ثنائي السطوح

المجسم الثنائي ( جمعها مجسمات ثنائية ) هو نوع من المجسمات متعددة الأوجه، يتكون من وجهين مضلعين يشتركان في نفس مجموعة الأضلاع n . في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، يكون المجسم الثنائي متدهورًا إذا كانت أوجهه مسطحة، بينما في الفضاء الكروي ثلاثي الأبعاد ، يمكن اعتبار المجسم الثنائي ذي الأوجه المسطحة عدسة، ومثال على ذلك المجال الأساسي لفضاء العدسة L( p , q ). ^{[ 1 ]} وقد سُميت المجسمات الثنائية أيضًا بالمجسمات ثنائية السطوح ، ^{[ 2 ]} أو المجسمات متعددة الأوجه المسطحة ، ^{[ 3 ]} أو المضلعات المغطاة مرتين . ^{[ 3 ]}

باعتباره تبليطًا كرويًا ، يمكن أن يوجد ثنائي السطوح في شكل غير منحل، مع وجهين ذوي n ضلعًا يغطيان الكرة، كل وجه منهما نصف كرة ، ورؤوسه على دائرة عظمى . ويكون منتظمًا إذا كانت الرؤوس متباعدة بالتساوي.

إن ثنائي المجسم ثنائي السطوح ذو n ضلع هو مجسم متماثل ذو n ضلع ، حيث تشترك وجوه المجسم الثنائي n في رأسين.

يمكن اعتبار ثنائي السطوح منشورًا منحطًا ، حيث تتصل قاعدتاه المضلعتان (المستويتان) ذواتا n ضلعًا اتصالًا مباشرًا، بحيث يكون الشكل الناتج بلا عمق. يجب أن تكون المضلعات متطابقة، ولكنها متصلة بطريقة تجعل إحداها صورة معكوسة للأخرى. ينطبق هذا فقط إذا كانت المسافة بين الوجهين صفرًا؛ أما إذا كانت المسافة أكبر من الصفر، فإن الوجهين عبارة عن مضلعات لانهائية (كما هو الحال في ثنائي السطوح غير المتجانس ، حيث تكون أوجهه ذات العرض الأكبر من الصفر عبارة عن خطوط لانهائية).

يمكن أن تنشأ ثنائيات السطوح من نظرية ألكسندروف للوحدانية ، التي تُحدد المسافات على سطح أي متعدد السطوح محدب بأنها إقليدية محليًا باستثناء عدد محدود من النقاط ذات النقص الزاوي الموجب الذي مجموعه يساوي 4π . ينطبق هذا التحديد أيضًا على المسافات على سطح ثنائي السطوح، لذا فإن نص نظرية ألكسندروف يتطلب اعتبار ثنائيات السطوح متعددات سطوح محدبة. ^{[ 4 ]}

يمكن أن تنشأ بعض الأشكال ثنائية السطوح كأعضاء حد أدنى لعائلات متعددة السطوح أخرى: سيكون الموشور ذو القواعد الثنائية شكلاً ثنائي السطوح مربعًا، وسيكون الهرم ذو القاعدة الثنائية شكلاً ثنائي السطوح مثلثًا.

يتكون المجسم الثنائي المنتظم، ذو رمز شلافلي { n ,2}، من مضلعين منتظمين ، كل منهما ذو رمز شلافلي { n }. ^{[ 5 ]}

يتكون المجسم الكروي ثنائي السطوح من مضلعين كرويين يشتركان في نفس مجموعة الرؤوس n ، على خط استواء الدائرة العظمى ؛ كل مضلع من المجسم الكروي ثنائي السطوح يملأ نصف كرة .

يتكون المجسم الكروي المنتظم من مضلعين كرويين منتظمين يشتركان في نفس مجموعة الرؤوس n ، والمتباعدة بالتساوي على خط استواء الدائرة العظمى .

المجسم المنتظم {2,2} هو مجسم مزدوج ذاتي، وهو مجسم متماثل ومجسم ثنائي السطوح.

عائلة من ثنائيات السطوح المنتظمة · * n 22 طفرات تناظرية لتبليطات ثنائيات السطوح المنتظمة: nn

فضاء	كروي						إقليدي
اسم التبليط	ثنائي السطوح أحادي الزاوية	ثنائي السطوح ثنائي القطر	ثنائي السطوح الثلاثي	ثنائي السطوح المربع	ثنائي السطوح الخماسي	...	ثنائي السطوح غير المتناظر
صورة مكررة						...
رمز شلافلي	{1,2}	{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	...	{∞,2}
مخطط كوكسيتر						...
وجوه	2 {1}	2 {2}	2 {3}	2 {4}	2 {5}	...	2 {∞}
الحواف والرؤوس	1	2	3	4	5	...	∞
تكوين الرؤوس .	1.1	2.2	3.3	4.4	5.5	...	∞.∞

عندما يؤول n إلى اللانهاية، يصبح ثنائي السطوح ذو n ضلع ثنائي السطوح غير مضلع كتقسيم ثنائي الأبعاد:

المجسم الثنائي المنتظم هو نظير ثنائي الأبعاد ذو n بُعد، وله رمز شلافلي { p ,..., q , r ,2}. وله وجهان { p ,..., q , r }، يشتركان في جميع الحواف { p ,..., q }. ^{[ 6 ]}

• مجموعة ثنائية السطوح
• متعدد الأوجه
• متعدد الأوجه

• وايسشتاين، إريك دبليو. "ثنائي السطوح" . عالم الرياضيات .