ترتيب كثيف

في الرياضيات ، يُطلق على الترتيب الجزئي أو الترتيب الكلي < على مجموعة ما اسم <.${\displaystyle X}$يُقال إنها كثيفة إذا، بالنسبة لجميع${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في${\displaystyle X}$والتي${\displaystyle x<y}$، هناك${\displaystyle z}$في${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle x<z<y}$أي أنه لأي عنصرين، أحدهما أصغر من الآخر، يوجد عنصر ثالث بينهما. بالنسبة للترتيبات الكلية، يمكن تبسيط ذلك إلى "لأي عنصرين مختلفين، يوجد عنصر ثالث بينهما"، لأن جميع عناصر الترتيب الكلي قابلة للمقارنة .

وبالمثل، يكون الترتيب الجزئي كثيفًا تحديدًا إذا كانت علاقة التغطية الخاصة به فارغة.

تُعتبر الأعداد النسبية، كمجموعة مرتبة خطيًا، مجموعة مرتبة بكثافة بهذا المعنى، وكذلك الأعداد الجبرية ، والأعداد الحقيقية ، والأعداد النسبية الثنائية ، والكسور العشرية . في الواقع، كل امتداد حلقي مرتب أرخميدسي للأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$هي مجموعة مرتبة بكثافة.

من ناحية أخرى، فإن الترتيب الخطي للأعداد الصحيحة ليس كثيفًا.

أثبت جورج كانتور أن كل مجموعتين غير فارغتين، كثيفتين، ومرتبتين ترتيبًا كليًا، وقابلتين للعد ، بدون حدود دنيا أو عليا، متماثلتان ترتيبيًا . ^{[ 1 ]} وهذا يجعل نظرية الترتيبات الخطية الكثيفة بدون حدود مثالًا على نظرية ω-الفئوية، حيث ω هو أصغر عدد ترتيبي حدي . على سبيل المثال، يوجد تماثل ترتيبي بين الأعداد النسبية ومجموعات أخرى كثيفة الترتيب قابلة للعد، بما في ذلك الأعداد النسبية الثنائية والأعداد الجبرية . تستخدم براهين هذه النتائج طريقة التكرار ذهابًا وإيابًا . ^{[ 2 ]}

يمكن استخدام دالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي لتحديد تماثلات الترتيب بين الأعداد الجبرية التربيعية والأعداد النسبية ، وبين الأعداد النسبية والأعداد النسبية الثنائية .

يُقال إن أي علاقة ثنائية R كثيفة إذا كان لكل x و y مرتبطين بـ R ، يوجد z بحيث يكون x و z ، وكذلك z و y ، مرتبطين بـ R. بصورة رسمية:

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).}$بدلاً من ذلك، من حيث تركيب R مع نفسه، يمكن التعبير عن شرط الكثافة على النحو التالي: R ⊆ ( R ; R ). ^{[ 3 ]} 

الشروط الكافية لكي تكون العلاقة الثنائية R على مجموعة X كثيفة هي:

• R انعكاسي ؛​
• R انعكاسي أساسي ؛
• R شبه انعكاسي ؛
• R هي المسافة الإقليدية اليسرى أو اليمنى ؛ أو
• R متناظرة وشبه متصلة ، و X تحتوي على 3 عناصر على الأقل.

لا شيء منها ضروري . على سبيل المثال، توجد علاقة R ليست انعكاسية ولكنها كثيفة. لا يمكن لعلاقة غير فارغة وكثيفة أن تكون مضادة للتعدي .

الترتيب الجزئي الصارم < يكون ترتيبًا كثيفًا إذا وفقط إذا كانت < علاقة كثيفة. وتُسمى العلاقة الكثيفة التي تكون أيضًا متعدية علاقةً متطابقة .

• المجموعة الكثيفة - مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي يكون إغلاقها هو الفضاء بأكمله
• كثيف في حد ذاته - مجموعة فرعية${\displaystyle A}$من فضاء طوبولوجي بحيث${\displaystyle A}$لا يحتوي على نقطة معزولة
• دلالات كريپكي - تتوافق علاقة الوصول الكثيفة مع البديهية${\displaystyle \Box \Box A\rightarrow \Box A}$

• ديفيد هاريل ، ديكستر كوزين ، جيرزي تيورين، المنطق الديناميكي ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، 2000، رقم ISBN 0-262-08289-6، ص  6 وما بعدها