تدريجيًا. يُسمى الحد الأول (من الرتبة الصفرية) عزم القطب الأحادي ، والحد الثاني (من الرتبة الأولى) عزم القطب الثنائي ، والحد الثالث (من الرتبة الثانية) عزم القطب الرباعي ، والحد الرابع (من الرتبة الثالثة) عزم القطب الثماني، وهكذا. نظرًا لمحدودية البادئات العددية اليونانية ، تُسمى الحدود ذات الرتب الأعلى عادةً بإضافة "-قطب" إلى عدد الأقطاب - على سبيل المثال، 32 قطبًا (نادرًا ما يُسمى قطب ثلاثي الأقطاب أو قطب ثلاثي الأقطاب) و64 قطبًا (نادرًا ما يُسمى قطب سداسي الأقطاب أو قطب سداسي الأقطاب). [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] يتضمن عزم الأقطاب المتعددة عادةً قوى (أو قوى معكوسة) للمسافة إلى نقطة الأصل، بالإضافة إلى بعض الاعتماد الزاوي.

من حيث المبدأ، يوفر توسيع متعدد الأقطاب وصفًا دقيقًا للجهد، ويتقارب عمومًا في حالتين: (1) إذا كانت المصادر (مثل الشحنات) متمركزة بالقرب من نقطة الأصل، وكانت النقطة التي يُرصد عندها الجهد بعيدة عن نقطة الأصل؛ أو (2) العكس، أي إذا كانت المصادر بعيدة عن نقطة الأصل، وكان الجهد يُرصد بالقرب منها. في الحالة الأولى (الأكثر شيوعًا)، تُسمى معاملات متسلسلة التوسيع بعزوم متعددة الأقطاب الخارجية ، أو ببساطة بعزوم متعددة الأقطاب، بينما في الحالة الثانية، تُسمى بعزوم متعددة الأقطاب الداخلية .

التوسع في التوافقيات الكروية

في أغلب الأحيان، تُكتب المتسلسلة على شكل مجموع التوافقيات الكروية . وبالتالي، يمكننا كتابة دالةو(θ،φ){\displaystyle f(\theta ,\varphi )}كمجموع و(θ،φ)=∑ℓ=0∞∑م=-ℓℓجℓمYℓم(θ،φ){\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }\,C_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )} أينYℓم(θ،φ){\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}هي التوافقيات الكروية القياسية، وجℓم{\displaystyle C_{\ell }^{m}}هي معاملات ثابتة تعتمد على الدالة. الحدج00{\displaystyle C_{0}^{0}}يمثل الاحتكار؛ج1-1،ج10،ج11{\displaystyle C_{1}^{-1},C_{1}^{0},C_{1}^{1}}لتمثيل ثنائي القطب؛ وهكذا. وبالمثل، تُكتب السلسلة أيضًا في كثير من الأحيان [ 5 ] على النحو التالي و(θ،φ)=ج+جأنانأنا+جأناجنأنانج+جأناجكنأنانجنك+جأناجكℓنأنانجنكنℓ+⋯{\displaystyle f(\theta ,\varphi )=C+C_{i}n^{i}+C_{ij}n^{i}n^{j}+C_{ijk}n^{i}n^{j}n^{k}+C_{ijk\ell }n^{i}n^{j}n^{k}n^{\ell }+\cdots } حيثنأنا{\displaystyle n^{i}}تمثل مركبات متجه الوحدة في الاتجاه المحدد بالزواياθ{\displaystyle \theta }وφ{\displaystyle \varphi }ويتم جمع المؤشرات ضمنيًا . هنا، المصطلحج{\displaystyle C}هو الاحتكار؛جأنا{\displaystyle C_{i}}هي مجموعة من ثلاثة أرقام تمثل ثنائي القطب؛ وهكذا.

في المتسلسلات المذكورة أعلاه، قد تكون المعاملات حقيقية أو مركبة . ولكن إذا كانت الدالة المُعبر عنها بتسلسل متعدد الأقطاب حقيقية، فيجب أن تستوفي المعاملات خصائص معينة. في التسلسل التوافقي الكروي، يجب أن يكون لدينا جℓ-م=(-1)مجℓم*.{\displaystyle C_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}C_{\ell }^{m\ast }\,.} في توسيع المتجهات المتعددة، يجب أن يكون كل معامل حقيقيًا: ج=ج*؛ جأنا=جأنا*؛ جأناج=جأناج*؛ جأناجك=جأناجك*؛ ...{\displaystyle C=C^{\ast };\ C_{i}=C_{i}^{\ast };\ C_{ij}=C_{ij}^{\ast };\ C_{ijk}=C_{ijk}^{\ast };\ \ldots }

على الرغم من أن متسلسلات الدوال العددية هي التطبيق الأكثر شيوعًا لمتسلسلات الأقطاب المتعددة، إلا أنه يمكن تعميمها أيضًا لوصف الموترات ذات الرتبة العشوائية. [ 6 ] ويُستخدم هذا في متسلسلات الأقطاب المتعددة للجهد الشعاعي في الكهرومغناطيسية، أو اضطراب المقياس في وصف موجات الجاذبية .

لوصف الدوال ثلاثية الأبعاد، بعيدًا عن نقطة الأصل الإحداثية، يمكن كتابة معاملات توسيع متعدد الأقطاب كدوال للمسافة إلى نقطة الأصل.ر{\displaystyle r}—في أغلب الأحيان، كسلسلة لوران في قوىر{\displaystyle r}على سبيل المثال، لوصف الجهد الكهرومغناطيسي ،V{\displaystyle V}، من مصدر في منطقة صغيرة بالقرب من نقطة الأصل، يمكن كتابة المعاملات على النحو التالي: V(ر،θ،φ)=∑ℓ=0∞∑م=-ℓℓجℓم(ر)Yℓم(θ،φ)=∑ج=1∞∑ℓ=0∞∑م=-ℓℓدℓ،جمرجYℓم(θ،φ).{\displaystyle V(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }C_{\ell }^{m}(r)\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=\sum _{j=1}^{\infty }\,\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {D_{\ell ,j}^{m}}{r^{j}}}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}

التطبيقات

تُستخدم متسلسلات الأقطاب المتعددة على نطاق واسع في المسائل المتعلقة بحقول الجاذبية لأنظمة الكتل ، والحقول الكهربائية والمغناطيسية لتوزيعات الشحنة والتيار، وانتشار الموجات الكهرومغناطيسية . ومن الأمثلة الكلاسيكية على ذلك حساب عزوم الأقطاب المتعددة الخارجية لنوى الذرات من طاقات تفاعلها مع الأقطاب المتعددة الداخلية للمدارات الإلكترونية. تُشير عزوم الأقطاب المتعددة للنوى إلى توزيع الشحنات داخل النواة، وبالتالي إلى شكلها. غالبًا ما يكون اقتطاع متسلسلة الأقطاب المتعددة إلى أول حد غير صفري مفيدًا في الحسابات النظرية.

تُعدّ متسلسلات الأقطاب المتعددة مفيدةً أيضًا في المحاكاة العددية، وهي تُشكّل أساس طريقة الأقطاب المتعددة السريعة لغرينغارد وروخلين ، وهي تقنية عامة لحساب الطاقات والقوى بكفاءة في أنظمة الجسيمات المتفاعلة . تقوم الفكرة الأساسية على تقسيم الجسيمات إلى مجموعات؛ تتفاعل الجسيمات داخل المجموعة الواحدة بشكل طبيعي (أي، من خلال الجهد الكامل)، بينما تُحسب الطاقات والقوى بين مجموعات الجسيمات من عزوم أقطابها المتعددة. تتشابه كفاءة طريقة الأقطاب المتعددة السريعة عمومًا مع كفاءة جمع إيوالد ، ولكنها تتفوق عليها إذا كانت الجسيمات متجمعة، أي إذا كان النظام يعاني من تقلبات كبيرة في الكثافة.

توسيع متعدد الأقطاب للجهد خارج توزيع الشحنة الكهروستاتيكية

لنفترض توزيعًا منفصلاً للشحنات يتكون من N شحنة نقطية qᵢ ذات متجهات موضع rᵢ . نفترض أن الشحنات متجمعة حول نقطة الأصل، بحيث يكون rᵢ < rₘᵢ ، حيث rₘᵢ قيمة محدودة. يمكن توسيع الجهد V ( R ) ، الناتج عن توزيع الشحنات، عند نقطة R خارج نطاق التوزيع، أي | R | > rₘᵢ ، بدلالة قوى 1/ R . توجد طريقتان لإجراء هذا التوسيع في المراجع: الأولى هي متسلسلة تايلور في الإحداثيات الديكارتية x و y و z ، بينما الثانية بدلالة التوافقيات الكروية التي تعتمد على الإحداثيات القطبية الكروية . تتميز الطريقة الديكارتية بعدم الحاجة إلى معرفة مسبقة بدوال ليجندر أو التوافقيات الكروية، وما إلى ذلك. من عيوبها أن اشتقاقاتها معقدة نوعًا ما (في الواقع، جزء كبير منها عبارة عن إعادة اشتقاق ضمنية لتوسيع ليجاندر لـ 1 / | r − R | ، والذي قام به ليجاندر مرة واحدة وإلى الأبد في ثمانينيات القرن الثامن عشر). كما يصعب إيجاد صيغة مغلقة لمصطلح عام في توسيع متعدد الأقطاب - عادةً ما تُذكر المصطلحات القليلة الأولى فقط متبوعة بعلامة حذف.

التوسع في الإحداثيات الديكارتية

لنفترض أن v ( r ) = v (−r ) للتبسيط . يمكن كتابة متسلسلة تايلور لـ v ( r − R ) حول نقطة الأصل r = 0 على النحو التالي:v(ر-R)=v(-R)+∑α=x،y،zرαvα(-R)+12∑α=x،y،z∑β=x،y،zرαرβvαβ(-R)+⋯+⋯=v(R)-∑α=x،y،zرαvα(R)+12∑α=x،y،z∑β=x،y،zرαرβvαβ(R)-⋯+⋯{\displaystyle {\begin{aligned} v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )&=v(\mathbf {-R} )+\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {-R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {-R} )+\cdots +\cdots \\&=v(\mathbf {R} )-\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )-\cdots +\cdots \end{aligned}}} بمعاملات تايلور vα(R)≡(∂v(ر-R)∂رα)ر=0وvαβ(R)≡(∂2v(ر-R)∂رα∂رβ)ر=0.{\displaystyle v_{\alpha }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }\quad {\text{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }.} إذا كانت v ( r - R ) تحقق معادلة لابلاس ، فإنه من خلال التوسع أعلاه نحصل على (∇2v(ر-R))ر=0=∑α=x،y،zvαα(R)=0،{\displaystyle \left(\nabla ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }=\sum _{\alpha =x,y,z}v_{\alpha \alpha }(\mathbf {R} )=0,} ويمكن إعادة كتابة التوسع بدلالة مكونات موتر ديكارتي من الرتبة الثانية عديم الأثر : ∑α=x،y،z∑β=x،y،zرαرβvαβ(R)=13∑α=x،y،z∑β=x،y،z(3رαرβ-دلتاαβر2)vαβ(R)،{\displaystyle \sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta}(\mathbf {R} )={\frac {1}{3}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}\left(3r_{\alpha}r_{\beta}-\delta _{\alpha \beta}r^{2}\right)v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} ),} حيث δ αβ هي دلتا كرونكر و r 2 ≡ | r | 2 . إزالة الأثر أمر شائع، لأنه يأخذ r 2 الثابت دورانيًا من موتر الرتبة الثانية.

مثال

لننظر الآن إلى الشكل التالي لـ v ( r − R ) : v(ر-R)≡1|ر-R|.{\displaystyle v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\equiv {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}.}ثم بالتفاضل المباشر يتبين أن v(R)=1R،vα(R)=-RαR3،وvαβ(R)=3RαRβ-دلتاαβR2R5.{\displaystyle v(\mathbf {R} )={\frac {1}{R}},\quad v_{\alpha }(\mathbf {R} )=-{\frac {R_{\alpha }}{R^{3}}},\quad {\hbox{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {3R_{\alpha }R_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }R^{2}}{R^{5}}}.} عرّف القطب الأحادي، والقطب الثنائي، والقطب الرباعي (عديم الأثر) على التوالي، qتoت≡∑أنا=1شمالqأنا،Pα≡∑أنا=1شمالqأنارأناα،وسؤالαβ≡∑أنا=1شمالqأنا(3رأناαرأناβ-دلتاαβرأنا2)،{\displaystyle q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i},\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad {\text{and}}\quad Q_{\alpha \beta }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}(3r_{i\alpha }r_{i\beta }-\delta _{\alpha \beta }r_{i}^{2}),} وأخيرًا نحصل على الحدود القليلة الأولى من توسيع متعدد الأقطاب للجهد الكلي، وهو مجموع جهود كولوم للشحنات المنفصلة: [ 7 ] : 137-1384πε0V(R)≡∑أنا=1شمالqأناv(رأنا-R)=qتoتR+1R3∑α=x،y،zPαRα+12R5∑α،β=x،y،zسؤالαβRαRβ+⋯{\displaystyle {\begin{aligned}4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {R} )&\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}v(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\\&={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{R}}+{\frac {1}{R^{3}}}\sum _{\alpha =x,y,z}P_{\alpha }R_{\alpha }+{\frac {1}{2R^{5}}}\sum _{\alpha ,\beta =x,y,z}Q_{\alpha \beta }R_{\alpha }R_{\beta }+\cdots \end{aligned}}}

يشبه هذا التوسع في جهد توزيع الشحنة المنفصلة إلى حد كبير التوسع في التوافقيات الصلبة الحقيقية الموضحة أدناه. والفرق الرئيسي هو أن التوسع الحالي يتم بدلالة كميات مرتبطة خطيًا، لـ ∑αvαα=0و∑αسؤالαα=0.{\displaystyle \sum _{\alpha }v_{\alpha \alpha }=0\quad {\hbox{and}}\quad \sum _{\alpha }Q_{\alpha \alpha }=0.}

ملاحظة: إذا كان توزيع الشحنة يتكون من شحنتين متعاكستين في الإشارة تفصل بينهما مسافة متناهية الصغر d ، بحيث يكون d / R ≫ ( d / R ) ² ، فمن السهل إثبات أن الحد المهيمن في المتسلسلة هو V(R)=14πε0R3(P⋅R)،{\displaystyle V(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(\mathbf {P} \cdot \mathbf {R} ),} المجال الكهربائي ثنائي القطب .

شكل كروي

يمكن توسيع الجهد V ( R ) عند نقطة R خارج توزيع الشحنة، أي | R | > r max ، بواسطة توسيع لابلاس : V(R)≡∑أنا=1شمالqأنا4πε0|رأنا-R|=14πε0∑ℓ=0∞∑م=-ℓℓ(-1)مأناℓ-م(R)∑أنا=1شمالqأناRℓم(رأنا)،{\displaystyle V(\mathbf {R} )\equiv \sum _{i=1}^{N}{\frac {q_{i}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} |}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )\sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),} أينأناℓ-م(R){\displaystyle I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )}هي دالة توافقية صلبة غير منتظمة (معرفة أدناه كدالة توافقية كروية مقسومة علىRℓ+1{\displaystyle R^{\ell +1}}) وRℓم(ر){\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}هو توافقي صلب منتظم (توافقي كروي مضروب في r ℓ ). نُعرّف عزم متعدد الأقطاب الكروي لتوزيع الشحنة كما يلي سؤالℓم≡∑أنا=1شمالqأناRℓم(رأنا)، -ℓ≤م≤ℓ.{\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),\quad \ -\ell \leq m\leq \ell .} لاحظ أن عزم متعدد الأقطاب يتم تحديده فقط من خلال توزيع الشحنة (مواضع ومقادير الشحنات N ).

يعتمد التوافقي الكروي على متجه الوحدةR^{\displaystyle {\hat {R}}}(يُحدد متجه الوحدة بزاويتين قطبيتين كرويتين). وبالتالي، بحسب التعريف، يمكن كتابة التوافقيات الصلبة غير المنتظمة على النحو التالي: أناℓم(R)≡4π2ℓ+1Yℓم(R^)Rℓ+1{\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {R} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {Y_{\ell }^{m}({\hat {R}})}{R^{\ell +1}}}} وبالتالي، فإنّ توسيع متعدد الأقطاب للحقل V ( R ) عند النقطة R خارج توزيع الشحنة يُعطى بالعلاقة التالية:

V(R)=14πε0∑ℓ=0∞∑م=-ℓℓ(-1)مأناℓ-م(R)سؤالℓم=14πε0∑ℓ=0∞[4π2ℓ+1]1/21Rℓ+1∑م=-ℓℓ(-1)مYℓ-م(R^)سؤالℓم،R>رمأx{\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {R} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )Q_{\ell }^{m}\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right]^{1/2}\;{\frac {1}{R^{\ell +1}}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}({\hat {R}})Q_{\ell }^{m},\qquad R>r_{\mathrm {max} }\end{aligned}}}

هذا التوسع عام تمامًا لأنه يعطي صيغة مغلقة لجميع الحدود، وليس فقط للحدود القليلة الأولى. وهو يُظهر أن عزوم الأقطاب المتعددة الكروية تظهر كمعاملات في توسع 1/ R للجهد.

من المفيد دراسة الحدود القليلة الأولى في صورتها الحقيقية، وهي الحدود الوحيدة الشائعة في كتب المرحلة الجامعية الأولى. بما أن حدّ مجموع m ثابت تحت تحويل وحدوي لكلا العاملين في آنٍ واحد، وبما أن تحويل التوافقيات الكروية المركبة إلى صورتها الحقيقية يتم بتحويل وحدوي ، فيمكننا ببساطة استبدالها بتوافقيات صلبة غير منتظمة حقيقية وعزوم متعددة الأقطاب حقيقية. يصبح الحد ℓ = 0Vℓ=0(R)=qتoت4πε0Rمعqتoت≡∑أنا=1شمالqأنا.{\displaystyle V_{\ell =0}(\mathbf {R} )={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\quad {\hbox{with}}\quad q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}.} هذا في الواقع قانون كولوم مرة أخرى. بالنسبة للحد ℓ = 1 ، نُدخل R=(Rx،Ry،Rz)،P=(Px،Py،Pz)معPα≡∑أنا=1شمالqأنارأناα،α=x،y،z.{\displaystyle \mathbf {R} =(R_{x},R_{y},R_{z}),\quad \mathbf {P} =(P_{x},P_{y},P_{z})\quad {\hbox{with}}\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad \alpha =x,y,z.} ثم Vℓ=1(R)=14πε0R3(RxPx+RyPy+RzPz)=R⋅P4πε0R3=R^⋅P4πε0R2.{\displaystyle V_{\ell =1}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(R_{x}P_{x}+R_{y}P_{y}+R_{z}P_{z})={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}={\frac {{\hat {\mathbf {R} }}\cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}.} هذا المصطلح مطابق للمصطلح الموجود في الشكل الديكارتي.

لكتابة الحد ℓ = 2 ، علينا استخدام رموز مختصرة للمركبات الحقيقية الخمسة لعزم رباعي الأقطاب والتوافقيات الكروية الحقيقية. رموز من النوع سؤالz2≡∑أنا=1شمالqأنا12(3zأنا2-رأنا2)،{\displaystyle Q_{z^{2}}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}\;{\frac {1}{2}}(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}),} يمكن العثور على ذلك في المراجع. من الواضح أن التدوين الحقيقي يصبح غير عملي بسرعة كبيرة، مما يُظهر فائدة التدوين المركب.

تفاعل توزيعين للشحنات غير متداخلين

لنفترض وجود مجموعتين من الشحنات النقطية، إحداهما { q i } متجمعة حول النقطة A ، والأخرى { q j } متجمعة حول النقطة B. ولنفكر، على سبيل المثال، في جزيئين ، ولنتذكر أن الجزيء، بحسب تعريفه، يتكون من إلكترونات (شحنات نقطية سالبة) ونوى ( شحنات نقطية موجبة). طاقة التفاعل الكهروستاتيكي الكلية U AB بين التوزيعين هي يوأب=∑أنا∈أ∑ج∈بqأناqج4πε0رأناج.{\displaystyle U_{AB}=\sum _{i\in A}\sum _{j\in B}{\frac {q_{i}q_{j}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{ij}}}.} يمكن توسيع هذه الطاقة في متسلسلة قوى بدلالة المسافة العكسية بين A و B. يُعرف هذا التوسيع باسم توسيع متعدد الأقطاب لـ U AB .

لاستنتاج هذا التوسع متعدد الأقطاب، نكتب r XY = r Y − r X ، وهو متجه يشير من X نحو Y. لاحظ أن Rأب+ربج+رجأنا+رأناأ=0⟺رأناج=Rأب-رأأنا+ربج.{\displaystyle \mathbf {R} _{AB}+\mathbf {r} _{Bj}+\mathbf {r} _{ji}+\mathbf {r} _{iA}=0\quad \iff \quad \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {R} _{AB}-\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {r} _{Bj}.} نفترض أن التوزيعين لا يتداخلان: |Rأب|>|ربج-رأأنا| للجميع أنا،ج.{\displaystyle |\mathbf {R} _{AB}|>|\mathbf {r} _{Bj}-\mathbf {r} _{Ai}|{\text{ for all }}i,j.} في ظل هذا الشرط، يمكننا تطبيق متسلسلة لابلاس بالشكل التالي 1|رج-رأنا|=1|Rأب-(رأأنا-ربج)|=∑ل=0∞∑م=-لل(-1)مأنال-م(Rأب)Rلم(رأأنا-ربج)،{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|}}={\frac {1}{|\mathbf {R} _{AB}-(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})|}}=\sum _{L=0}^{\infty }\sum _{M=-L}^{L}\,(-1)^{M}I_{L}^{-M}(\mathbf {R} _{AB})\;R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj}),} أينأنالم{\displaystyle I_{L}^{M}}وRلم{\displaystyle R_{L}^{M}}وهي توافقيات صلبة غير منتظمة ومنتظمة على التوالي. ويعطي تحويل التوافقي الصلب المنتظم تمددًا محدودًا. Rلم(رأأنا-ربج)=∑ℓأ=0ل(-1)ل-ℓأ(2ل2ℓأ)1/2×∑مأ=-ℓأℓأRℓأمأ(رأأنا)Rل-ℓأم-مأ(ربج)⟨ℓأ،مأ؛ل-ℓأ،م-مأ|لم⟩،{\displaystyle R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})=\sum _{\ell _{A}=0}^{L}(-1)^{L-\ell _{A}}{\binom {2L}{2\ell _{A}}}^{1/2}\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}R_{\ell _{A}}^{m_{A}}(\mathbf {r} _{Ai})R_{L-\ell _{A}}^{M-m_{A}}(\mathbf {r} _{Bj})\;\langle \ell _{A},m_{A};L-\ell _{A},M-m_{A}\mid LM\rangle ,} حيث أن الكمية بين القوسين المدببين هي معامل كليبيش-غوردان . وقد استخدمنا كذلك Rℓم(-ر)=(-1)ℓRℓم(ر).{\displaystyle R_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).} يؤدي استخدام تعريف الأقطاب المتعددة الكروية Q m ℓ وتغطية نطاقات الجمع بترتيب مختلف نوعًا ما (وهو أمر مسموح به فقط لنطاق لانهائي من L ) في النهاية إلى

يوأب=14πε0∑ℓأ=0∞∑ℓب=0∞(-1)ℓب(2ℓأ+2ℓب2ℓأ)1/2×∑مأ=-ℓأℓأ∑مب=-ℓبℓب(-1)مأ+مبأناℓأ+ℓب-مأ-مب(Rأب)سؤالℓأمأسؤالℓبمب⟨ℓأ،مأ؛ℓب،مب|ℓأ+ℓب،مأ+مب⟩.{\displaystyle {\begin{aligned}U_{AB}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell _{A}=0}^{\infty }\sum _{\ell _{B}=0}^{\infty }(-1)^{\ell _{B}}{\binom {2\ell _{A}+2\ell _{B}}{2\ell _{A}}}^{1/2}\\[5pt]&\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}\sum _{m_{B}=-\ell _{B}}^{\ell _{B}}(-1)^{m_{A}+m_{B}}I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-m_{A}-m_{B}}(\mathbf {R} _{AB})\;Q_{\ell _{A}}^{m_{A}}Q_{\ell _{B}}^{m_{B}}\;\langle \ell _{A},m_{A};\ell _{B},m_{B}\mid \ell _{A}+\ell _{B},m_{A}+m_{B}\rangle .\end{aligned}}}

هذا هو تحليل الطاقة التفاعلية لتوزيعين للشحنات غير متداخلين يفصل بينهما مسافة R AB باستخدام تحليل متعدد الأقطاب . أناℓأ+ℓب-(مأ+مب)(Rأب)≡[4π2ℓأ+2ℓب+1]1/2Yℓأ+ℓب-(مأ+مب)(R^أب)Rأبℓأ+ℓب+1،{\displaystyle I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}(\mathbf {R} _{AB})\equiv \left[{\frac {4\pi }{2\ell _{A}+2\ell _{B}+1}}\right]^{1/2}\;{\frac {Y_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}\left({\widehat {\mathbf {R} }}_{AB}\right)}{R_{AB}^{\ell _{A}+\ell _{B}+1}}},} هذا التوسع واضحٌ في قوى 1 / R AB . الدالة Y m l هي دالة توافقية كروية مُعَيَّرة .

اللحظات الجزيئية

تمتلك جميع الذرات والجزيئات (باستثناء ذرات الحالة S ) عزمًا متعدد الأقطاب دائمًا واحدًا أو أكثر غير صفري. توجد تعريفات مختلفة في المراجع، لكن التعريف التالي بصيغته الكروية يتميز باحتوائه على معادلة عامة واحدة. ولأنه بصيغة مركبة، فإنه يتميز أيضًا بسهولة التعامل معه في الحسابات مقارنةً بنظيره الحقيقي.

نعتبر جزيئًا يتكون من N جسيمًا (إلكترونات ونوى) بشحنات eZ<sub> i </sub>. (الإلكترونات لها قيمة Z تساوي -1، بينما النوى لها العدد الذري ). للجسيم i إحداثيات قطبية كروية r<sub> i</sub> ، θ<sub> i</sub> ، وφ<sub> i </sub>، وإحداثيات ديكارتية x <sub>i</sub> ، y <sub>i</sub> ، و z<sub> i</sub> . مؤثر متعدد الأقطاب الكهروستاتيكي (المركب) هو سؤالℓم≡∑أنا=1شمالهـZأناRℓم(رأنا)،{\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),} أينRℓم(رأنا){\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i})}هي دالة توافقية صلبة منتظمة في تطبيع راكا (المعروف أيضًا باسم تطبيع شميدت شبه الكامل). إذا كان للجزيء دالة موجية مُطَبَّعة كلية Ψ (تعتمد على إحداثيات الإلكترونات والنوى)، فإن عزم متعدد الأقطاب من الرتبةℓ{\displaystyle \ell }يتم تحديد خصائص الجزيء من خلال القيمة المتوقعة (المتوقعة) : مℓم≡⟨Ψ|سؤالℓم|Ψ⟩.{\displaystyle M_{\ell }^{m}\equiv \langle \Psi \mid Q_{\ell }^{m}\mid \Psi \rangle .} إذا كان للجزيء تناظر معين في مجموعة نقطية ، فإن ذلك ينعكس في الدالة الموجية: تتحول Ψ وفقًا لتمثيل غير قابل للاختزال λ للمجموعة ("Ψ لها نوع التناظر λ"). ويترتب على ذلك أن قواعد الاختيار تنطبق على القيمة المتوقعة لمؤثر متعدد الأقطاب، أو بعبارة أخرى، أن القيمة المتوقعة قد تتلاشى بسبب التناظر. ومن الأمثلة المعروفة على ذلك أن الجزيئات التي تحتوي على مركز انعكاس لا تحمل ثنائي قطب (القيم المتوقعة لـسؤال1م{\displaystyle Q_{1}^{m}}تتلاشى لـ m = −1، 0، 1) . بالنسبة لجزيء بدون تناظر، لا توجد قواعد اختيار فعالة، وسيكون لهذا الجزيء أقطاب متعددة غير معدومة من أي رتبة (سيحمل ثنائي قطب ورباعي قطب، وثماني قطب، وسداسي عشر قطب، وما إلى ذلك في نفس الوقت).

تعطي الأشكال الصريحة الأدنى للتوافقيات الصلبة المنتظمة (مع طور كوندون-شورتلي ):م00=∑أنا=1شمالهـZأنا،{\displaystyle M_{0}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i},} (الشحنة الكلية للجزيء). مكونات ثنائي القطب (المعقدة) هي: م11=-12∑أنا=1شمالهـZأنا⟨Ψ|xأنا+أناyأنا|Ψ⟩وم1-1=12∑أنا=1شمالهـZأنا⟨Ψ|xأنا-أناyأنا|Ψ⟩.{\displaystyle M_{1}^{1}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}+iy_{i}|\Psi \rangle \quad {\hbox{and}}\quad M_{1}^{-1}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}-iy_{i}|\Psi \rangle .}م10=∑أنا=1شمالهـZأنا⟨Ψ|zأنا|Ψ⟩.{\displaystyle M_{1}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |z_{i}|\Psi \rangle .}

لاحظ أنه من خلال تركيب خطي بسيط، يمكن تحويل مؤثرات الأقطاب المتعددة المركبة إلى مؤثرات حقيقية. مؤثرات الأقطاب المتعددة الحقيقية هي من نوع جيب التمام. جℓم{\displaystyle C_{\ell }^{m}}أو نوع الجيبSℓم{\displaystyle S_{\ell }^{m}}بعض أدنى المستويات هي: ج10=∑أنا=1شمالهـZأناzأنا،ج11=∑أنا=1شمالهـZأناxأنا،S11=∑أنا=1شمالهـZأناyأنا،ج20=12∑أنا=1شمالهـZأنا(3zأنا2-رأنا2)،ج21=3∑أنا=1شمالهـZأناzأناxأنا،S21=3∑أنا=1شمالهـZأناzأناyأنا،ج22=133∑أنا=1شمالهـZأنا(xأنا2-yأنا2)،S22=233∑أنا=1شمالهـZأناxأناyأنا،{\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}^{0}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i},\\C_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i},&S_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;y_{i},\\C_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;\left(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}\right),\\C_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}x_{i},&S_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}y_{i},\\C_{2}^{2}&={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;\left(x_{i}^{2}-y_{i}^{2}\right),&S_{2}^{2}&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}y_{i},\end{aligned}}}

ملاحظة حول الاصطلاحات

إن تعريف عزم متعدد الأقطاب الجزيئي المركب المذكور أعلاه هو المرافق المركب للتعريف الوارد في هذه المقالة ، والذي يتبع تعريف كتاب جاكسون القياسي في الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية [ 7 ] : 137، باستثناء عملية التوحيد. علاوة على ذلك، في تعريف جاكسون الكلاسيكي، فإن مكافئ القيمة المتوقعة في ميكانيكا الكم لـ N جسيم هو تكامل على توزيع شحنة جسيم واحد. تجدر الإشارة إلى أنه في حالة نظام ميكانيكا الكم لجسيم واحد، فإن القيمة المتوقعة ليست سوى تكامل على توزيع الشحنة (مربع معيار دالة الموجة)، وبالتالي فإن تعريف هذه المقالة هو تعميم ميكانيكا الكم لـ N جسيم لتعريف جاكسون.

يتفق التعريف الوارد في هذه المقالة مع تعريفات أخرى، منها تعريف فانو وراكاه [ 8 ] وبرينك وساتشلر. [ 9 ]

أمثلة

توجد أنواع عديدة من عزوم الأقطاب المتعددة، نظرًا لتعدد أنواع الكمونات وتعدد طرق تقريب الكمون باستخدام متسلسلة تايلور ، وذلك تبعًا للإحداثيات وتناظر توزيع الشحنة. ومن أكثر متسلسلات تايلور شيوعًا ما يلي :

من أمثلة كمونات 1/ R الكمون الكهربائي ، والكمون المغناطيسي ، والكمون الجاذبي للمصادر النقطية. أما مثال كمون ln R فهو الكمون الكهربائي لشحنة خطية لانهائية.

الخصائص الرياضية العامة

تشكل عزوم الأقطاب المتعددة في الرياضيات والفيزياء الرياضية أساسًا متعامدًا لتحليل دالة ما، استنادًا إلى استجابة المجال لمصادر نقطية تقترب من بعضها البعض إلى ما لا نهاية. ويمكن تصور هذه المصادر على أنها مرتبة في أشكال هندسية مختلفة، أو، من منظور نظرية التوزيع ، على أنها مشتقات اتجاهية .

ترتبط متسلسلات الأقطاب المتعددة بالتناظر الدوراني الأساسي للقوانين الفيزيائية ومعادلاتها التفاضلية . ورغم أن حدود المصدر (مثل الكتل والشحنات والتيارات) قد لا تكون متناظرة، فإنه يمكن توسيعها بدلالة تمثيلات غير قابلة للاختزال لمجموعة التناظر الدوراني ، مما يؤدي إلى التوافقيات الكروية ومجموعات الدوال المتعامدة المرتبطة بها . وتُستخدم تقنية فصل المتغيرات لاستخراج الحلول المناظرة للاعتمادات القطرية.

عمليًا، يمكن تقريب العديد من المجالات بدقة باستخدام عدد محدود من عزوم الأقطاب المتعددة (مع أن إعادة بناء المجال بدقة قد تتطلب عددًا لا نهائيًا). ومن التطبيقات الشائعة تقريب مجال توزيع الشحنة الموضعية باستخدام حدوده أحادية القطب وثنائية القطب . ويمكن دمج المسائل التي تُحل مرة واحدة لرتبة معينة من عزوم الأقطاب المتعددة خطيًا للحصول على حل تقريبي نهائي لمصدر معين.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ إدموندز، أ. ر. (1960). الزخم الزاوي في ميكانيكا الكم . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 9780691079127.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  2. ↑ أوزينش، ماركيس؛ بودكر، ديمتري؛ روتشستر، سيمون (2010). الذرات المستقطبة ضوئيًا : فهم تفاعلات الضوء مع الذرات . أكسفورد: نيويورك. ص 100. ISBN   9780199565122.
  3. ↑ أوكومورا، ميتشيو؛ تشان، مان-تشور؛ أوكا، تاكيشي (2 يناير 1989). "مطيافية الأشعة تحت الحمراء عالية الدقة للهيدروجين الصلب: الانتقالات المحفزة بواسطة رباعي سداسي الأقطاب" (ملف PDF) . رسائل المراجعة الفيزيائية . 62 (1): 32-35 . Bibcode : 1989PhRvL..62...32O . doi : 10.1103/PhysRevLett.62.32 . PMID 10039541 . 
  4. ^ إيكيدا، هيرواكي؛ سوزوكي، ميتشي تو؛ أريتا، ريوتارو؛ تاكيموتو، تيتسويا؛ شيبوتشي، تاكاسادا؛ ماتسودا ، يوجي (3 يونيو 2012). "الترتيب الخيطي الناشئ من المرتبة الخامسة في URu2Si2". فيزياء الطبيعة . 8 (7): 528-533 . أرخايف : 1204.4016 . بيب كود : 2012NatPh...8..528I . دوى : 10.1038/nphys2330 . S2CID 119108102 . 
  5. ↑ تومسون، ويليام ج. الزخم الزاوي . جون وايلي وأولاده، المحدودة.
  6. ↑ ثورن، كيب س. (أبريل 1980). "توسعات متعددة الأقطاب للإشعاع الجاذبي" (ملف PDF) . مراجعات الفيزياء الحديثة . 52 (2): 299-339 . Bibcode : 1980RvMP...52..299T . doi : 10.1103/RevModPhys.52.299 .
  7. 1 2 جاكسون، جون ديفيد (1975). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ( الطبعة الثانية). نيويورك: وايلي. ISBN  047143132X.
  8. ↑ يو. فانو وجي. راكاه، مجموعات الموترات غير القابلة للاختزال ، دار النشر الأكاديمية، نيويورك (1959). ص 31
  9. ↑ دي إم برينك وجي آر ساتشلر، الزخم الزاوي ، الطبعة الثانية، مطبعة كلارندون، أكسفورد، المملكة المتحدة (1968). ص 64. انظر أيضًا الحاشية في الصفحة 90.