المنشور (الهندسة)

• يُطلق على المنشور المستطيل القائم (ذي القاعدة المستطيلة) أيضًا اسم متوازي المستطيلات ، أو بشكل غير رسمي صندوق مستطيل . رمز المنشور المستطيل القائم هو { }×{ }×{ }.
• يُطلق على المنشور المربع القائم (ذي القاعدة المربعة) أيضًا اسم المكعب المربع ، أو بشكل غير رسمي الصندوق المربع .

ملاحظة: قد تستخدم بعض النصوص مصطلح المنشور المستطيل أو المنشور المربع للإشارة إلى كل من المنشور القائم ذي القاعدة المستطيلة والمنشور القائم ذي القاعدة المربعة.

المنشور المنتظم هو منشور ذو قواعد منتظمة .

المنشور المنتظم أو المنشور شبه المنتظم هو منشور قائم ذو قواعد منتظمة وجميع حوافه لها نفس الطول.

وبالتالي فإن جميع الأوجه الجانبية للمنشور المنتظم مربعة .

لذا، فإن جميع أوجه الموشور المنتظم هي مضلعات منتظمة. كما أن هذه الموشورات متساوية الزوايا ؛ وبالتالي فهي متعددة السطوح منتظمة . وهي تشكل إحدى سلسلتي المجسمات شبه المنتظمة اللانهائيتين ، وتتكون السلسلة الأخرى من الموشورات المضادة .

المنشور المنتظم ذو n ضلع له رمز شلافلي t{2, n }.

عائلة من الموشورات المنتظمة ذات n ضلع v ت هـ
اسم المنشور	منشور ثنائي	(ثلاثي) منشور ثلاثي	(رباعي) منشور مربع	منشور خماسي	منشور سداسي	منشور سباعي	منشور ثماني الأضلاع	منشور تساعي الأضلاع	منشور ذو عشر أضلاع	منشور ذو أحد عشر ضلعًا	منشور ذو اثني عشر ضلعًا	...	منشور لا زاوي
صورة متعددة الأوجه												...
صورة تبليط كروي												صورة تجانب مستوي
تكوين الرؤوس.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
مخطط كوكسيتر												...

حجم المنشور هو حاصل ضرب مساحة القاعدة في الارتفاع، أي المسافة بين وجهي القاعدة (في حالة المنشور غير القائم، لاحظ أن هذا يعني المسافة العمودية).

وبالتالي فإن الحجم هو:

${\displaystyle V=Bh,}$

حيث B هي مساحة القاعدة و h هو الارتفاع.

وبالتالي، فإن حجم المنشور الذي قاعدته عبارة عن مضلع منتظم ذي n ضلعًا وطول ضلعه s هو: $${\displaystyle V={\frac {n}{4}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.}$$

مساحة سطح المنشور القائم هي:

${\displaystyle 2B+Ph,}$

حيث B هي مساحة القاعدة، و h الارتفاع، و P محيط القاعدة .

وبالتالي ، فإن مساحة سطح منشور قائم قاعدته عبارة عن مضلع منتظم ذي n ضلعًا ، طول ضلعه s ، وارتفاعه h ، هي:

${\displaystyle A={\frac {n}{2}}s^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}+nsh.}$

مجموعة التناظر لمنشور قائم ذي n وجهًا وقاعدة منتظمة هي D_{_nh} من الرتبة 4 ⁿ ، باستثناء المكعب الذي له مجموعة تناظر أكبر O_{_h} من الرتبة 4⁸، والتي تحتوي على ثلاث نسخ من D _{_4h} كمجموعات فرعية . أما مجموعة الدوران فهي D _n من الرتبة 2ⁿ ، باستثناء المكعب الذي له مجموعة تناظر أكبر O _h من الرتبة 2⁴، والتي تحتوي على ثلاث نسخ من D _₄ كمجموعات فرعية.

تحتوي مجموعة التناظر D _{n h} على انعكاس إذا وفقط إذا كان n زوجيًا.

تمتلك الأشكال المتماثلة والثنائية أيضًا تناظرًا ثنائيًا، ويمكن إنشاء موشور ذي n ضلعًا من خلال القطع الهندسي للمجسم المتماثل ذي n ضلعًا، وكذلك من خلال التوسيع أو التوسع للمجسم الثنائي ذي n ضلعًا.

يتشكل المنشور المقطوع عندما يُقطع المنشور بمستوى لا يوازي قاعدتيه. قاعدتا المنشور المقطوع غير متطابقتين ، وجوانبه ليست متوازيات أضلاع. ^{[ 7 ]}

المنشور الملتوي هو متعدد السطوح غير محدب ، يُنشأ من منشور منتظم ذي n ضلعًا ، حيث يُنصف كل وجه جانبي على القطر المربع، وذلك بتدوير الجزء العلوي، عادةً (ولكن ليس بالضرورة) بزاوية π / n راديان ( 180 / n درجة ) . إذا كانت المنصفات مائلة إلى اليسار، فإن تدوير القاعدة العلوية في الاتجاه الصحيح (بالنظر إلى قمة المنشور) بزاوية صغيرة يُعطي متعدد سطوح غير محدب، وتدويرها في الاتجاه الأيسر يُعطي متعدد سطوح محدب (انظر المنشور المربع الملتوي في الصورة). أما إذا كانت المنصفات مائلة إلى اليمين، فإن تدوير القاعدة العلوية في الاتجاه الأيسر يُعطي متعدد سطوح غير محدب، وفي الاتجاه الصحيح يُعطي متعدد سطوح محدب (انظر المنشور الاثني عشري الملتوي). ^{[ 8 ] [ 9 ]}

لا يمكن تقسيم الموشور الملتوي إلى رباعيات أوجه دون إضافة رؤوس جديدة. أبسط أنواع الموشورات الملتوية له قواعد مثلثة ويُسمى متعدد السطوح شونهاردت .

الموشور الملتوي ذو n ضلعًا مطابق طوبولوجيًا للموشور المضاد المنتظم ذي n ضلعًا ، ولكنه يمتلك نصف مجموعة التناظر : D _n ، [ n ,2] ⁺ ، من الرتبة 2n . يمكن اعتباره موشورًا مضادًا غير محدب، حيث تُزال الأهرامات الرباعية بين أزواج المثلثات. أي موشور ملتوي ذو n ضلعًا هو موشور مضاد، لذا فإن الموشور المربع الملتوي والموشور ذو الاثني عشر ضلعًا الملتوي الموضحان في الصورة كلاهما موشورات مضادة.

ثلاثي الأضلاع	رباعي الأضلاع		12-gonal
متعدد السطوح شونهاردت	منشور مربع ملتوي	منشور مضاد مربع	منشور ذو اثني عشر ضلعًا ملتويًا

المخروط الناقص هو بنية مشابهة للمنشور، مع أوجه جانبية شبه منحرفة ومضلعات علوية وسفلية مختلفة الأحجام.

الموشور النجمي هو متعدد السطوح غير محدب يتكون من وجهين متطابقين على شكل مضلع نجمي في الأعلى والأسفل، متوازيين ومتباعدين بمسافة، ومتصلين بأوجه مستطيلة. يكون رمز الموشور النجمي المنتظم هو { p / q } × {}، حيث يتكون من p مستطيلات و2 { p / q } وجهًا. وهو مطابق طوبولوجيًا للموشور ذي p ضلع.

أمثلة

{ }×{ } 180 ×{ }	t a {3}×{ }		{5/2}×{ }	{7/2}×{ }	{7/3}×{ }	{8/3}×{ }
D 2h ، الطلب رقم 8	D 3h ، الطلب رقم 12		D 5h ، الطلب 20	D 7h ، الطلب رقم 28		D 8h ، الطلب رقم 32

المنشور المتقاطع هو متعدد السطوح غير محدب مُنشأ من منشور، حيث تُعكس رؤوس إحدى قاعدتيه حول مركز هذه القاعدة (أو تُدار بزاوية 180 درجة). هذا يُحوّل الأوجه المستطيلة الجانبية إلى مستطيلات متقاطعة . بالنسبة لقاعدة مضلع منتظم، يكون الشكل النهائي أشبه بساعة رملية ذات n ضلع . تمر جميع الحواف المائلة عبر مركز واحد. ملاحظة: لا يوجد رأس عند هذا المركز. المنشور المتقاطع مُطابق طوبولوجيًا للمنشور ذي n ضلع.

أمثلة

{ }×{ } 180 ×{ } 180	t a {3}×{ } 180		3 × 180	4 × 180	{5}×{ } 180	{5/2}×{ } 180	6 × 180
D 2h ، الطلب رقم 8	D 3d ، الترتيب 12			D 4h ، الطلب رقم 16	D 5d ، الترتيب 20		D 6d ، الترتيب 24

الموشور الحلقي هو متعدد السطوح غير محدب، يشبه الموشور المتقاطع ، لكن بدون وجهين قاعديين علوي وسفلي، وله أوجه جانبية مستطيلة بسيطة تُغلقه. لا يمكن تطبيق هذا إلا على المضلعات القاعدية ذات الأضلاع الزوجية. هذه الموشورات حلقية طوبولوجية، ذات خاصية أويلر تساوي صفرًا. يمكن قص الشبكة متعددة السطوح الطوبولوجية من صفين من تبليط مربع ( بتكوين رؤوس 4.4.4.4 ): شريط من n مربعًا، كل مربع متصل بمستطيل متقاطع . يحتوي الموشور الحلقي ذو n ضلعًا على 2n رأسًا، و 2 n وجهًا: n مربعًا و n مستطيلًا متقاطعًا، و 4 n ضلعًا. وهو طوبولوجيًا ذاتي التناظر .

أمثلة

D 4h ، الطلب رقم 16	D 6h ، الطلب رقم 24
V = 8 ، E = 16 ، F = 8	V = 12 ، E = 24 ، F = 12

المجسم المنشوري هو تعميم ذو أبعاد أعلى للموشور. يتكون المجسم المنشوري ذو البعد n من مجسمين منشوريين ذوي بعد ( n -1 )، يتم نقلهما إلى البعد التالي.

يتم مضاعفة عناصر متعدد السطوح المنشورية من عناصر متعدد السطوح ( n - 1 ) ثم إنشاء عناصر جديدة من العنصر الأدنى التالي.

لنأخذ متعدد السطوح ذي البعد n ، يحتوي على F _{_i} عنصرًا من عناصر الوجه (حيث i = 0، ...، n ). سيحتوي منشور متعدد السطوح ذي البعد ( n + 1 ) على 2 _i + F _{_{i -1}} عنصرًا من عناصر الوجه. (حيث F _{_-1} = 0 ، و F _{_n} = 1 ).

حسب الأبعاد:

• خذ مضلعًا له n رأسًا و n ضلعًا. منشوره له 2 n رأسًا و 3 n ضلعًا و 2 + n وجهًا.
• خذ مجسمًا متعدد الأوجه له V رأسًا و E حافة و F وجهًا. يحتوي منشوره على 2 V رأسًا و 2 E + V حافة و 2 F + E وجهًا و 2 + F خلية.
• خذ متعدد الأضلاع ذو V رأس، و E حافة، و F وجه، و C خلية. يحتوي منشوره على 2 V رأس، و 2 E + V حافة، و 2 F + E وجه، و 2 C + F خلية، و 2 + C خلية فائقة.

يمكن أن يشكل متعدد الوجوه المنتظم n الذي يمثله رمز Schläfli { p , q ,..., t } متعدد وجوه موشوري منتظم ( n + 1 ) يمثله حاصل الضرب الديكارتي لرمزين من رموز Schläfli : { p , q ,..., t }×{ }.

حسب الأبعاد:

• المنشور متعدد الأوجه ذو الصفر هو قطعة مستقيمة ، يتم تمثيلها برمز شلافلي فارغ { }.

  

• المنشور متعدد الأوجه ذو البعد 1 هو مستطيل مكون من قطعتين مستقيمتين منقولتين. يُرمز له برمز شلافلي { }×{ }. إذا كان مربعًا ، يمكن تقليل التناظر: { }×{ } = {4}.

  مثال: مربع، { }×{ }، قطعتان مستقيمتان متوازيتان، متصلتان بضلعين من القطع المستقيمة .

• المنشور المضلع هو منشور ثلاثي الأبعاد يتكون من مضلعين منقولين متصلين بمستطيلات. يمكن للمضلع المنتظم { p } أن يُشكل منشورًا منتظمًا ذا n ضلعًا، يُرمز إليه بالناتج { p }×{. إذا كان p = 4 ، فإنه يصبح مكعبًا نظرًا لتناظر أضلاعه المربعة : {4}×{ = {4,3}.

  مثال: ، منشور خماسي ، {5}×{ }، خماسيان متوازيان متصلان بخمسة أضلاع مستطيلة .

• المنشور متعدد الأوجه هو منشور رباعي الأبعاد يتكون من منشورين متعددي الأوجه متصلين بخلايا منشورية ثلاثية الأبعاد. يمكن لمجسم منتظم { p , q } أن يُشكل المنشور متعدد الألوان المنتظم، والذي يُمثله حاصل ضرب { p , q }×{. إذا كان المجسم وأضلاعه مكعبات، فإنه يُصبح رباعي الأبعاد : {4,3}×{ = {4,3,3}.

  مثال: ، منشور ذو اثني عشر وجهًا ، {5،3}×{ }، اثنان من المجسمات الاثني عشرية المتوازية المتصلة بـ 12 جانبًا من جوانب المنشور الخماسي .

• ...

توجد متعددات الوجوه المنشورية ذات الرتبة الأعلى أيضًا كحاصل ضرب ديكارتي لأي متعددي وجوه أو أكثر. بُعد متعدد الوجوه الناتج هو مجموع أبعاد عناصره. توجد أولى الأمثلة على هذه متعددات الوجوه في الفضاء رباعي الأبعاد؛ وتُسمى المنشورات الثنائية لأنها ناتج ضرب مضلعين في الفضاء رباعي الأبعاد.

يتم تمثيل الموشورات الثنائية المنتظمة على النحو التالي { p }×{ q }، مع pq رأسًا، و 2 pq حافة، و pq وجهًا مربعًا، و p q وجهًا مضلعًا، و q وجهًا مضلعًا ، ومحدودة بواسطة p موشورات مضلعة و q موشورات مضلعة .

على سبيل المثال، يُعدّ {4}×{4}، وهو موشور ثنائي 4-4 ، شكلاً ذا تناظر أقل من المكعب الفائق ، وكذلك {4,3}×{ }، وهو موشور مكعب . وتُعدّ كل من {4}×{4}×{ } (موشور ثنائي 4-4)، و {4,3}×{4} (موشور ثنائي مكعب-4)، و {4,3,3}×{ } (موشور رباعي الأبعاد) أشكالاً ذات تناظر أقل من المكعب الخماسي .