شكل الانحناء

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 24 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة التفاضلية ، يصف شكل الانحناء انحناء اتصال على حزمة رئيسية . ويمكن اعتبار موتر انحناء ريمان في الهندسة الريمانية حالة خاصة .

تعريف

ليكن G زمرة لي ذات جبر ليز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}ولتكن P → B حزمة رئيسية من G. ولتكن ω اتصال إهرسمان على P (وهوز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}( شكل أحادي القيمة على P ).

ثم يكون شكل الانحناء هوز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}الشكل الثنائي ذو القيم على P المعرف بواسطة

Ω=دω+12[ω∧ω]=دω.{\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .}

(في اصطلاح آخر، لا يظهر النصف). هناد{\displaystyle d}يرمز إلى المشتق الخارجي ،[⋅∧⋅]{\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}يُعرَّف في مقالة " صيغة ذات قيم جبر لي "، و D يرمز إلى المشتقة الخارجية المتغيرة . بعبارة أخرى، [ 1 ]

Ω(X،Y)=دω(X،Y)+12[ω(X)،ω(Y)]{\displaystyle \,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+{1 \over 2}[\omega (X),\omega (Y)]}

حيث X و Y متجهان مماسان للنقطة P.

وهناك أيضًا تعبير آخر لـ Ω: إذا كانت X و Y حقول متجهة أفقية على P ، فإن [ 2 ]

σΩ(X،Y)=-ω([X،Y])=-[X،Y]+ح[X،Y]{\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=-\أوميغا ([X,Y])=-[X,Y]+h[X,Y]}

حيث يمثل hZ المكون الأفقي لـ Z ، وعلى اليمين حددنا حقل متجه رأسي وعنصر جبر لي الذي يولده ( حقل المتجه الأساسي )، وσ∈{1،2}{\displaystyle \sigma \in \{1,2\}}هو معكوس عامل التطبيع المستخدم اصطلاحًا في صيغة المشتق الخارجي .

يقال إن الاتصال مسطح إذا كان انحناؤه يتلاشى: Ω = 0. وبالمثل، يكون الاتصال مسطحًا إذا كان من الممكن اختزال مجموعة البنية إلى نفس المجموعة الأساسية ولكن مع الطوبولوجيا المنفصلة.

شكل الانحناء في حزمة متجهة

إذا كانت E → B حزمة متجهة، فيمكن للمرء أيضًا أن يفكر في ω على أنها مصفوفة من الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى، وتصبح الصيغة أعلاه معادلة البنية لـ E.  كارتان:

Ω=دω+ω∧ω،{\displaystyle \,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}

أين∧{\displaystyle \wedge }هو حاصل الضرب الإسفيني . بتعبير أدق، إذاωأناج{\displaystyle {\أوميغا ^{i}}_{j}}وΩأناج{\displaystyle {\أوميغا ^{i}}_{j}}تشير إلى مكونات ω و Ω على التوالي، (لذا كلωأناج{\displaystyle {\أوميغا ^{i}}_{j}}هو شكل عادي من الدرجة الأولى وكلΩأناج{\displaystyle {\أوميغا ^{i}}_{j}}(إذا كان شكلاً ثنائياً معتاداً)

Ωجأنا=دωأناج+∑كωأناك∧ωكج.{\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d{\omega ^{i}}_{j}+\sum _{k}{\omega ^{i}}_{k}\wedge {\omega ^{k}}_{j}.}

على سبيل المثال، بالنسبة للحزمة المماسية لمتشعب ريماني ، فإن زمرة البنية هي O( n ) وΩ هي شكل ثنائي بقيم في جبر لي من O( n )، أي المصفوفات المتناظرة عكسيًا . في هذه الحالة، يمثل الشكل Ω وصفًا بديلًا لموتر الانحناء ، أي

R(X،Y)=Ω(X،Y)،{\displaystyle \,R(X,Y)=\أوميغا (X,Y),}

باستخدام الترميز القياسي لموتر انحناء ريمان.

هويات بيانكي

لوθ{\displaystyle \theta }هو الشكل التناظري ذو القيم المتجهة من الدرجة الأولى على حزمة الإطار ، الالتواءΘ{\displaystyle \Theta }نموذج الاتصالω{\displaystyle \omega }هي الصيغة الثنائية ذات القيم المتجهة المعرفة بواسطة معادلة البنية

Θ=دθ+ω∧θ=دθ،{\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}

حيث أن D كما سبق تشير إلى المشتقة الخارجية المتغيرة .

تتخذ هوية بيانكي الأولى الشكل التالي

دΘ=Ω∧θ.{\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta .}

تتخذ هوية بيانكي الثانية الشكل التالي

دΩ=0{\displaystyle \,D\Omega =0}

وهو صالح بشكل عام لأي اتصال في حزمة رئيسية .

يمكن كتابة متطابقات بيانكي باستخدام تدوين الموتر على النحو التالي: Rأبمن؛ℓ+Rأبℓم؛ن+Rأبنℓ؛م=0.{\displaystyle R_{abmn;\ell }+R_{ab\ell m;n}+R_{abn\ell ;m}=0.}

تُستخدم متطابقات بيانكي المختزلة لاستنتاج موتر أينشتاين في معادلات مجال أينشتاين ، وهو عنصر أساسي في النظرية النسبية العامة .

ملحوظات

  1. ↑ منذ[ω∧ω](X،Y)=12([ω(X)،ω(Y)]-[ω(Y)،ω(X)]){\displaystyle [\omega \wedge \omega ](X,Y)={\frac {1}{2}}([\omega (X),\omega (Y)]-[\omega (Y),\omega (X)])}هنا نستخدم أيضًاσ=2{\displaystyle \sigma =2}اتفاقية كوباياشي للمشتق الخارجي لشكل واحد والذي يكون بعد ذلكدω(X،Y)=12(Xω(Y)-Yω(X)-ω([X،Y])){\displaystyle d\omega (X,Y)={\frac {1}{2}}(X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y]))}
  2. ↑ الدليل:σΩ(X،Y)=σدω(X،Y)=Xω(Y)-Yω(X)-ω([X،Y])=-ω([X،Y]).{\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=\sigma d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\أوميغا ([X,Y]).}

مراجع

انظر أيضاً